不定方程x3+1=4 781y2解的讨论

2021-07-23 01:24管训贵
唐山师范学院学报 2021年3期
关键词:素数正整数奇数

朱 哲,管训贵

(泰州学院 数理学院,江苏 泰州 225300)

1 引言及主要结论

不定方程

的整数解已有不少人研究过。柯召、孙琦[1-2]证明了当D>2,D无平方因子且不含6k+1 型的素因子时,方程(1)无非平凡解。当D含6k+1 型的素因子时,求方程的非平凡解显得尤为困难[3],其中一类典型的不定方程是

对方程(2)的研究,目前只有一些零散的结果[4-10]。本文利用初等方法给出q=683时方程(2)的解,即证明了如下定理

定理不定方程

仅有整数解(x,y)=(-1,0)。

2 若干引理

引理1[11]20-21设p是一个奇素数,则方程

除p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,无其他的正整数解。

引理2[11]273-275方程x2-3y4=1仅有整数解

引理3[11]260-261设p是一个奇素数,则方程

除p=5,x=3,y=4和p=29,x=99,y=1820外,无其他的正整数解。

3 定理的证明

证明因为(x+1,x2-x+1)=1或3,故方程(3)给出8 种情形,如表1 所示。

表1 方程(3)给出的8 种情形

情形Ⅰ由第一式得x≡-1(mod683),代入第二式得7v2≡3(mod683),即(7v)2≡21(mod683),但Legendre 符号

不可能成立,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅱ由第二式得

故(2x-1)2≡-3(mod683),但Legendre 符号

不可能成立,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅲ由第二式得

故(2x-1)2≡ -3(mod683),由情形Ⅱ知,该式不可能成立,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅳ由解第二式得

解得x=0,1,均不适合第一式,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅴ由第一式得x≡-1(mod683),代入第二式得3 ≡21v2(mod683),即(7v)2≡7(mod683),但

不可能成立,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅵ由第二式得

所以(2x-1)2≡-3(mod683),由情形Ⅱ知,不可能,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅶ由第二式得

所以(2x-1)2≡-3(mod683),由情形Ⅱ知,该式不可能成立,故该情形不定方程(3)无整数解。

情形Ⅷ将第一式代入第二式整理得

故有

又y-n=-yn,所以只需考虑

可验证下列各式成立:

若n≡0(mod2),则由(6)知yn≡0(mod2),此时(4)式不成立。

若n≡1(mod4),令n=4k+1(k∈Z),则由(7)、(8)可得

又因

所以下列情形之一成立(u=mh,(m,h)=1):

将(11)的第一式x2k=m2代入,得。根据引理3 知,m2=1,即x2k=1,则k=0,但由(6)及(11)的第二式知,y1≠4781h2,所以(11)式不成立。

因x2k≡/0(mod2),故m为奇数,则m2≡1(mod8);而y2k+1≡/0(mod2),故h为奇数,则h2≡1(mod8)。又y2k≡0,4(mod8),故2y2k≡0(mod8)。对(14)两边取模8,得 -4 ≡0(mod8),该式不可能成立。

类似(12)式的讨论知,(13)也不可能成立。

若n≡-1(mod4),令n=4k-1(k∈Z),则由(7)、(8)、(9)可得

所以下列情形之一成立(u=2mh,(m,h)=1):

由(16)的第二式得x k y k=h2,因(xk,yk)=1,有xk=a2,yk=b2,故(a2)2-3b4=1,由引理2 知,a2=1,此时xk=1,则k=0,推出(16)的第一式不成立。

由(17)的第二式得x k yk=7h2,因(x k,yk)=1,有

若(19)成立,则有

由引理3 知,方程(21)仅有整数解(a,b)=(±1,0),此时y2k=0,则k=0,推出(17)的第一式不成立。

若(20)成立,则有

由引理2 知,方程(22)仅有整数解(a,b)=(±1,± 2),故xk=7,则k=2。此时n=7,所以由(4),得9562u2=y7+1=2912,该式不可能成立。

由(18)的第二式得x k yk=683h2,因(x k,yk)=1,有

若(23)成立,则有

由引理3 知,方程(25)仅有整数解(e,f)=(±1,0),此时y2k=0,则k=0,推出(18)的第一式不成立。

若(24)成立,则有

由引理2 知,方程(26)给出683e2=2,7,1,显然不可能。

综上,不定方程(3)仅有整数解(x,y)=(-1,0),定理得证。

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