基于SBFEM和机器学习的薄板结构缺陷反演

赵林鑫，江守燕，杜成斌

(河海大学工程力学系，南京 211100)

缺陷损伤检测识别技术长期以来一直是结构健康监测领域的研究热点。目前，基于振动的损伤检测方法在土木工程、航空航天等领域得到了广泛的应用。其检测的基本原理是：结构振动特性是其物理参数的函数，结构损伤意味着结构物理参数的改变，而物理参数的改变必然引起结构振动特性的改变[1]。对动力测试信号进行分析和处理，可获得结构物理参数的改变情况，达到损伤识别的目的。

目前基于振动响应的板类结构损伤检测识别技术有很多[2−4]，其中Lamb波检测技术由于具有传播衰减小、传播距离长、检测效率高等优点，常被应用在板类结构的损伤检测中，如基于相位延迟叠加法[5]、结合椭圆定位和数据融合的方法[6]以及小波分析法[7]等。郑阳等[8]采集缺陷周围的散射信号并绘制散射系数周向分布图，根据图形特征进行通孔和通透裂纹两种缺陷的种类识别；刘增华等[9]对铝板中Lamb波信号进行连续小波变换，从时频图中识别出缺陷信号的频率成分，进一步实现缺陷的定位；严宏等[10]提取结构损伤前后的信号能量特征差异系数作为损伤指标，结合概率统计方法和成像算法，给出了损伤存在概率图像；Moustafa等[11]基于Lamb波分形特性进行损伤检测，并结合层析成像算法识别板状结构中的损伤。以上研究均根据振动响应信号的变化特性，解决了板类结构中损伤种类识别以及损伤定位的问题，但未进一步实现缺陷的几何尺寸定量反演，且一些方法存在噪声免疫力弱的问题。实际应用中，若无法对损伤进行量化，进一步预测损伤结构的剩余寿命或剩余强度是非常困难的。因此对结构中存在的缺陷进行精确定位和定量反演对结构损伤检测具有重要意义。

计算力学方法与智能算法的结合已广泛应用于缺陷定量反演问题中并取得了不错的效果[12−19]。比如，Liu等[12]和Wu等[13]利用样条无单元法计算得到的谐波响应作为输入参数，并结合遗传算法计算了板类结构中缺陷的位置和大小；江守燕等[14]基于频率和模态保证准则，结合扩展有限元法和人工蜂群算法，建立了结构内部多缺陷反演模型；张伟等[15]通过有限元法获取数据样本，用波形逼近技术提取了检测信号特征，并引入支持向量机，实现了较高精度的缺陷尺寸远场涡流检测定量反演；Ma等[16]和Du等[17]基于动力扩展有限元法和人工智能算法均实现了结构内部多缺陷的数量、大小和位置的精确反演。然而，上述研究虽然一定程度上解决了缺陷定量反演的问题，但也存在目标函数最小化迭代过程中耗时计算的问题。

论文基于单隐含层神经网络建立动力响应与缺陷尺寸之间的非线性映射关系，结合机器学习和比例边界有限元法(Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM)的优点，建立适用于薄板结构裂纹状缺陷识别的反演模型，并研究该反演模型在测量噪声影响下的鲁棒性问题。

1 波动问题的比例边界有限元法

1.1 比例边界有限元法基本公式

在SBFEM中，仅需要对区域边界进行离散，因而可以使得计算维度降低一维[20−21]。如图1所示，定义局部坐标系 ξOη ，其中 ξ为径向坐标，η为环向坐标。在 ξ=0处设置一个比例中心，比例中心需要满足对子域中任何一点的可见性。在环向边界上， ξ=1。对于包含裂纹的子域，裂纹尖端即为比例中心，通过在与裂纹面相邻的两个边界单元之间留下一个小的间隙来模拟裂纹，裂纹面无需离散。在以比例中心为坐标原点O的笛卡尔坐标系xOy中，子域内的任意一点可以用 ξ 和 η表示为：

