质量调谐-颗粒阻尼器复合减振体系的力学解析及优化分析

王宝顺，何浩祥，闫维明

(北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点试验室，北京 100124)

结构在风振及地震等随机动力荷载或作用下会产生明显的振动，从而导致结构的舒适性甚至安全性下降。为了减小结构的动力响应，研究者提出了众多结构振动控制理论、方法与技术[1−3]。被动控制中的调谐质量阻尼器(Tuned massdamper，TMD)是一种高效便捷的振动控制装置[4]，其减振机理明确，在风振和地震下均可有效降低结构响应。与其它被动控制装置(如位移相关型阻尼器及速度相关型阻尼器)相比，TMD具有占用空间小、维修更换容易及不需要对结构设计方案进行调整等优点。然而TMD对频率过于敏感，当动力荷载频率较丰富时甚至会放大结构响应，且其对高阶振型比例显著的多自由度结构的控制效果较差。近年来，尽管多重TMD、自适应TMD和电涡流TMD等新型装置被提出并力求改进传统TMD的性能，但TMD仍然存在减振频带窄、减振稳定性弱及成本较高的不足，这限制了TMD的推广和应用。

将传统TMD与其它被控控制装置共同安装在受控结构上从而形成复合减振体系是改进TMD控制效果的一种思路。对于TMD与位移相关型阻尼器结合的复合减振方案，阻尼器会改变受控结构的频率和振型从而增加TMD的设计难度，甚至加大TMD的位移失调的风险，因此两者的结合未必形成优势互补。对于速度相关型阻尼器，若将其与TMD同时安置在结构上，并不会显著拓宽TMD的减振频带，反而会降低速度型阻尼器的减震性能。另外，由于被动型阻尼器不易在既有结构中安装，且成本较高，因此相应的复合减振方案的性价比并不高。此外，诸如碰撞TMD[5]、单边冲击TMD[6]等方案的确可以拓宽TMD的减振频带并提高其减振鲁棒性，但往往强调用单一装置同时实现调谐减振和碰撞耗能，而由于二者的减振机理有本质的不同，很难实现在动力全时程中的充分耗能和优化设计，减振效率并不突出。因此，针对TMD的特性提出新的复合减振方法具有重要的理论和工程意义。

近些年，颗粒阻尼器以其具有布置灵活、安装方便、减振频带宽、鲁棒性强和成本低等优点成为研究热点[7]。颗粒阻尼器最初的形式为如图1(a)所示的单颗粒阻尼器[8]，随后被发展为如图1(b)所示的多颗粒阻尼器[9]，Lu等[10]和闫维明等[11]因多颗粒阻尼器减振频带宽的特点将其与TMD相串联，提出了颗粒调谐质量阻尼器，并通过振动台试验验证了其在地震激励下具有更好的鲁棒性。然而多颗粒阻尼器由于颗粒堆积效应导致减振效率偏低。有鉴于此，闫维明等[12]出了并联式单向单颗粒阻尼器(Parallel Single-Dimensional Single Particle Damper,PSSPD)，如图1(c)所示，其属于加速度相关型阻尼器，并具有机理明确、减振频带宽、减振效率更高且适合应用于建筑结构减振等优点。若直接按Lu等[10]的方案将PSSPD与TMD串联，确实也可以提高TMD的减振效果及拓宽减振频带，但是串联之后的减振机理及参数耦合复杂，导致其理论分析与数值模拟较困难。此外，若将PSSPD与TMD串联，其复合体系对受控结构的减振实质还是TMD的调谐作用，由于PSSPD直接与TMD发生碰撞而只能间接对受控结构产生振动抑制效果，这样将降低PSSPD的减振效果。因此，可以将PSSPD与TMD并联形成复合减振体系，经过合理设计将实现两者优势互补，即PSSPD拓宽了TMD的减振频带，而TMD提高了PSSPD的减振性能及鲁棒性，使复合阻尼器具有显著的减振效果。

