知识结构育人：发挥学科的内在力量

【摘 要】 学材再建构，通过对教材育人因素的深度挖掘，能充分发挥学科的内在力量实现立德树人的学科教学目标.李庾南老师的经典课例“正整数指数幂的乘法（第1课时）”给出了很好的范式：搭建知识结构，助力四能提升;注重学法沿用，发展认知技能;强化角色定位，培养数学情感.挖掘初中数学的学科育人力量，我们可以紧扣教材再建构，落实立德树人根本任务;强化知能巧关联，打磨学科育人关键节点;立足当下谋长远，建构终身学习延续通道.

【关键词】 知识结构;学科育人;课例分析;学材再建构

数学知识包含了丰富的学科规则、文化观念和理性精神，它们是数学育人的核心素材，直接影响着学生的核心价值观和数学核心素养的发展和形成.为了充分挖掘数学知识的育人价值，发挥知识教学在落实“立德树人根本任务”中的核心作用，李庾南老师提出了“学材再建构”的操作规则，意在通过对教材给定学习内容的重组再构，引导学生在知识的结构化中充分发展，实现学科内在力量的深度育人.现结合李老师“正整数指数幂的乘法（第1课时）”谈谈笔者的学习感悟，供大家参考.

1 课例再现

1.1 探索“同底数幂的乘法”的运算性质

1.2 探索“幂的乘方”的运算性质

和探索“同底数幂的乘法”的运算性质一样，在探索“幂的乘方”的运算性质时，李老师依然是引导学生从实例（23）2，（a5）2，（am）n等式子的运算出发，先独立计算，然后分析计算方法和依据，在归纳得到“幂的乘方，底数不变，指数相乘”后，引导学生利用乘方的意义与刚刚获得的“同底数幂的乘法”的运算性质推证“（am）n=amn”，并进一步利用性质推广计算[（am）n]k.

1.3 探索“积的乘方”的运算性质

与前两个环节类似，探索“积的乘方”的运算性质，李老师还是引导学生从式子（ab）2和（ab）n的自主计算入手，通过对运算方法和运算依据的分析获得一般结论，并利用已有知识对“（ab）n=anbn”进行推证，随后还是对运算性质的进一步推广，让学生计算（abc）n.

通过对“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”的运算性质的逐一探索與渐次呈现，全课形成了如下的知识结构图.

2.1 教材分析

人教版教材将李老师执教的“正整数指数幂的乘法（第1课时）”编排在三课时中，分别是“14.1.1同底数幂的乘法”“14.1.2幂的乘方”“14.1.3积的乘方”.这三课中，无论是文本的表述，内容的呈现，还是流程的编排，例题与练习的设计等诸多方面，都有着极大的相似度。以流程的编排为例，教材都是按照“实例探究→性质归纳→计算应用”的流程编排的.三个单独的知识，以近乎一致的教学流程呈现，自然将数学知识获得的一般路径蕴藏于其中.这样的相似度，充分彰显了这三个知识间的连续性和关联性：知识上，都是“乘方的意义”的继承和发展，运算性质的归纳都离不开“乘方的意义”的应用;技能上，都归属于“整数指数幂的乘法”范畴，是学生运算能力的重要组成部分;经验上，三者能通过相同的路径展开探索，后一知识的获得离不开前一知识探索经验的自然迁移.显然，人教版教材的编写专家们在这三个知识的编排上是花了不少心思的，他们的编排在严格遵循着知识生长的次序的同时，还密切关注到学生的认知发展规律.这样的编排，为学科内在育人力量的发挥提供了极大的可能.

2.2 常规教法分析

基于教材的课时内容及教学流程编排，“一课一知识”成为一线教师进行“正整数指数幂的乘法”教学的常态.不少老师严格按照教材给定的内容和流程实施课堂教学，一课时一个知识点，学生可以踏踏实实地探索一个知识，学到一个知识，并用好一个知识.而不排除一些出现“教学内容偏少带来的教学时间空余”情形的老师，会通过大量的练习来充实课堂，练习的数量和难度的增加，在成就孩子对单一知识应用能力提升的同时，也不可避免地将课时教学的最后阶段偏离到课时主线之外.这种现象在笔者观摩的“14.1.1同底数幂的乘法”“14.1.2幂的乘方”“14.1.3积的乘方”等三课时教学中，是经常会出现的.此外，由于同一课时的知识探索是一个相对封闭的系统，老师们一般都会关注到知识本身的“封闭整理”，而对知识间的“关联梳理”却少有顾及.“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”的运算性质这三个知识在三节课的教学中保持相对独立，孤立探索，让学生的认知停留在知识本身，短时间内很难将三个知识关联起来形成网络.缺少了知识间的关联与融合，这样的教学历程对学生的认知经验、学习方法和知识结构的优化与发展并不是十分有利，更不要说数学能力与核心素养的发展了.

