非线性波动方程耦合系统解的破裂

明森，范雄梅，史娜，苏业芹

（1. 中北大学 数学系，山西 太原 030051；2. 西南财经大学 证券与期货学院，四川 成都 611130）

0 引言

本文在Rn中研究如下波动方程耦合系统的小初值问题

近来，许多学者研究了非线性波动方程的小初值问题，见文献［1-9］。文献［2］在外区域上证明了波动方程utt－Δu=|u|p的解会在有限时间内破裂，其中1＜p≤pc(n) (n≥3)，此处pc(n)满足方程－(n－1)p2+(n+1)p+2=0。当1＜p≤pG(n)=1+2 (n－1) (n≥1)时，得到波动方程utt－Δu=|ut|p的解会破裂。文献［7-8］利用检验函数方法，证明了非线性波动方程解的生命跨度的上界估计，其中非线性项分别为|u|p，|ut|p。注意到文献［7］中采用的检验函数与超几何函数Φβ(x，t)相关。关于波动方程耦合系统解的破裂性态的研究见文献［10-13］。文献［10］分别在次临界和临界情形研究了波动方程耦合系统的小初值问题，其中非线性项为|v|p，|u|q。利用检验函数方法和迭代方法，得到解会破裂及其生命跨度上界估计。利用迭代方法，文献［11-13］证明了带散射阻尼项的波动方程耦合系统的解会破裂，其中非线性项分别为导数型非线性项|vt|p，|ut|q，混合型非线性项|v|q，|ut|p，组合型非线性项|vt|p1+|v|q1，|ut|p2+|u|q2。同时得到解的生命跨度的上界估计。

记

注1 利用迭代方法，文献［10-11］证明了波动方程耦合系统的解会在有限时间内破裂，其中非线性项分别为|v|p，|u|q和|vt|p，|ut|q。利用检验函数方法，文献［8］在次临界和临界情形证明了阻尼系数依赖于空间变量的波动方程的解会破裂，其中非线性项分别为|u|p和|ut|p。本文结合文献［7-11］，通过利用不同于文献［7］中的检验函数，得到问题（1）解的生命跨度的上界估计，并简化了文献［7，10-11］中的证明过程。

注2 类似于本文中的证明方法，可将文献［8］中带阻尼项的波动方程的小初值问题推广为耦合系统的情形。

下面给出证明定理1—2 时需要用到的相关引理。

引理1［8］若α∈R，β＞0，则有

其中C为正常数。

引理2［8］假设Δφ1=φ1，Φ=Φ(x，t)=e－tφ1(x)，其中

且满足0＜φ1(x)≤C(1+|x|)－(n－1)，C＞0，则有Φ－ΔΦ=0，ΔΦ=Φ。

引理3［8］

其中δ，K1，K2＞0，p1，p2＞1。 若p2＜p1+1，则存在正常数δ0，K3使得T≤exp(K3δ－(p1－1)(p1－p2+1))，此处0＜δ＜δ0，K3为不依赖于δ的正常数。

1 定理1 的证明

首先，需定义问题（1）的弱解。即通过引入光滑的检验函数φ(x，t)，使得(u，v)在具有一定正则性要求时在积分意义下满足耦合系统。具体定义如下。

其中φ∈C∞0([0，T)×Rn)，t∈(0，T] 。

定理1 的证明 设η∈C∞[0，∞)且满足

记ηT(t)=η(t T)，其中T∈(1，Tε)。定义

其中M∈[1，T) 。

在（2）中令φ(x，t)=(t)Φ(x，t)，分部积分并利用 引理2 可知

直接计算可得

结合Hölder 不等式，引理1 和（4）—（5），得到

和

利用（4），（6）及（7），则有

在（2）中令φ=，可得

于是

类似于（8）和（9）的推导，可知

和

结合（8），（9）和（11），则有

同理，利用（9）—（11），可知

从而得到定理1 中的第一个生命跨度估计。

对于临界情形FSS(n，p，q)=0 且p≠q，将（8）代入（11），并利用引理3，可得

利用引理3 和（13），可知

和

结合（11），（13）—（15）和引理3，则有

定义

根据（17），可知

和

结合（12），（16），（18），（19）和引理4，可得定理1 中的第二个生命跨度估计。

对于临界情形ΓSS(n，p，q)=0，p=q，则等价于考虑方程utt－Δu=|u|p对应小初值问题的临界情形。运用（8），（18）及引理3，可得

其中a=(n－1) 2－1p。利用（13）和引理3，可知

和

结合（13），（18）—（19）和（21）—（22），得到

利用（20），（23）和引理4，选取p1=p2=p，δ=εp，从而得到定理1 中的第三个生命跨度估计。定理1证毕。

2 定理2 的证明

这一节给出定理2 的证明。在（2）中令φ(x，t)=∂tψ(x，t)，ψ(x，t)=－(t)Φ(x，t)，分部积分且令t→T，可得

利用引理1 和（24），则有

和

类似地，则有

结合（27）和（28），可知

利用（17），可得

结合（29）—（31），则有

其中K4，K5是正常数。通过求解常微分方程不等式（32），可得定理2 中第一、二个生命跨度估计。对于临界情形ΓGG(n，p，q)=0，p=q，运用（27），（30）—（31）即得定理2 中第三个生命跨度估计。定理2 证毕。