图1 SBFEM子域示意图Fig. 1 Subdomain in the SBFEM

式中：N(η) 为边界单元形函数矩阵；xb、yb为边界上单元结点的笛卡尔坐标向量。

局部坐标系 ξOη下的位移场可表示为：

由式(3)可知，在推导任意点的位移时，SBFEM仅在环向 η方向上采用插值函数，在径向 ξ方向上是解析的。

在二维情况下，SBFEM动力平衡方程为[22−23]：

引入动力刚度矩阵S(ω,ξ)，式(4a)可以演变为含变量ξ 、ω的常微分方程，于是，得到采用动力刚度矩阵描述的平衡方程：

在边界 ξ=1上，动力刚度矩阵可以表示为静力刚度矩阵K、质量矩阵M以及高阶项的组合[24]，参见文献[25]引入辅助变量改进连分式，能够在一定程度上提高计算结果的稳定性。时域分析的离散方程可表示为：

其中：

采用Newmark隐式时间积分算法可求解离散方程式(7a)。在常规有限元法中，当裂纹的长度或开裂角发生改变时，需要对网格进行重划分，而在SBFEM中，可以通过改变裂纹所在子域的比例中心的位置对裂纹进行改变，一定程度上减少了需要进行重划分的网格数量，提升了计算效率，在对裂纹结构的模拟计算中具有一定的优势[26]。

1.2 波动问题的求解

数值模拟中，需要已知传播Lamb模态的波数，并利用群速度来获得建模的时间范围。用SBFEM可以非常有效地计算薄板结构的波动问题。波动问题可转化为板中波数k的标准特征值问题[27 − 28]：

式中：u(ξ) 和q(ξ)分别为结点位移和结点力在频域中的幅值；i为虚数单位。

对给定频率ω求解式(8a)，得到波导模态的波数k。特征向量 Ψ (ξ)定义了模态振型，即结点处特定模态的位移和力的振幅。计算了与频率ω相关的模态波数k后，群速度cg(ω)可通过下式得到：

2 基于机器学习算法的缺陷反演模型

机器学习是通过数据进行建模的技术，数据指的是文档、图像、声音等各类信息，模型是机器学习的最终输出结果，机器学习在建立模型过程中所使用的数据叫做“训练数据”，图2给出了建立机器学习模型的流程。机器学习建立模型的核心思想是在不容易建立公式和规则的情况下，使用训练的数据“通过合适的算法构建出一个模型”[29−30]，因此，获取足够的反映问题特性的训练数据对于机器学习算法至关重要。

图2 建立机器学习模型流程Fig. 2 The process of modeling machine learning

2.1 缺陷反演思路

缺陷反演需要在结构上安装传感器，采集结构的动力特性(频率、振型)和动力响应(动位移、速度、加速度)。当结构发生损伤时，结构的质量、阻尼、刚度改变，量测结构的动力响应信号也随之改变。基于这些结构振动特性的改变，便可以运用算法对结构内部的缺陷损伤进行识别。作为板状结构中传播的超声导波，Lamb波在遇到板中的缺陷时，会发生散射、反射和透射现象，此时，接收到的信号幅值、频率成分以及模态会发生变化，信号中包含了结构的缺陷信息，通过对信号进行采集分析并提取出其中所包含的缺陷信息，就可以对缺陷的存在、大小、类型以及位置等进行判别。相较于静响应(位移、应变)，结构的动响应信息(加速度、速度、动位移等)更易通过传感器采集得到。

图3给出了在具有不同缺陷深度的2 mm厚薄板上施加均匀分布的对称脉冲荷载(见3.1节式(13))激发Lamb波时某固定观测点处的时域位移响应，当缺陷的深度分别为0.6 mm、1.2 mm、1.8 mm时，相应的时域信号如图中所示，初始阶段由于Lamb波信号尚未传播至缺陷处，故三种信号波形重合，但当Lamb波到达缺陷时，观测点上的波形发生变化，这种波形变化包含着缺陷信息：当缺陷深度较大时，增加的波形的y方向位移也较大。如果加以改变缺陷的个数、位置，则时域信号的波形变化更为丰富。总体而言，固定观测点观测到的波形随着板中裂纹数目、裂纹长度、裂纹开裂角的改变发生变化，当入射波模态不同时，相应的波形变化也会不同[26]。由于波形变化的影响因素较多，仅通过分析固定观测点处的波形信号变化来获得裂纹信息难度较大。

图3 不同裂缝深度下时域位移响应Fig. 3 Displacement responses in the time domain under different crack depths

结构的动力响应与缺陷信息间是不容易建立某种公式来描述的，基于前述机器学习算法的启发，通过大量的训练样本，利用机器学习算法建立动力响应与缺陷信息之间的模型，从而识别结构中的缺陷大小、位置等信息是一种行之有效的方法。