2.3 李老师课例简析

在上面的课例中，李老师通过学材再建构，将原本分散于三课时的“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”的运算性质与“乘方的意义”链接在一起，形成了以“乘方的意义”为基础的知识结构，使得那些原本分散的“正整数指数幂的乘法”的多重运算性质得以聚拢，让学生从整体上认知同一类数学运算，有利于学生很好地把握“正整数指数幂的乘法”的运算实质和探索方法.课上，李老师将教材给定的“实例探究→性质归纳→计算应用”的流程完整地呈现在每一个性质的探究中，从实例分析入手，通过独立计算和依据分析，归纳出一般结论，在范式推证后并进行了逐一推广与集中应用.这样的过程经历，让学生经历了“特殊→一般→特殊”的数学知识抽象及应用过程，将学科中蕴藏的育人力量充分发挥了出来：教学内容上，李老师从教材出发，将教材给定的教学内容完整展示，递进式的探索与应用满足了学生获取知识的需求，而基于新知的性质推广，使得运算性质“由二及三”“由三及众”，给学生以知识生长的榜样示范，如此有序拓展必将对学生今后的数学认知产生积极的影响;教学方法上，类比认知贯穿始终，三个知识生长过程的相似性被李老师应用到了极致，在“同底数幂的乘法”的运算性质探索范例的引领下，“幂的乘方”和“积的乘方”的运算性质探索在相同的道路上反复前行，学法的示范与有效应用助推学生学习能力的大幅提升，为学生的终身学习奠基;情感体验上，学生在一节课上用相同的方法获得了三个彼此关联的“正整数指数幂的乘法”的运算性质，知识的递进探索，经验的逐步积累，成果的不断总结，学生所经历的成败体验将会形成丰富的数学情感，在随后的应用中，这些情感将伴随着新知的应用发挥出巨大的价值——学生不仅做得对，而且做得自信.

3 学材再建构的学科育人价值分析

3.1 搭建知识结构，助力四能提升

《义务教育数学课程标准（2011版）》（下称《课标（2011版）》）提出了要让“学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”的教学要求，这是对课时教学中的知识关联提出的基本要求.同时，《课标（2011版）》还提出要求学生能“运用数学的思维方式进行思考”.这一目标指向了学生的认知过程，是需要借力数学的思维方式来获取数学的知识与技能.显然，没有“数学知识之间的联系”，这一要求是很难达成，而随后的“增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力”（即“四能“）更是无从谈起了.然而，我们很多初中数学课堂无视数学知识间的关联，采用就知识讲知识的方式实施新课教学，没有了对旧知的回顾，缺少了新知的探索，知识的呈现全凭教师一张嘴.“一课一知识”，教师一讲到底，学科知识间缺少了关联，数学的思维方式没了，学生“四能“提升也没了.这样的课堂显然是不适宜的.李庾南老师的学材再建构，让知识串在一起，形成了知识结构，学生在看到树木（即单一知识）的同时，还能看到树木所在的森林（即知识结构）.这无疑让学生的知识获得早早地就纳入到规范的数学体系中了，遵循了知识的生长和发展规律，学生以数学的眼光来发现和提出数学的问题，并提取与应用已有的数学知识来加以解决.在此过程中，学生探索知识的过程，是过去知识的应用过程，而新知的获得必将弥补了原有知识在解决问题时的不足，对学生进一步应用数学知识来发展四能无疑是非常有益的.结合上面的课例来看，李老师将“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”的运算性质探索建构在“乘方的意义”回顾的基础上，这是对“乘方的意义”可持续生长的认同与肯定，三个新知的同课递进探索丰富和发展了“整数指数幂”运算体系，让学生深刻认知到新增的三种运算与原有幂运算之间的关联，有利于问题解决时的准确提取与有效应用.这样的学材再建构，让紧密关联的知识凑到了一起，形成了认知合力，让学科知识本身的育人力量得到充分发挥，彰显了数学学科在培养学生理性思维方面的价值所在.