图1 颗粒阻尼器示意图Fig.1 Schematic diagram of particle damper

关于PSSPD与TMD并联的复合减振体系力学模型、减振机理及性能与减震效果的研究以及如何合理设计参数使其具有显著的减振效果可以借鉴目前颗粒阻尼器与TMD的研究成果。颗粒阻尼器性能的分析手段按分析方法可以划分为时域分析与频域分析，其中以时域分析方法居多。例如闫维明等[13−15]基于时域中相轨迹对附加单颗粒阻尼器的受控结构在周期激励下稳态振动时的解析解进行了分析，并证明了考虑颗粒与受控结构之间摩擦影响的必要性。颗粒阻尼器数值模拟所常用的离散单元法[16]及试验手段[17]均是基于时域分析。颗粒阻尼器基于频域分析的研究较少，苏俊收等[18]通过试验采集了颗粒阻尼复合板上各测点稳态加速度响应并获得了相应的传递函数，结果表明颗粒阻尼器具有良好的宽频减振特性。也有学者将颗粒阻尼器等效为TMD[19−20]或是DTMD[21]，然后通过频域分析方法对其性能进行研究。然而，颗粒阻尼器与TMD等调谐减振装置的减振机理存在本质区别，该等效存在不合理性。而对于附加TMD的受控结构而言，其分析方法也可以分为时域分析与频率分析，例如刘良坤等[22]通过时域分析方法推导了TMD系统的相位公式，研究了各参数对相位差及减振效果的影响。Farzam等[23]基于频域分析法分析了TMD对多自由结构的优化设计参数。通过上述分析发现采用分析方法不同，求解过程的复杂程度与计算效率也存在差异，而且构建的力学模型所显示的内涵也不相同。此外，PSSPD与TMD并联的复合减振体系中存在碰撞问题，而采用时频域相结合的方法研究碰撞问题会带来极大的便利，例如赵登峰[24]建立了线性系统的碰撞模型，利用时域卷积分形式与系统传递函数对碰撞问题进行了求解。文[25]建立了间隙约束悬臂梁系统的动态响应分析模型，以传递函数为基础，结合系统时域响应推导出系统动力学分析方程及其求解方法。相关的时频域结合方法为颗粒阻尼动力性能求解提供了良好的研究基础。

综上所述，PSSPD与TMD并联的复合减振体系是一种非常有前景的减振技术，但是其复合减振体系的设计参数包括了PSSPD和TMD两者的多个性能参数，各参数耦合关系复杂，例如PSSPD的性能不仅与受控结构动力特性、激励频率及激励幅值密切相关，还与自身参数(颗粒质量、颗粒运动间距)及TMD的动力特性相关，若单独使用时域分析方法则不能直观且充分地体现PSSPD的减振机理，而频域分析法虽然具有明显的优点，如无需求解微分方程及易于求解一些特殊激励形式(阶跃激励、脉冲激励)的结构响应等，但是单独使用频域分析方法求解该复合减振体系的动力时程响应也极其困难，因此可以根据复合减振体系中TMD与PSSPD的特点灵活地选用便捷有效的求解方法来探究复合减振体系的减振机理及减振效果。

有鉴于此，本文提出TMD与PSSPD并联的复合减振体系，首先从该减振体系的力学机制入手，深入剖析其减振机理，将颗粒与受控结构之间的碰撞力等效为脉冲力，建立相应的力学模型，在频域法基础上结合时域法对其力学模型进行解析，从而提出使该复合减振体系在简谐激励下达到最优减振效果的方法，并验证了力学模型的精度及优化方法的可行性。之后进一步提出复合减振体系在地震动中的参数优化方法，最后在PSSPD、TMD及复合减振体系的最优参数设计下，对三者的减振机理及减震效果进行了深入对比分析，最终验证了该复合减振体系的特点和减震优势。

