一种安培环路定理的讲法

耿志浩

(北京化工大学数理学院，北京 100029)

在常见的物理教材中，处理安培环路定理证明的方法，通常有三大类：第一类[1]是仅针对无限长载流直导线的磁场进行证明，然后将结论直接推广到任意形状闭合载流导线的情形，第二类[2,3]是变换毕萨定律积分形式，应用立体角的概念理解和计算安培环路积分；第三类[4]是利用场论方法，由B=×A在数学上严格推出×B=μ0J，从而给出安培环路积分.但在面向非物理专业的大学物理教学实践活动中，大都采用第一类方法对安培环路定理进行证明，之所以如此，是因为教学实践活动与学生在这三类方法的数学接受程度之间，始终存在矛盾.

第一类方法数学简单，但在物理直觉上说服力不强，会导致学生对该定理理解不深.第三类方法严谨，但数学明显超出需要.第二类方法严谨，以文献[2]所展示的证明过程为代表，在数学上也是一种可行的讲法，但从笔者以及几个兄弟院校的教学实践来看，要让学生理解任意电流回路沿着任意闭合回路所扫过的面对某点的立体角为4π，也并非易事.其中可能涉及到引入立体角的梯度、任意电流回路所扫过的闭合曲面怎么画，以及套连时如何判断立体角的变化等问题，其对学生空间想象能力和学时的要求很高，实际教学中能听懂的学生并不多.

本文在这里提出一种结合第一类和第二类方法特点的新讲法，其物理直觉的严谨性和数学的难易程度均介于两者之间，即将证明“无限长载流直导线和任意形状安培环路的特例”改为证明“任意形状平面载流线圈和矩形安培环路的特例”.笔者通过教学实践反复实验了该方法，证明简单，耗费学时少，学生感到直观易理解，供同仁们参考.

1 安培环路定理的讲法

如图1，设通有电流I的闭合平面载流线圈l1，电流方向用dl1标示，另有垂直于线圈的矩形安培环路ABCD，记为l2，回路方向用dl2标示，l1与l2形成套连关系.

根据毕萨定律，将磁场对l2的回路积分表示为

(1)

其中er为dl1指向dl2的单位矢量，r为dl2与dl1之间的距离。根据等式(A×B)·C=(C×A)·B，将式(1)变为

(2)

图的几何意义

(3)

图的几何意义

(4)

该总面元则如图3，由于假设的是平面载流线圈l1和垂直方向的矩形安培环路l2，故整个载流线圈l1所扫过的面元形状是图3中的左右两个柱面的侧面以及上下底面，且可根据(-dl2)×dl1判断各个具体面的面元方向.

1) 在上下底面处，两个柱面之间的部分(即图3中最深色面元部分)，在线圈扫过时，会由于线圈左右两侧重复扫过该区域，且扫过的面元方向相反而抵消，故线圈扫过的全部面元对P点立体角有贡献的只有左右两个柱面的全部外表面.

图的几何意义

2) 左侧柱的外表面对P点形成立体角时，面元法向方向全部指向柱的内侧.

3) 右侧柱的外表面对P点形成立体角时，面元法向方向全部指向柱的外侧.

由于左侧柱不包含P点，所以左侧柱外表面对P点立体角的贡献为0，而右侧柱包含P点，所以右侧柱外表面对P点的立体角的贡献为4π，故总立体角Ω=4π，代入式(4)，得

∮l2B·dl2=μ0I

(5)

容易看出，若载流线圈l1与安培环路ABCD没有形成套连关系，比如将环路ABCD向右平移使其与线圈l1不相套连，则P点将完全不会被左右柱面包围，此时总立体角Ω=0，可得

∮l2B·dl2=0

(6)

然后，可向学生表明，虽然该证明取的是矩形安培环路，但若将矩形回路弯曲一下，变为任意形状的安培环路，该结论仍然成立.至此，定理讲完.

2 总结

在面向非物理专业的大学物理教学实践活动中，本文提出采用一种新的特例，即“任意形状平面载流线圈和矩形安培环路”的特例，来讲解安培环

路定理.该方法，一方面对立体角的数学论述更少，另一方面向一般情形的推广，也从物理直觉上更易让学生接受，更能加深学生的理解.笔者的教学实践表明，该方法操作简单可行，可供大家参考.