3.2 注重学法沿用，发展认知技能

學习是贯穿于人生的一件大事.虽然学习方式和方法可能不同，但每一个人都将会沿着自己认同的路径“活到老，学到老”.为了成就每一个人的优质高效学习，我们应在学科教学中更多地关注那些可能对人受益终身的学习方法的教学.要将这些学习方法在教学中反复呈现，以规范的流程和有效的实践提升学生的认知技能，将优质高效的学法潜藏到学生的认知结构中去.李老师所提的学材再建构，不仅指向了教材内容的本土化和学材化，更指向了学习方法的普适化和高效化.学法的再建构，从某种意义上讲是通过学习过程或探索步骤的“改造”，让学生的认知过程更舒适、更积极、更有效.所以，在李老师的课堂中，丰富数学知识的获得必然会伴随着优质高效的学习方法的应用.类比学习，是会影响着学生一生的学习方法.“正整数指数幂的乘法（第1课时）”因为融合了三个知识点，如果不对学法进行适当整理，全课的探索极有可能形成三个认知“孤岛”，这显然没有达到李老师提出的“学生的认知更舒适、更积极、更有效”的要求.回看李老师的教学历程，我们发现，她很好地将知识的发现和归纳用类比的方法串了起来，将教材给出“实例探究→性质归纳→计算应用”流程，改编成了三组相似度极高的“实例探究→性质归纳”和一次“计算应用”.让“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”运算性质的探索，在彼此关联中以相同的方式展开，而在常规教法中的重点环节——计算应用则被淡化到了性质探索之后，如此设计，突出了新知的探索历程，在帮助学生深入理解“正整数指数幂的乘法”运算性质的同时，还充分挖掘出了类比学习的价值：每一次性质探索都将是对已有知识的深度回归，每一次归纳总结都是对已有实例的范式抽象，每一次文本定格又是一次推理论证的成果表达.不同的知识，相同的经历，为学生规划了一条具有一定普适性的认知道路.每一次完整的探索都加深了学生对类比认知的认识，类比就这样在无形中渗透到了学生的学法系统中，不仅成为学生进一步开展数学学习的有效方法，还将会直接或间接地参与到其他学科的知识探索中去，成为影响其一生的重要方法.

3.3 强化角色定位，培养数学情感

在《课标（2011版）》中对教师和学生都给出了十分明确的角色定位：学生是学习的主体，教师是学习活动的组织者、引导者、合作者.显然，师生的角色定位准确与否将直接影响着他们在课堂上履责情况.教师不应是知识的搬运工，而应成为引导学生发现知识的领路人，“看透不说透”应是教师在学生知识探索过程中的常态.为学生营造“愤悱态”的认知情境，使其在欲罢不能中自然而然地获取“四基”，这或许应成为每一个初中数学教师的职业追求.显然，在这一点上，李庾南老师给我们树立了一个标杆，她用自己的一节节经典课堂作出了绝佳的示范.在她的课堂上，没有知识与技能的直接给予，更多的是引导发现、引导探索、引导归纳……在“自学·议论·引导”教学法中，因为课堂中没有知识的强制添加和教师的过度干预，只有顺其自然的引导和声情并茂的激发，学生的认知状态一直是积极的、主动的和富有成效的.丰富的主体角色体验，成就了学生大量的数学情感生成.还是回到本文所述的课例中来，李老师在全课始终将学生推到了课堂活动的“前台”，在每一探索中，他们始终在教学的“聚光灯”下：独立计算，分析运算方法、运算依据，归纳一般结论，进行数学推证、运算性质推广……每一次探索，巧妙的设计与适度的追问将学生的主体地位凸显出来，使其数学情感得到一次次优质升华.正如李老师所说：学材再建构，就是通过学习内容和学习方法的整合，实现对学生角色的准确定位，用他们的有效学来成就教师的精心教.在学生探索上述三个运算性质的过程中，知识的大融合，突破了单一知识探索的情感体验，每一次知识结构的完善都将会引发学生的一次情感生成，都将会带领他们体会到数学知识探索中的“酸甜苦辣”，各种积极的、消极的情感体验都将蕴藏其中.自然生长的民主意识、语言表述的规范意识、分类交流的公平意识、延续拓展的发展意识、为人做事的规则意识等都会随着探索的推进不断生长出来，而随着探索成果的不断涌现，学生所体验到成果获得的成就感必将随之提升，成为学生数学情感的重要组成部分.

4 教学启示

4.1 紧扣教材再建构，落实立德树人根本任务

教材是国家教育意志的载体，是教师教和学生学的重要工具.学材再建构，决不能抛开教材谈建构.从李老师展示很多精彩课例不难发现，她对教材的尊重是始终如一的.在她的课例中，大到教学目标、内容与流程，小到配套例题和练习，都充分尊重了教材的编写意图，最大限度内利用了教材给定的资源.当然，李老师的学材再建构绝不是不加变动地将教材内容直接整体搬用，而是根据学生的认知需求和数学的发展需要，遵循知识生长和学生发展的规律，将教材的各方面的数学表达有效整合，形成有利于学生学习的优质学材.所以，学习李老师的学材再建构，就应如本文给出的课例那样，让学材从教材中来，到学生中去，以学生的发展作为学材建构的唯一指向，将国家教育意志很好地通过教材内容与流程的“学材化”加以落实，真正实现初中数学学科的立德树人.

