基于深度理解 发展数学思维

周美琴

【摘 要】既会充分利用教材，又会合理开发教材，应是教师的基本能力。这不仅要求教师对概念等新授知识有自己的理解和引申，还应对习题有深度发掘，在“调整”与“变化”中深刻理解，发展数学思维，努力使学生成为思考领域的劳动者，逐步发展学生的数学思维和数学素养。

【关键词】深度理解 发掘教材 能力提升

小学数学教材是编写者根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，结合数学学习的特点和学生的认知规律精心编写的。它是小学数学课程标准的具体化，也是实现小学数学教育目标的重要工具。教材是教师和学生的通用读本，串联起教师的教与学生的学，使知识授受活动变得有章可循、有据可依，具有工具性、权威性、系统性等特点。但同时，教材受众较多，不同地区、不同性格特质对教材有着不同的需求。因此，既会充分利用教材，又会合理开发教材，成为教师的基本能力。这不仅要求教师对概念等新授知识有自己的理解和引申，还应对习题有深度发掘，使学生有意义、有深度地学习，努力使学生成为思考领域的劳动者，逐步发展学生的数学思维和数学素养。

一、在“调整”中深度理解，发展数学思维

教材给定的内容和结构固然有其科学性，但是教材使用不是狭义的就事论事、照本宣科，而应是置于学生知识发展和能力提高上的灵活使用。站在不同的视角，根据学生实际情况适当调整知识呈现与思维线索的顺序，有时能给你不一样的惊喜。

如苏教版数学五年级下册“圆的周长”一课，按照教材的编写顺序，教学圆的周长，主要通过“猜想—验证—应用”的线索，让学生经历操作、推理、推导等过程，有意义地获得圆周率的意义，理解圆周长的计算方法。那么，基于学生的实际情况，在发展学生数学思维方面，看哪些地方值得我们向更深层处发掘呢？圆周率得出的过程显然有更深的研究价值。

深度理解、发掘教材，站在学生的立场，圆周率的得出具有高度的抽象性、概括性和微观性。这就决定了圆周率的得出不只是靠教师“讲”出来的，而是学生可以通过探究体验和理解，加以证据推理、思考建构出来的。作为引导者，有必要引导学生进行谨慎的推理和严密的验证，让推理论证过程更主动、更有说服力，驱动学生对“圆周率”这一知识的形成过程理解和记忆更深刻。带着这样的思考与尝试，笔者对本课进行了调整实践。

调整后的教学把核心定在了学生的突出需求上——“怎样推理验证圆周长与直径的倍数关系”，调整后的设计着重带领学生经历祖先们研究圆周率的精彩过程，而这个过程需要引入学生比较熟悉的图形来帮助他们有逻辑性而全面地进行论证，逐步缩小倍数的范围。调整后的教学把选择权交给学生，选择什么样的图形与圆对比、排除哪一种倍数关系，这都由学生自主完成。经过“内部、外部、内外夹击”一系列直观的感知、理性的推理、严密的论证，学生的思维驶向了更深处：圆周长与直径的倍数关系范围会更小，最终会到达一个准确的倍数关系，那就是“π”。至此，圆周率的得出水到渠成，而“周三径一”“割圆术”等数学文化的渗透也是无痕而深刻的。

发掘概念得出的深度，可以更进一步关注到知识的内在形成过程，遵循儿童认知规律，培养学生逻辑思维，而不仅仅停留在“知道”这一层面。这样的过程带给学生的是思维的深入和严谨，体会到的是数学的理性和美妙，对探究数学知识、解决实际问题、提升数学素养都是非常有意义的。

二、在“变化”中深刻理解，发展数学思维

习题是数学教学的重要内容，在教材中占有很大的比重，它不仅是学生掌握基本知识和基本技能训练、巩固、提升的载体，更是对零碎的数学知识的归纳和延展，从而提高学生的数学思维能力和数学素养。作为教师，需要在教材习题的运用上动心思、寻创新，需要创造性地开发并利用好教材的习题，在领会教材习题编写意图的同时，适当地对习题进行合理的改编，或以本源习题为参照进行合理创编，使本源习题焕发出新的生命力。