1 复合减振结构系统力学模型

复合减振体系中的减振装置包含TMD与PSSPD两部分。TMD与受控结构之间通过刚度装置和阻尼装置连接，通过调谐作用减轻受控结构的动力响应。PSSPD的构造如图1(c)所示，其特色是由多个颗粒组成，但每个颗粒均有独立腔体，且在侧壁约束下只能单向运动，这既降低了颗粒启振条件又提高了颗粒与受控结构之间动量交换效率，布置灵活且可分散布置。PSSPD的减振效应包括三种成分：碰撞过程中颗粒与受控结构之间的动量交换、该过程中由于两者之间的非完全弹性碰撞造成的能量耗散及非碰撞时颗粒与受控结构之间的摩擦产生的阻尼效应。此外，根据文[26]的结果可认为在颗粒与腔体壁发生正碰撞时颗粒与腔体壁之间切向碰撞刚度的影响可忽略不计。基于上述分析，本文建立了如图2所示的力学模型。其中，m、c和k分别为受控结构质量、阻尼系数和刚度，mT、cT和kT分别为TMD的质量、阻尼系数和刚度，mp为所有颗粒的总质量，ag为激励加速度，x、x˙ 和x¨分别为受控结构的位移、速度和加速度，xT、x˙T和x¨T分别为TMD的位移、速度和加速度，xp、x˙p和x¨p分别为颗粒的位移、速度和加速度，d为颗粒运动间距。

图2 TMD与PSSPD复合减振体系力学模型Fig.2 Mechanical model of composite damping system with TMD and PSSPD

通过上述分析，可建立含有TMD与PSSPD的复合减振体系的动力方程，其形式为：

该力学模型的优势在于不仅便于求解系统中各部分的动力响应，更能彰显TMD与PSSPD的减振机理，其中摩擦项表明非碰撞时颗粒与受控结构之间的摩擦产生的阻尼效应能够减轻结构的振动，而脉冲项揭示了PSSPD的主要减振机理为颗粒与受控结构碰撞过程中的动量交换与能量耗散。下文将对该力学模型进行求解，通过推演过程证明其具有便于求解的特色。

2 复合减振结构系统力学模型的求解

对式(3)求解可得：

1)TMD受控结构的位移响应

TMD受控结构在外部简谐激励下的位移反应可通过对式(4)进行Laplace逆变换获得，然而该求解过程冗长繁琐，考虑到系统在稳态时做简谐运动，因此可将受控结构与TMD的位移响应形式假设为：

将式(6)代入式(1)，且在式(1)中暂不考虑颗粒与受控结构之间的碰撞作用与摩擦效应，进而获得式(6)中各系数为：

2)摩擦力响应x2

摩擦力引起的受控结构动力响应通过式(4)的Laplace逆变换所获得的受控结构的位移响应和速度响应分别如式(8)与式(9)所示，其中B0～B6、ω1及ω2是通过对式(4)的Laplace逆变换时解析表达的结果，它们的取值仅与TMD及受控结构的质量、阻尼和刚度相关，对于基本参数已经确定的复合减振体系，可通过式(4)及相关理论推导便来确定式(8)及式(9)中各参数的取值。

3)脉冲周期响应x3

同样，对颗粒碰撞所引起的受控结构动力响应通过式(4)的Laplace逆变换所获得的受控结构的位移响应如下：

在上述脉冲周期动力响应表达式结果中，脉冲量S0为未知量，这是因为虽然受控结构及颗粒的质量已知，但是两者在碰撞前的速度x˙−、vp0并未获得。然而，尽管在受控结构与颗粒振动未达到稳态时两者碰撞前的速度难以计算，但可通过分析受控结构在稳态振动时的速度响应而获得。由此，复合减振控制下受控结构的速度响应为：

为了探究脉冲周期对E值的影响从而奠定求解稳态时颗粒与受控结构速度的基础，本文采用数值模拟方法对上述解析结果进行分析和验证。选取一单层单跨钢框架结构，其设计参数为：m=2300 kg，k=2200 kN/m，ζ=0.02，结构周期Ts为0.2 s，其中µT取0.025，T分别取0.5T1、T1及1.5T1，其中T1为激励周期，即T1=2π/ω。在上述复合减振结构系统中获得式(8)～式(13)中各参数的取值如表1所示。

