转化思想在数学解题中的应用

崔亚澜

(云南省大理大学教育科学学院 671003)

在解答某一数学题时，应将原题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题上，下面以2019年贵阳市中考题第18题第(2)题为例.通过利用转化思想(三角函数之间的转化、角与角之间的转化、边与边之间的转化)来进行解题.

一、试题及解法分析

题目如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE=AD,连接BD.

(1)求证：四边形BCED是平行四边形；

这是一道中考数学题中经典且常规的几何题，考察学生对几何图形性质的理解与运用.

解法一利用三角函数的转化

点评本解法的切入点是利用好cosA，关键是利用(同角的)正、余弦的平方关系sin2A+cos2A=1，从而实现sinA和cosA之间的转换，这种方法只需作BE一条辅助线即可求解.在平面几何题中，当一个角一定，又有三角函数值为定值时，通常可考虑利用三角函数之间的关系(平方关系、商的关系等)来解题，会有意料之外的收获.

解法二利用角的转化

思路1∠A转化为∠CDE

证明如图3，连接BE，交DC于H.

因为四边形ABCD是平行四边形，故AB∥DC，所以∠A=∠CDE.

又AD∥BC，AD=BC，而AD=DE，所以DE∥BC，DE=BC，故四边形BCED是平行四边形.

思路2∠A转化为∠HMB

证明如图4，连接BE，交DC于H；过点H作HM∥BC.

因四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC∥HM,∠A=∠HMB.

点评利用三角形的中位线平行于底边的关系，达到了边和角的转化，既能提供线段的位置关系(平行)，又能提供线段的数量关系(相等).

解法三边的转化

证明如图5，连接BE，交DC于H；过点D作DM∥BE，交AB于M.因为AD=DE，即D是AE中点，故DM是△ABE的中位线，所以M是AB的中点，即AM=MB.

又AD=DB,故△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”,可得MD⊥AB,而MD是△ABE的中位线，所以BE=2MD.

点评由题目的已知条件AD=DB,可以得到等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”性质，作辅助线MD，通过利用“三线合一”来建立线段之间的等量关系以及位置关系(垂直)，达到边与边之间的转化，借助直角三角形寻求线段之间的关系解题.

二、赏析

以上这三种解题方法，运用了转化的途径，即“添线”.添加辅助线在几何题中常常起着过河搭桥的作用，通过辅助线造成基本图形，从而促使分散条件集中化、隐含条件明显化，将已知元素联系起来，实现转化还有“换元”等途径.总的来说，本题目突出了“转化”在中考数学中的重要性，在研究数学问题时，我们要以不变应万变，不变的是知识，万变的是问法.我们说转化是客观存在的，而转化思想是主观对客观的反映，所以数学解题的过程就是一个通过转化获得问题解决的过程.其实，转化思想还是数学学习过程中常用的思想方法，如司马光砸缸、曹冲称象等故事，都成功地运用了转化的策略，是一切数学思想方法的核心.从这道题中我们可以看出，从多角度、多方位来看同一个问题，能培养中学生的数学思维，遇到几何试题都可从“数”、“角”、“边”三方面思考，尝试求解.本题中值得注意的是，不论如何转化，都保证了形变、量变而质不变，所以在运用转化思想时，重要的是保持转化的原则，即转化的内涵不管如何丰富，等价转化和非等价转化、已知与未知、数量与图形、图形与图形之间，都可以通过转化来获得解决问题的转机，但是不可以改变其本质.