2.2 机器学习模型

人工神经网络，作为机器学习的一个模型，已经被广泛地使用。文中利用单隐含层神经网络建立含缺陷结构动力响应与缺陷尺寸之间的映射关系，网络结构图如图4所示。特别提出，计算的动位移是在总时间为45 µs、时间增量为0.03 µs的1500个时间步下计算得到的，即每一个缺陷样本包含1503个数据(1500个动位移数据作为输入，2个缺陷形状参数和1个位置参数作为输出)，因此，训练数据集是非常庞大的。文中利用新型的单隐含层神经网络−极限学习机(Extreme Learning Machine，ELM)作为学习规则训练神经网络，ELM模型[31]由于其极快的学习速度和良好的泛化能力，大大提升了反演模型的效率，其最大的优点在于：1)输入层和隐含层的连接权值、隐含层的阈值可以随机设定，且设定完后无需再次调整，无需要像BP神经网络一样不断反向去调整权值和阈值，因此能减少一半的运算量；2)隐含层和输出层之间的连接权值 β无需迭代调整，可通过解方程组方式一次性确定。研究表明，通过这样的运算规则，模型的泛化性能好，求解效率高，在保证学习精度的前提下比传统的学习算法速度更快。

设有一个含有N个样本的训练集L={(xj,tj)|xj∈Rn,tj∈Rm,j=1,2,···N} ，其中xj是第j个输入向量，tj是第j个目标输出向量。一个含有Nˆ个隐层节点的单隐含层神经网络的激励函数为：

其中：

通过分配随机值参数wi和bj，线性系统的输出权值可以计算为：

其中：

式中：H†为隐含层输出矩阵H的广义摩尔逆；β 和T分别表示输出权矩阵和目标矩阵。

三步ELM算法可总结如下：

输入：数据集D，隐含层神经元数目Nˆ，激励函数g(∗)。

输出：输出权重β。

步骤1：随机产生输入权重wi和隐含层偏置bi，i=1,2,···,Nˆ；

步骤2：计算隐含层输出矩阵H；

步骤3：计算输出权重β ： β=H†T。

值得指出的是，文中采用ELM作为机器学习的一个模型进行研究，但论文的思路和方法也适用于采用其他的基于人工神经网络的机器学习模型，比如感知器神经网络、卷积神经网络[32]等。

2.3 缺陷反演模型

论文结合SBFEM数值模拟和机器学习算法，提出了一种薄板结构中缺陷的反演模型，该模型主要分为前处理和反演两个阶段：

1)前处理阶段：在一个无缺陷薄板中随机生成缺陷信息使其变成含缺陷薄板，并储存缺陷信息(缺陷的位置、深度、开裂角)，同时利用SBFEM计算该缺陷薄板的观测点处的Lamb波动力响应。此时，一个训练样本已经构建完毕，缺陷信息即为样本的数据标签，动力响应即为样本的数据特征。如此重复构建大量的训练样本，形成训练数据集。用ELM算法对训练数据集进行学习训练，得到一个各部分权重已确定的神经网络(图4中输入层与隐含层、隐含层与输出层之间连接权值已确定)，从而构建数据标签与数据特征之间的关系，即动力响应与缺陷信息之间的非线性映射关系。此时整个神经网络系统好比一个“黑匣子”，输入一个动力响应便输出对应的缺陷信息。

图4 用于反演缺陷的单隐含层神经网络结构图Fig. 4 The structure of single hidden layer neural network for detecting flaws

2)反演阶段：针对一个缺陷信息未知的薄板，通过试验对其激发Lamb波得到观测点处实测的动力响应，将该动力响应输入“黑匣子”，从而获得预测的缺陷信息。

缺陷反演模型流程如图5所示。

图5 反演模型实现流程Fig. 5 Flow chart of inversion model

3 数值算例

3.1 单个开口缺陷的反演

如图6(a)所示，待研究的薄板内部缺陷形式为单个开口缺陷(具有一定开裂角和开裂深度的裂纹)，可用三个参数来近似描述这样的缺陷，裂纹尖端坐标xc、裂纹垂向深度d和半开裂角 α。缺陷板的长度为180 mm，厚度为2 mm，弹性模量为E=200GPa ，泊松比为ν=0.3 ，密度为ρ=7850kg/m3。板为自由边界，在板的最左端施加均匀分布的对称脉冲荷载激发Lamb波，施加的脉冲荷载时程为：