表1 受控结构动力响应各参数取值表Table 1 Parameters of dynamic response of controlled structure

将表1中的相关参数代入式(13)计算E值随碰撞时间点的变化趋势，结果如图4所示。结果表明E值在初期呈现波动得趋势，最终趋于稳定，该波动趋势是由PSSPD的混沌运动状态造成的[29]，本文暂不考虑。当颗粒从静止到达稳态运动时，颗粒的速度将达到最大，所以在求结构的碰撞速度时E应该取最大值Emax。经过对图4的综合对比分析可知在相同的激励频率下，当脉冲周期取激励周期的0.5倍时，E值均大于脉冲周期取其它值的情况，即T取0.5T1时PSSPD的减振效果最佳，但前提条件是τ的取值需适当。下文将探讨T及τ的取值问题。

图4 幅值E值计算结果趋势Fig.4 Trend of calculation results of E value

基于上述分析，复合减振结构系统在简谐激励下达到稳态振动时，受控结构在碰撞后的速度为：

此情况下，可假设颗粒在与受控结构碰撞前后的速度大小不变，只是碰撞后的方向相反，设颗粒在碰撞前与碰撞后的速度分别为vp0−=−v、vp0+=v。在颗粒与受控结构碰撞的过程中动量守恒，即：

通过恢复系数可以表征PSSPD中颗粒与受控结构的弹塑性碰撞过程。由恢复系数e的定义可知：

本文不考虑颗粒与受控结构连续碰撞两次及两次以上的情况，因此可将式(16)简化为：

联立式(14)与式(16)，解得：

进一步联立式(14)及式(18)，可得在稳态时颗粒碰撞后的速度为：

这样，通过式(18)与式(19)便可以获得复合减振结构系统在简谐激励下稳态时受控结构与颗粒碰撞前后的速度。然而要使PSSPD达到最优减振效果，尚需要确定脉冲周期T及脉冲相位τ。进一步分析式(17)中受控结构在碰撞前后的速度，可发现受控结构在与颗粒碰撞后其速度的降低率相同，即要获得最优减振效果，只需使碰撞发生在受控结构速度最大的位置即可。由于PSSPD只是通过为受控结构提供周期脉冲力抑制结构的振动，并不会改变结构的频谱特性，因此复合减振结构系统与TMD减振结构中受控结构振动速度出现最大值的时刻相同，均为：

式中， β=arctan(A1/A2)，对上式进行分析，t0(k+1)−t0(k)=π/ω，因此可得脉冲周期为T=π/ω，即T取0.5T1时PSSPD的减振效果最佳，这与图3的分析结果一致。这是因为在每个受控结构的振动周期中，速度峰值出现两次，因此颗粒与受控结构应该是每周期碰撞2次，即脉冲的周期T=π/ω，此情况下耗能最充分。令k=0，可获得τ=(π−2β)/2ω。

图3 复合减振受控结构运动叠加示意图Fig.3 Schematic diagram of movement superposition of controlled structure with compositedamping system

在上述参数基础上，继而获得复合减振结构系统在简谐激励下的稳态合成响应，本文仍以上述单层钢结构为例进行分析，阻尼颗粒参数为：

µ=0.02，e=0.8，µf=0.05 mm，r=45 mm，np=15；激励荷载参数为：λ=0.95，p0=0.25g。该算例下受控结构实际响应叠加结果如图5所示，该图与图3相互对照，验证了图5受控结构位移叠加示意图的正确性，也证明了求解复合减振结构系统力学模型过程的合理性。

图5 复合减振受控结构响应叠加图Fig.5 Response superposition diagram of controlled structure with composite damping system

通过对上述各部分参量的分析，将结果代入式(5)便可获得受控结构与颗粒在稳态振动时的时域位移响应，两者位移的差值就可以获得PSSPD在最优减振效果下颗粒的运动间距，其表达式为：

综上，在构建复合减振体系力学模型的基础上，本文通过时域分析与频域分析相结合的方法对该系统在简谐激励下稳态时的动力响应进行了求解，求解过程清晰、简便且准确合理，两种分析方法相结合具有其独特的优势。最终获得了该体系的最优减振性能设计参数，包括TMD的刚度、阻尼以及颗粒运动间距的取值及计算方法。下文将通过复合减振结构系统性能的数值分析对其力学模型的精度及其减振效果最优参数取值的正确性进行数值验证。

