一般二次曲线中点弦公式及其应用

金亚南 (江苏省无锡旅游商贸高等职业技术学校 214000)

文[1]以标准方程的形式给出了由弦中点坐标表示椭圆、双曲线、抛物线相应的弦的斜率的三个公式.本文对此推广，给出一般二次方程表示的二次曲线的弦的斜率与弦的中点坐标的关系式，并称此为中点弦公式．这样，文[1]中的三个公式就是一般中点弦公式的简单推论．同时，我们还运用中点弦公式给出一般二次曲线共点弦族与平行弦族中点轨迹方程的一般形式．

1 一般二次曲线的中点弦公式

平面上，由关于x,y的二元二次方程表示的曲线C称为二次曲线，简记为C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0．

以二次曲线C内部一点M(x0,y0)为中点的弦称为以M为中点的中点弦．由于二次曲线C的中点弦P1P2由其相应的中点M(x0,y0)完全确定，因此弦P1P2的斜率k由中点M的坐标(x0,y0)可完全确定，从而k为关于x0,y0的函数k=k(x0,y0)．这个函数的具体表示由下述定理给出．

定理设二次曲线C：F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，并记F1(x,y)=2ax+by+d,F2(x,y)=bx+2cy+e．若曲线C的弦P1P2的中点为M(x0,y0)，弦线的斜率为k，则k与(x0,y0)满足F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0 ①．

公式①揭示了二次曲线C中以M(x0,y0)为中点的中点弦P1P2的斜率k与中点坐标(x0,y0)之间的关系，本文称公式①为二次曲线的中点弦公式．熟悉函数的导数的读者不难看出，此定理中所设函数F1(x,y),F2(x,y)分别为二次曲线F(x,y)关于x,y的偏导函数，即F1(x,y)=Fx(x,y),F2(x,y)=Fy(x,y)．但下面的证明完全不用导数，同时，即使对于未学导数的中学生来讲，F1(x,y),F2(x,y)的形式简明而有规律，也是容易记住并掌握的．下面给出定理的证明．

由于P1(t1),P2(t2)为弦线与二次曲线C的交点，所以t1，t2满足直线P1P2与二次曲线C的交点方程F(x0+tcosα,y0+tsinα)=0 ②，展开整理得(acos2α+bcosαsinα+csin2α)t2+(F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα)t+F(x0,y0)=0．由于t1和t2是关于t的一元二次方程的两根，应用韦达定理可得F1(x0,y0)cosα+F2(x0,y0)sinα=0 ③．由于k=tanα，由③式可得F1(x0,y0)+kF2(x0,y0)=0，即公式①成立．

2 中点弦公式的推论与应用

文[1]中的割线斜率公式即为公式①的简单推论：

公式④—⑥即文[1]中命题1—3分别给出的三个割线斜率公式，现在它们可以统一于公式①中．因此，中点弦公式①是将公式④—⑥推广所得的一般二次曲线的割线的斜率公式．

这里以公式④的证明为例给出证明：

应用中点弦公式可快速得到平行弦中点轨迹方程．

推论2设二次曲线C：F(x,y)=0的一族平行弦线的斜率为k，则这族平行弦中点的轨迹方程为F1(x,y)+kF2(x,y)=0 ⑦．

证明设平行弦族中任一弦的中点为M(xn,yn)．根据公式①即得动点M(xn,yn)满足方程F1(xn,yn)+kF2(xn,yn)=0，此即为平行弦中点轨迹方程．改设动点M(xn,yn)的坐标为M(x,y)，则此轨迹方程即为⑦式．

例1求下列二次曲线的斜率k=3的平行弦的中点轨迹方程．(注：本文中各轨迹方程均只要求轨迹所在曲线方程)：

(2)抛物线C2：y2=-5x；

(3)二次曲线C3：x2-xy+y2+2x-4y=0．

解(1)改写椭圆C1方程为3x2+2y2-6=0，所以F1(x,y)=6x，F2(x,y)=4y．

(2)将抛物线C2方程改写为y2+5x=0，所以F1(x,y)=5，F2(x,y)=2y．

(3)二次曲线C3：x2-xy+y2+2x-4y=0，所以F1(x,y)=2x-y+2，F2(x,y)=-x+2y-4．

解椭圆C：F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0，所以F1(x,y)=2b2x，F2(x,y)=2a2y．

此解法比文[2]所述的点差法更为简洁．

应用中点弦公式还可求共点弦中点的轨迹方程．

推论3设二次曲线C：F(x,y)=0的一族弦线通过定点P0(x0,y0)，则这族共点弦中点的轨迹方程为F1(x,y)(x-x0)+F2(x,y)(y-y0)=0 ⑧．

改记共点弦动中点坐标M(xm,ym)为M(x,y)，即得M(x,y)的轨迹方程为F1(x,y)(x-x0)+F2(x,y)(y-y0)=0，此即共点于P0(x0,y0)的共点弦的中点轨迹方程．

例3试证明过椭圆的一个焦点的诸弦中点的轨迹为另一椭圆，且它与原椭圆有相同的离心率．

(1)过点A(2,1)的直线l交C于P1，P2两点，求线段P1P2中点P的轨迹方程.

(2)过点B(1,1)能否作直线m使m与双曲线C交于Q1，Q2两点且点B为Q1Q2的中点？若直线m存在，求其方程；若m不存在，说明理由．

解(1)所求轨迹为共点于A(2,1)的共点弦P1P2的中点轨迹．

(2)若所求直线m存在，则m是以B(1,1)为中点的弦Q1Q2所在直线．

综上所述，应用中点弦公式①可以比较简单地解决二次曲线与其弦的中点、斜率有关的几何问题．