图6 含缺陷的薄板结构几何尺寸及SBFEM离散单元Fig. 6 The geometrical dimension of a thin plate structure with flaws and the SBFEM discretized domain

其中，f=0.6MHz ， σ=2μs ，μ=6μs。固定的信号观测点P设置在板下表面xP=30mm处。

数值计算时，采用基于Guass-Lobatto-Legendre积分的7阶线单元组成的S单元离散板的边界，板边界被离散成907个结点，156个线单元，31个子域，8516个自由度，离散单元的代表性部分如图6(b)所示，连分式展开阶数Mcf取5，数值计算的总时间t为45 µs，分析步时间 ∆t为0.03 µs。

基于ELM进行反演分析时，将观测点P的动位移作为单隐含层神经网络的输入，将3个待反演参数(裂纹尖端坐标xc、半开裂角 α和裂纹深度d)作为输出，输入数据被归一化到 [0,1]范围，隐含层神经元个数采用试错法确定为240。本算例中，2000个随机生成的缺陷板以及对应的观测点动力响应样本用于训练单隐含层神经网络。训练结束后，交叉验证采用200个缺陷板样本，以待反演参数裂缝深度为例，这些用于交叉验证的缺陷板裂纹深度的分布如图7所示，可以看到，200个样本的裂纹深度是随机分布的，将这200个样本的观测点处的动力响应作为训练好的单隐含层神经网络的输入数据，该网络对输入数据进行处理，输出200个样本的预测裂纹深度，然后将预测的裂纹深度与真实值进行比较，图8给出了经过2000个样本训练之后的交叉验证误差的分布，200个样本的交叉验证误差大部分在2%以下，交叉验证的平均误差为0.79%。因此，在交叉验证中没有发现明显的过拟合现象，可以进一步利用该神经网络预测实际缺陷板样本的缺陷信息。

图7 200个样本的裂纹深度分布Fig. 7 Crack depth distribution in 200 samples

图8 交叉验证误差分布Fig. 8 Cross validation error distribution

建立该神经网络的目的是反演实际样本的缺陷尺寸。现选取一个缺陷未知的真实样本，图9为实测观测点处动力响应信号(该实测信号通过SBFEM模拟得到)，通过该实测信号利用文中建立的反演模型进行缺陷信息预测。将图9中的动力响应信号作为训练好的单隐含层神经网络的输入数据，需要说明的是，该真实样本未在训练过程中使用过。由于ELM的初始权重值是随机生成的，为了避免偶然性以及象征性地表明文中反演模型的概率统计特征，反演过程采用1000次的蒙特卡洛模拟，即将反演程序连续独立运行1000次，根据1000次模拟的统计特征来获得反演问题的近似解。1000次蒙特卡洛模拟后的反演结果的频率直方图如图10所示，横坐标表示每个反演参数的反演值，纵坐标表示1000次模拟后该反演值出现的次数，并对1000次反演结果数据进行正态分布拟合，绘制正态分布拟合曲线，如图中实线，并得到正态分布拟合曲线的期望值µ和标准差σ，期望值即为最后的反演结果，标准差则决定了概率分布的幅度，最终的反演结果如表1所示。

图9 待反演缺陷的模拟量测信号Fig. 9 Simulated measurement signal of the identified defect

图10 单个开口缺陷1000次蒙特卡洛模拟后的反演结果正态拟合频率直方图Fig. 10 Normal fitting frequency histogram of identified results after 1000 Monte Carlo simulations for single opening flaw

表1 单个开口缺陷的反演结果及误差Table 1 Identified results and errors of single opening defect

可以看出，对于单个开口缺陷，建立的反演模型可以十分准确地探测出缺陷的信息。另外值得注意的是，由于ELM极快的学习速度，1000次蒙特卡洛模拟所需的时间成本极低，总计共需仅323 s左右，反演效率得到极大地提高。