3 复合减振力学模型动力响应验证

在前文的基础上，再结合复合减振结构系统性能的数值分析可对其力学模型的精度及其减振效果最优参数取值的正确性进行验证。文[12]在剖析PSSPD减振机理且全面考虑颗粒的受力状态的基础上已经建立了PSSPD性能数值分析流程，本文在其基础上结合TMD数值模拟分析的方法建立复合减振结构系统数值分析流程，文中将不再赘述。

3.1 力学模型精度验证

对复合减振体系力学模型进行验证时，其中受控结构仍然选用上文中的单层单跨钢结构，阻尼颗粒为实心钢珠，各工况的相关参数选取如表2所示。表2也列出了各工况下dop结果，四种工况下PSSPD单个腔体在振动方向上的长度分别是155.0 mm、172.8 mm、163.4 mm及159.8 mm，正交于振动方向的宽度分别为95 mm、119 mm、109 cm及109 cm，高度均为50 mm，腔体碰撞壁厚度为4 mm，其余部件均为2 mm。腔体附加质量比最大为0.44%，因质量小且与结构固结，可忽略其对结构动力特性影响。四种工况下无控结构、受控结构数值模拟结构及理论计算结果如图6～图7所示。

表2 验证工况信息表Table 2 Verify condition information

从图6和图7中可以明显看出复合减振体系具有良好的减振效果，通过比较理论计算结果与数值分析结果可知本文所构建复合减振体系力学模型具有良好的精度，并且频率越接近共振频率其精度越高，在共振时，两者的动力响应基本重合，而在非共振时，理论计算的结果与数值模拟的结果略有差异，这是因为：1)颗粒阻尼器减振结构的基频与外荷载的频率相距越远，减振结构的振动越容易出现周期分岔和混沌现象[29]，而限于目前的研究水平尚没有考虑该特殊现象；2)理论分析假设颗粒在碰撞前后的速度大小不发生变化，只是方向与碰撞前相反，而复合减振结构体系数值模拟中颗粒与受控结构碰撞后的速度是通过两者碰撞前的速度及动量守恒与恢复系数而获得。此外，虽然在理论分析中假设颗粒与受控结构之间的碰撞发生在速度峰值处，但实际的计算结构发现两者发生碰撞的位置有时偏离速度峰值处，这是因为结构体系中阻尼产生的时滞效应造成的，文中暂不考虑该种情况。

图6 数值分析与理论计算的位移结果对比Fig.6 Comparison of displacement resultsof numerical analysisand theoretical calculation

图7 数值分析与理论计算的速度结果对比Fig.7 Comparison of velocity resultsof numerical analysis and theoretical calculation

3.2 最优性验证

图8 受控结构峰值响应减振率随η的变化曲线Fig.8 Relationship of peak responsedamping rateand η

图9 受控结构均方根响应减振率随η的变化曲线Fig.9 Relationship of root mean square responsedamping rateand η

可以明显看出：当d取dop时确实获得了最优减震率，且复合减振体系对受控结构位移与速度峰值均方根的减振效果相近，这与文[11]的研究结果一致。当复合减振体系在结构越靠近共振频率时其减振效果越优，因为此时PSSPD与TMD的减振作用完全发挥。受控结构在工况II和工况III中d=1.2dop时获得最优减振率，两种颗粒运动间距的取值虽然相差20%，但是减振效果最大相差5%以内，均可以认为达到了最优的减振效果，这也表明复合减振体系具有较强的减振鲁棒性。

4 复合减振体系参数分析

前文已经验证了复合减振结构体系力学模型具有良好的精度及其最优参数取值的正确性，但仍然不能直观地体现各参数如何影响着复合减振体系的减振性能，只有根据受控结构的位移放大系数随各参数的变化才能进一步推断影响规律。具体而言，需要考察控制脉冲相位、质量比、频率比及激励幅值变化等参数对受控结构位移响应放大系数的影响。然后在此基础上提出复合减振体系在地震动中的优化分析方法。

依据放大系数的定义，并考虑到复合减振结构体系的非线性特性，将复合减振结构体系中受控结构的位移放大系数定义为：

同时，为了更加深刻地探究复合减振体系的减振效果及减振频带宽度，在相同条件下将其与PSSPD、TMD的减振效果进行对比分析。因此首先须获得无控结构的位移放大系数为：

