从“经验操作”到“学会推理”

张彦伍 王金发

《数学课程标准》指出，合情的推理就是“从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”。教学过程中，教师引导学生根据已有的学习经历和生活经验，通过动手操作、观察，从多角度验证和推理出知识的规律，是培养学生具有良好学习能力的方法，有助于学生对知识的深度理解和提升学生探究能力。笔者现以人教版四年级下册第五单元《四边形内角和》的教学为例，谈谈如何教授学生从已有的经验进行操作，学会推理。

一、课例展示

《四边形内角和》是学生在学习了三角形的内角和的基础上展开教学的。笔者课前对学生的学习情况做了一个小测试。

《四边形内角和》课前探究

问题1：四边形的内角和是（       ）度。

问题2：你是如何验证四边形内角和的度数？

从学生对问题的反馈来看，问题1回答的正确率在90.5%。这说明四边形内角和的认知，大部分学生已经知道;问题2（如图1）从回答情况来看，大部分学生的验证主要表现在两个方面：第一，学生探究的方法较为单一;第二，学生从特殊的四边形中获得了四边形内角和的度数。据此，笔者将教学的重心“要知道什么？”转为“怎么知道的？”教学中，重点将引导学生利用已有的学习经验，借助三角形内角和这一结论，推理出四边形的内角和，并将方法延伸。根据前测情况，教学实录如下：

（一）温故引新，激发探究

课件出示一个三角形。

师：上一节课我们学习了三角形的内角和，知道了三角形的内角和是多少 度？

生：180°。

师：我们是如何发现并验证三角形内角和是180°？

生1：通过量一量，折一折。

生2：还有拼一拼，把三角形的三个内角拼成了一个平角。

生3：我们还从特殊的直角三角形中得到了三角形内角和的度数。

師：真棒！看来同学们对上一节课的知识掌握的很好，还能够记得从特殊中寻找一般的规律。同学们请看，像这样将三角形减去一个角（如图2），将会得到两个什么图形呢？

生：一个三角形，一个四边形。

师：这个小三角形还有内角和吗？

生：有，还是180°。

师：那这个四边形它有内角和吗？是多少呢？这节课我们就一起来研究四边形的内角和。

（二）迁移经验，操作实践

师：同学们，有没有那么一种四边形，一看到它，就能知道它的内角和？

生：有。

师：它是什么样的四边形呢？

生1：我知道它是长方形，因为它的四个角都是直角，90°×4=360°。

生2：正方形也有4个直角，每个角是90°，它的内角和是90°×4=360°

师：真不错，这样说来四边形的内角和估计也应该是360°。但是，这只是我们的一种假设，因为长方形和正方形是一种特殊的四边形。是所有四边形的每一个内角都是90°吗？

生：不是。

师：同学们，特殊四边形并不能完全说明一般四边形内角和这一规律，显然我们还得研究一般四边形的内角和到底是多少度？

师：同学们，你能借助研究三角形内角和学习的方法和经验，也研究一下一般四边形的内角和吗？现在小组合作，一起尝试研究吧。

（小组合作学习后汇报）

小组1：我们小组用量角器测量了4个角的度数，再把它们加在一起，计算的结果是75°+105°+75°+105°=360°。

小组2：我们组用的是折一折的方法（如图3），经过折叠后，4个内角拼成了一个周角，周角的度数是360°，所以这个四边形的内角和是360°。

小组3：我们组是把这个四边形的四个角剪了下来，（如图4）然后把它们拼在一起，也拼成了一个周角，所以这个四边形的内角和是360°。

师：还有其它方法吗？

小组4：我们组是直接把四边形撕成四份，把四个内角拼在一起也是一个周角，所以我们小组得出四边形内角和也是360°。（如图5）

师：以上小组的汇报非常精彩，都能运用研究三角形内角和的方法和经验，来研究四边形的内角和，虽然方法不同，但都得出了四边形内角和的度数是360°。

（三）突破经验，尝试推理

师：同学们，在刚才的研究中，大家先从特殊的四边形开始猜想，接着运用了量一量、折一折和拼一拼的方法进行了验证，这些都是上一节课学习的经验。我们也熟知三角形的内角和是180°这一结论，也就是说只要有一个三角形，它的内角和就一定是多少度？

生：180°。

师：同学们，你能运用这个结论来研究一下四边形的内角和吗？想一想，能在这个四边形中找到三角形吗？

（学生思考）

师：你可以用笔连一连，画一画。

（学生先独立完成，再小组交流）

师：刚才老师发现，很多同学都已经找到了三角形，请同学们一起看下他们是怎样连的。（投影出示）（如图6）

师：从这两种连线方法我们可以看出，它们都把四边形分成了两个三角形，

一个三角形的内角和是180°，两个就是180°×2=360°，说明四边形的内角和是360°。

师：从连线的方法上看，这个四边形只要连接不相邻的两个点，就可以连出三角形。我们也可以沿着连线的地方剪开两个三角形，两个三角形的内角和加在一起同样是360°。你们同意吗？

生：同意。

师：但老师有疑问了，四边形原来只有4个内角，这样剪开后变成6个角，这是怎么回事呢？你能解释现在的6个角就是原来的4个角吗？

生：（学生板演并说明）（如图7）这两个角原本是四边形的内角，剪开后分别是三角形的内角了，现在把它拼回来，还是四边形原来的内角。