3.2 两个开口缺陷的反演

本节探讨建议的反演模型对于多缺陷识别的适用性，本算例中双裂纹板的尺寸、边界条件、计算网格、材料参数及荷载条件同3.1节，连分式展开阶数Mcf同样取5，但板表面含有两个开口裂纹，如图11所示，双开口裂纹共有6个反演参数：第一个裂纹的尖端坐标x1、裂纹深度d1、半开裂角 α1，以及第二个裂纹的尖端坐标x2、裂纹深度d2、半开裂角 α2。固定的信号观测点P仍设置在板的下表面xP=30mm处，实测动位移信号仍通过SBFEM数值解模拟得到。

图11 双开口缺陷裂纹板Fig. 11 A cracked plate with two opening flaws

本算例中，仍然采用2000个随机生成的缺陷板组以及对应的观测点动力响应样本用于训练单隐含层神经网络，最后采用经过训练的模型预测缺陷信息。图12为待反演缺陷板的观测点动力响应图，将其作为训练好的单隐含层神经网络的输入数据。图13给出了经过1000次蒙特卡洛模拟后的反演结果正态拟合频率直方图，最终的反演结果及误差值如表2所示。可以看出，在进行1000次蒙特卡洛模拟之后，作为最终反演结果的概率分布期望值能很好地逼近真实结果，因此，文中提出的反演模型对于多缺陷识别也具有较好的适应性，能较准确地探测多个缺陷的位置和尺寸参数。

表2 两个开口裂纹的反演结果及误差Table 2 Identified results and errors of two opening flaws

图12 双开口缺陷裂纹板的模拟量测信号Fig. 12 Simulated measurement signal of double-crack plate

图13 两个开口缺陷1000次蒙特卡洛模拟后的反演结果正态拟合频率直方图Fig. 13 The normal fitting frequency histogram of the identified results after 1000 Monte Carlo simulation of two opening flaws

3.3 鲁棒性分析

实际问题中，传感器测量误差、人工测量误差会导致测量到的动力响应信号含有一定程度的噪声。本算例为了分析测量噪声对缺陷参数识别的影响，考虑了测量数据中的各种噪声污染程度，以验证文中提出的反演模型的鲁棒性。本算例同3.2，只是在通过SBFEM数值解得到的结构实际动力响应值的基础上引入一定的高斯白噪声来模拟有噪声的量测动力响应信号，含噪声的实测动位移向量um通过下式计算得到[33]：

式中：uc表示通过SBFEM计算的真实位移；ω为高斯白噪声变量；RMSu为真实位移的均方根；p%为噪声水平。

首先在训练样本中引入5%和10%的噪声水平，并在测试信号中分别引入2%、5%、8%的噪声水平，仍然采用2000个随机生成的缺陷板组以及对应的含噪声的观测点动力响应样本用于训练单隐含层神经网络，最后采用经过训练的模型预测缺陷信息。表3、表4给出了不同噪声水平下的最终反演结果。可以看出，文中建议的反演模型根据添加噪声之后的动响应仍能准确地识别缺陷参数，但随着噪声水平的提高，反演精度会下降。

表3 训练样本中添加5%噪声干扰时多缺陷参数反演结果Table 3 Multiple flaw parameter identified results when adding 5% noise interference to training samples

表4 训练样本中添加10%噪声干扰时多缺陷参数反演结果Table 4 Multiple flaw parameter identified results when adding 10% noise interference to training samples

4 结论

机器学习依靠一定量的数据作为支撑，通过训练提取出数据内部蕴藏的抽象映射关系，近年来逐渐成为计算力学领域的研究热点。文中提出了一种结合SBFEM和机器学习的缺陷反演模型用以建立结构动响应和缺陷参数之间的映射关系。SBFEM通过改变裂纹所在子域的比例中心位置反映不同的裂纹信息，减少了需要进行重划分的网格数量，大大提升了计算效率，能够提供足够多的反映缺陷特性的训练数据；基于极限学习机的人工神经网络机器学习模型避免了传统反分析问题求解的目标函数极小化迭代过程，能在极快的学习速度下保证缺陷反演的精度。通过含单个和两个开口缺陷的薄板结构数值算例，验证了建议的反演模型可以对缺陷位置及尺寸进行精确量化且效率极高，而且该反演模型能够在一定的噪声水平下保持良好的鲁棒性，具有工程实用性。

此外，文中提出的反演思路也可扩展到其他工程结构的缺陷检测中，虽然反演模型有待进一步完善，比如考虑更为丰富的缺陷种类、更为复杂的结构形式，但在一定程度上反映了结合计算力学和机器学习的可行性、优越性和可挖掘性。