而附加TMD的受控结构位移放大系数可以通过式(7)计算获得，附加PSSPD的受控结构的位移放大系数可以文[9]计算获得。在三种减振方案在比较的过程中，总的附加质量比保持不变，即单纯TMD或PSSPD的附加质量为复合减振结构体系中TMD与PSSPD质量之和。若受控结构仍然选用上文中的单层单跨钢结构，对复合减振体系进行参数分析分析时，脉冲相位、质量比、频率比及激励幅值在各工况下的参数取值如表3所示，计算结果如图10所示。为了分析方便，引入最优相位比α，且有α=τ1/τ。

表3 参数分析取值表Table 3 Parameter analysis value

图10从不同角度展示了受控结构位移放大系数随影响参数变化的演变趋势。由图10(a)可知当其它参数不变且α=1时，受控结构的位移放大系数最小，即存在最优脉冲相位为τ，前文对该现象已经进行了阐述。图10(b)中，当λ取0.9、1及1.1时，受控结构位移放大系数随着附加质量的增加而减小，且趋势渐缓；而当λ取0.8时，受控结构位移放大系数随着附加质量的增加而增加，这与文[13]的研究结果一致。当TMD在激励频率远离共振频率时就会放大结构的动力响应，即产生失谐效应，并且TMD附加质量越大，该效应就会越明显，而PSSPD也存在类似于TMD的失谐效应，因此当复合减振体系对受控结构的动力响应有放大的作用时，增加附加质量将加剧放大效应。根据图10(c)中对PSSPD、TMD及复合减振体系减振效果的对比，可知在频率比λ在0.95～1.05时，TMD的减振率最大为80.62%，PSSPD的减振率为71.50%，复合减振的减振率为75.53%，减振效果的顺序为：TMD>复合减振体系>PSSPD；当λ在0.6～0.95时，三者均对受控有放大作用，减振效果的顺序为：PSSPD>复合减振体系>TMD；当λ在1.05～1.4时，三者均具有良好的减振效果，且频率比越大减振效果的差异越小。由图10(c)可知在受控结构主频处，TMD具有最优的减振效果，但是其减振频带较窄，而PSSPD与复合减振体系的减振频带更宽，对于频谱丰富的地震动，三种方式的减震效果尚需进一步通过时程分析进行比较。在最优参数下，复合减振体系的减振效果随着激励幅值的增加而增加，如图10(d)所示，但是减振效果提升渐缓，说明其具有良好的鲁棒性。

图10 受控结构位移放大系数随影响参数的变化曲线Fig.10 Curve of displacement amplification coefficient with influence parameters

此外，结合对附加复合减振体系受控结构在简谐激励下减振效果的分析可知，在不同激励频率及激励幅值下均有相对应的dop能使PSSPD的减振效果达到最佳，然而计算dop的方法是否适用于地震动下的结构减震优化仍需在分析中进一步验证。复合减振体系中TMD在地震动中的最优频率比及阻尼比仍按上文优化方法获得。地震动三个主要特征包括持时、振幅和频谱。持时对复合减振体系的减震效果影响较小，关于PSSPD，只要颗粒与受控结构发生碰撞，两者之间就会产生动量交换，随着持时增长减震效果保持稳定。对于具体地震波，可以借鉴Rathje等[30]的研究对平均周期的定义方式，考虑地震动整体频谱特征频率参数，定义平均频率为

湿地保护与修复。加强上游污染控制和周边治理，制定严格的工业污水排放标准，实行污染物总量控制，同时积极发展绿色农业，减少农业面源污染；修复强化湿地功能，建立长效补水机制，实施生态移民试点工程，使水生态系统逐步恢复，水环境质量满足水体功能需求。

式中：f¯为地震动平均频率；fi为0.01 Hz～10 Hz的离散频率点；Ci为频率点fi所对应的离散傅里叶变换幅值。地震强度可以取地震动加速度峰值x¨gmax，则p0=x¨gmax。最终将各参数代入式(21)中获得dop值。

