“球槽模型”中的临界质量比与静止释放初始位置的关系

白荣华 李春梅 高 远

(重庆市实验中学校 重庆 401320)

1 问题提出

图1 球槽模型

2 数理解析

各量如图2所示，小球滑下后某一瞬时小球与圆心的连线同水平方向的夹角为θ，对球槽系统分别由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得

mv2x=Mv1

(1)

(2)

图2 球槽模型各量分析

小球相对槽的速度方向沿圆弧切向，有

v2ytanθ=v2x+v1

(3)

(4)

(5)

v2=

(6)

其中

A=k+k2+(1+k)2cot2θ

为了考查式(6)中球的速率v2的单调性，我们等价考虑下面函数f(θ)的单调性，有

(7)

(8)

即

(9)

移项后提取公因式有

(10)

两边同乘sin2θ，得

(11)

k2(k+k2)≥2k(1+k)2(1-sinθ0)

移项化简得

k2≥2(1+k)(1-sinθ0)

(12)

解此关于k的一元二次不等式，得

(13)

从而得到临界质量比

(14)

3 讨论与结论

图3 临界质量比kc与释放初始角度θ0的关系

图4 不同释放初始角下，f(θ)随角度变化关系