（一）读题千遍不厌倦——读懂教材习题的内涵与外延

教材的一般编排，新授内容与随堂练习的比例约为1∶1，再加上一些整理复习的练习，从篇幅来讲，练习会占到55%～60%，因此，读懂教材中的练习，理清教材习题的价值功能非常重要。我们一般应该将教材中的习题都做一遍，不仅仅是做出答案，更要重视理清教材的编写意图，琢磨习题中蕴涵的解决问题的策略和数学思想方法，还要连贯地来看前后习题之间的联系，哪些习题是哪道题的变式题，它变在哪儿;哪些习题是哪道题的拓展延伸题，拓展的点又是什么。很多有经验的教师通常会这样做——在习题旁把这道题的答案标注出来，讲解这道题的几种解题方法;或者在原题附近写下类型相似的补充题进行对比练习;或者把原题的数据改一改，强化这道题的解题方法。

最应该做的是提取这道题的主要解题策略，展开迁移，进行拓展、延伸、变式，或者根据前后几道题的对比，对同一个类型的題进行对比整理、系统总结，让学生把分散的知识点串联成线，提高学生从会解一道题到会解一类题的能力。以六年级下册“圆柱与圆锥”这个单元为例：圆柱的三维视图与侧面展开图有什么区别？把圆柱的侧面剪开，会得到什么图形？它们与圆柱各有什么联系？与其相对比，用长方形的纸围成一个圆柱，长方形纸与圆柱又有什么联系？

基本上每一个单元结束时，都需要运用对比的手段，帮助学生把一些书本的基础知识进行归纳整理和巩固提升，以提高学生整理归纳的学习能力，培养学生发散思维。例如，学习了分数乘法以后，有这样一道思考题：

这是由五年级课本上的思考题进行延伸的一道题，单看题目，发现规律、举例验证、运用规律似乎并不难，但这道题的改编与创编其实非常丰富，如可以把连加改成连减，双数改成单数，呈现的形式也可以发生变化。这一系列的改编与创编都是牢牢抓住了这道题最基本的规律和方法来进行发散和拓展的。

（二）掀起题的“盖头”来——重视教材习题的开发和延伸

在教学过程中，教师们常会忽视教材中“动手做”板块的深度思考，或是蜻蜓点水般地点到为止，或是压根就忽略不讲。如果真正深入地去研究“动手做”内容，就会发现其中所蕴含的知识量让人惊讶。比如苏教版数学六年级上册第83页的“动手做”（见下图）：

初看这题，举个例子—初步猜想—多方验证—得出结论这样一个常规的路线是教师的首选，有啥更值得研究的呢？但是，当和学生一起研究这道题的方法时，会发现方法丰富多样且各有优劣：

1.画图法直观但局限

如果是长（或宽）不变，宽（或长）增加或减少，或者是长和宽同时在增加或减少，画图的方法也会非常具象，比如上述题目的前一个问题，用画图的方法一目了然。但如果是长（或宽）增加，宽（或长）减少，画图的方法对于学生来说就有些困难了，而且，相对于其他方法来说，画图法也比较费时。

2.列举法具体但烦琐

一个例子解决一个问题，换一个问题需要重新举一个例子，但如果把题中的数据改一改，就得重新再进行列举，才能得到结果。这样的论证过程具体但烦琐。

3.推理法思维含量高且使用范围广

用字母a、b表示长方形原来的长与宽，可以得到如下式子：

学生有了多次运用这种方法的经验后会发现，只要是求新长方形的面积是原来长方形面积的几分之几，只需要用（1+）×（1+）即可。

各种方法的较量，正是培养学生严密论证意识、提升思维能力的最佳途径。比较、归纳等方法的渗透，思维的碰撞，会让学生热血沸腾，从而更深入地研究。不难发现，它其实与积的变化规律的本质是一样的：

找到这样的一条主线，就从一道题发散到了一类题，甚至可以打破知识板块之间的壁垒，延伸到常用的数量关系里去，延伸到实际的解决问题里去。

看，从如何引入，找到这道题主要知识的生长点，到这道题的讲解层次，最后到变式的梯度、拓展的深度，方方面面细致考虑，一道“动手做”的题多么富有研究的价值呀！而且，对“动手做”内容的研究，也会为我们改编和创编命题提供非常好的素材。

教材给我们提供了明确的主题，它也给教师提供了一种提纲挈领似的宏观视角，而教师应该通过深入研究、深度理解、大胆实践，尽可能地把教材中较为“隐性”的知识凸显出来，尤其是隐含的数量关系、数学方法和数学思想，从而帮助学生更好地发展数学思维，也能更好地发挥数学的价值功能，从而进一步提升学生的数学素养。

【参考文献】

沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.