综上所述，通过参数分析证明了复合减振体系力学模型的合理性以及其减振效果最优时脉冲相位及脉冲周期的取值，更加明晰了复合减振体系的减振机理，在该体系作用下受控结构的位移放大系数能够清晰地反应其减振效果随着各参数的变化规律，且进一步建立了复合减振体系在地震动中的参数优化方法，下文将通过具体算例对其合理性和准确性进行验证，并对PSSPD、TMD及复合减振体系的减振性能进行深入对比分析。

5 算例分析

为了验证上述复合减振体系优化方法的合理性及其在地震动下对受控结构的减震效果，本文仍以上述单层钢结构为例进行分析。阻尼颗粒自身参数为µp=0.025，e=0.8，µf=0.05 mm，r=49 mm，np=15；TMD的附加质量比µT=0.025，λT=0.976，ζT=9.33%。本文共选取3条实际地震波，具体信息如表4所示。分析时将所有地震波的加速度峰值均调整为0.25g。

利用对复合减振体系在地震动中的参数优化方法最终获得颗粒运动最优间距dopg，其中三条地震波下的最优间距分别为83.2 mm、63.2 mm、32.2 mm，即阻尼器腔体在振动方向上的长度分别是181.2 mm、161.2 mm、130.2 mm，其在正交于振动方向的宽度为103 mm，高度可为40 mm，腔体碰撞壁厚度为4 mm，其余部件均为2 mm。腔体附加质量比最大为0.43%，与前文相同，也可忽略其对结构动力特性影响。该颗粒运动间距与阻尼器腔体尺寸均可在实际工程中实现。

利用本文所提出的复合减振结构系统性能数值模拟方法对受控结构进行时程分析，从而获得三条地震波下的位移与速度峰值及均方根减震率，如图11所示。分析图11可知，复合减振体系对受控结构在地震动下均具有良好的减震效果，且当d=dopg时，其减震效果最佳，同时也证明了按本文方法求复合减振体系减振性能最优方法的准确性及可行性。并且d在(0.8～1.5)dopg取值时，复合减振体系对受控结构的减振率相差在15%以内，甚至更小，该现象与文[12]中颗粒运动间距对PSSPD减振性能影响结果相比，说明复合减振体系提高了PSSPD的鲁棒性。

图11 受控结构减震效果随η的变化曲线Fig.11 Damping rates of structural response with η

为了对复合减振体系的减震机理及效果进行深入研究，将PSSPD及TMD的减震效果与之进行比较分析，其中PSSPD及TMD的附加质量比为复合减振体系中附加质量比之和(µp+µT)，PSSPD的最优参数取值可按文[12]的参数优化方法获得，TMD的最优参数取值如前文所述。受控结构的时程结果如图12所示。图12中，PSSPD、TMD及复合减振体系均对受控结构在地震动下具有良好的减震效果，但PSSPD及TMD的确存在部分时刻会放大结构动力响应的现象，而同时刻的复合减振体系则具有明显的减震效果。这是因为：PSSPD虽然减震频带宽，但偶尔也会放大受控结构的动力响应；TMD的减震效果主要取决于结构频率与荷载频率的调谐关系，其对频率有高度的敏感性，而地震动的强随机性及其频谱丰富性会限制TMD调谐作用的发挥，甚至放大受控结构的动力响应；复合减振体系中TMD的质量减小，失谐效应也会减轻。颗粒没有固定频率，只要颗粒发生碰撞就会转移受控结构的能量，从而减轻受控结构振动，因而减振频带宽，再兼有TMD在共振频率附近减振效率高的优点，这样PSSPD与TMD并联的方式形成了优势互补，因此复合减振体系与单纯PSSPD及TMD相比，同时具有减震效率高、减震频带宽且鲁棒性强的优点。

图12 地震动下受控结构位移时程Fig.12 Response history of controlled structure subjected to ground motions

为了更加直观地展现PSSPD、TMD及复合减振体系在不同地震波下的减震效果，对三者的位移峰值减震率，速度峰值减震率，位移均方根减震率及速度均方根减震率进行对比分析，其结果如图13所示。复合减振体系对受控结构位移峰值与速度峰值的控制效果要优于PSSPD及TMD，而复合减振体系对控结构位移均方根与速度均方根的控制效果要优于PSSPD，而与TMD的控制效果相近。