4.2 强化知能巧关联，打磨学科育人关键节点

注重知识与技能的关联，是学材再建构给我的另一个启示.我们都知道，在很多数学问题的解决中，需要综合运用到多个数学知识，这些知识有些可能相互关联，但有些却是相对孤立的.数学教学就是要将这些单独的数学知识关联起来，使之成为学生分析解决问题的重要工具.当然，通过数学教学实现学科内外的知识关联是《课标（2011版）》给我们提出的基本要求，我们理所当然要精准落实.那么，如何实现知识与技能的关联呢？学材再建构.李老师的实践成果告诉我们，为了建构知识技能的关联点，我们应从理清知识的来龙去脉开始，结合学生的认知现状建构出最适合的切入点和延伸点，比如本文课例中的“乘方的意义”（生长点）和“性质推广”（延伸点）.切入点的设计，保证了新知生长的起点清晰、缘由充分，学生可以在旧知的自然应用中明明白白地获取新知;延伸點的设计，为新知的再生长留下了较大的空间，便于后面新知的结构融入，很好地满足了学生发展的可能性.要注意的是，我们所说的知识关联，不只是新旧知识间的关联，还包括诸如本文中的“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这些新知之间的课时内部关联，这种关联既可以是新知的即时应用，也可以通过方法的延续应用，还可以是同一起点的有序生长.总之，不管是哪一种关联，只要满足学生的发展需求、能通过关键节点的有序表达达成学科育人的目标那就是好的关联.

4.3 立足当下谋长远，建构终身学习延续通道

数学有其内在的逻辑体系和发展方向，因而，它与其他学科在育人方向上是有着一定的差异的.数学育人，数学知识是当仁不让的主体，但我们决不能将数学学科育人局限于数学知识本身，更不能将数学育人看成只是数学本身的事.学科育人要想形成合力，就必须立足学科教学、立足学段教学、立足课时教学，并通过课堂中的数学育人来谋求学生多方面的发展，为学生在其他学科、时段的发展谋求长远利益.因而，打通学科育人的延续通道应是初中数学课时教学的一项重要任务.在本学段教学中，知识教学固然能起到较好的学科育人作用，但在知识之外，我们还应重视学科育人的辐射效应，着力于在通解通法、普适学法、跨界做法上多做文章，要多为学生必备品格和关键能力提升想办法.正是基于这样的考量，李老师提出了学材再建构的灵活操作规则.学材再建构，打破了“教教材”的尴尬困局，基于学生的视角设计课堂教学，从目标、内容、学程、学法等诸多方面考量学生的发展受益，最大限度地提升学生学习的兴趣，培养学生的学习情感，为学生的可持续发展构筑延续通道.

学科育人依赖于学科教学，而学科教学又离不开知识教学.我们在进行知识教学时，不仅要关注知识本身，确保教得正确、教得合理，还要关注到知识传递的方式和程序，力求教得有序、教得灵活.为了达成这些目标，我们应从知识的生长体系、知识的内部结构、知识的建构方式、知识的关联融合等方面充分挖掘学科内在的力量，将众多的育人因子通过学材再建构整合到课时教学内容和教学流程之中，确保学生能够整体把握学科知识，理清内涵外延，逐步推动学生的理性思维、学科能力、人文素养、核心价值观等同步发展，这或许就是初中数学学科育人的本质追求吧！

作者简介 印冬建，中学高级教师，南通“226”高层次人才培养对象，南通市教育家型教师培养对象，南通市学科带头人，南通市先进教育工作者，江苏省青年教师基本功比赛一等奖获得者.近几年，发表论文60多篇，其中有11篇文章被人大复印报刊资料《初中数学教与学》全文转载.主持或参与多项省市教育科学规划课题的研究.

参考文献

[1]李庾南.自学·议论·引导教学论[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]李庾南，陈育彬.中学数学与新课程教学设计30例——学力是这样发展的[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]李庾南，祁国斌.自学·议论·引导：涵育学生核心素养的重要范式[J].课程·教材·教法，2017（9）.

[4]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.“折等腰三角形”体验活动的实践与思考江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”（主持人：张爱平，课题编号：R-a/2018/07）阶段性研究成果.