为了进一步对复合减振体系的减震机理进行剖析，并与PSSPD及TMD在频域上的减震效果进行对比分析，对无控结构的位移、受控结构的位移进行功率谱分析，分析结果如图14所示。复合减振体系减振频带宽，特别是在靠近结构基频附近的减振效果显著优于PSSPD与TMD，这是因为单纯TMD的减震频带窄，而地震动频谱的丰富性和随机性增强了复合减振体系中颗粒发生碰撞的概率，提高了颗粒与受控结构动量交换的效率。上述分析从不同角度充分验证了复合减振体系具有效率高、减震频带宽的优势。

图14 地震动作用下的位移功率谱Fig.14 Displacement power spectrum subjected to ground motions

在三种减震方案的设计中，TMD是针对受控结构主频确定的最优设计参数，对于PSSPD及复合减振体系，是针对具体地震动下确定了相应的颗粒最优运动间距，而在实际工程中需要确定唯一的设计值。为了进一步比较三者的减震性能，且使方案具有统计意义和设计指导功能，仍以上述算例为例，选取二类场地中反应谱谱型较接近的10条典型地震波进行时程分析，得到PSSPD与复合减振体系中颗粒最优运动间距的平均值分别为16.77 mm和22.43 mm，进而获得了各方案在10条地震动下的平均减震率，结果如图13(c)所示。峰值减震效果排序为：复合减振体系>PSSPD>TMD，均方根减震效果排序为：复合减振体系>TMD>PSSPD。这是因为地震动峰值时的瞬时频率一般与TMD的频率并不一致，TMD没有充分发挥性能，在某些情况下甚至会出现响应放大现象，所以TMD的峰值减震率较低；而颗粒在地震动达到峰值时发生碰撞的可能性更大，所以其峰值减震率要高于TMD的。但PSSPD中颗粒只有在与受控结构发生碰撞的时候才会产生减震效应，因而具有离散控制的不足，而TMD在共振频率附近都具有良好的减震作用，在整个时程上对结构有连续调谐作用，所以TMD的均方根减震效果优于PSSPD。复合减振体系具有二者的优点，因此其峰值和均方根减震效果比两种单一减震方案的显著，具有良好的工程应用价值。

图13 地震动下受控结构减震效果对比图Fig.13 Comparison of damping effect subjected to ground motions

6 结论

针对PSSPD与TMD减振特点及不足，本文提出了将两者有机结合综合利用的方案—PSSPD与TMD并联的复合减振体系，建立了相应的力学模型和方程，并采用频域结合时域的方法获得了解析解。之后，提出相应的参数优化分析方法，继而对PSSPD、TMD及复合减振体系的减振机理、性能及减震效果进行深入对比分析。得到的主要结论为：

(1)通过深入剖析复合减振体系的减振机理，将颗粒与受控结构之间的碰撞力等效为脉冲力，建立了相关力学模型，对该力学模型在频域结合时域中进行解析求解，并与复合减振结构系统数值模拟的结果进行对比分析，表明该力学模型能够直观地表征其减振机理，求解过程清晰且具有较高精度。

(2)通过对脉冲相位、质量比、频率比及激励幅值的参数分析，证明了将复合减振体系中颗粒与受控结构之间的作用等效为周期脉冲力的合理性以及其减振效果最优时脉冲相位及脉冲周期的取值，明确了各参数对复合减振体系性能的影响规律。

(3)基于复合减振体系力学模型和时频联合解析解，提出其在简谐激励及地震动下的参数优化分析方法，并与复合减振结构系统数值模拟的结果进行对比分析，验证了其合理性、可行性及准确性。

(4)在最优参数设计条件，对PSSPD、TMD及复合减振体系在简谐激励及地震动下的减振性能进行了深入对比和统计分析，详细阐述了三者减振效果存在差异的原因，结果表明复合减振体系具有显著的减振优势，与PSSPD与TMD相比，具有减震效果更佳、减振频带更宽及鲁棒性更强的优点。