面向增材制造的宏微结构一体化设计方法

肖人彬 张彪 吴紫俊

摘要 针对面向增材制造的多尺度结构设计微结构之间材料连通性及尺度关联的问题，本文提出了基于自定义构型的子结构代理优化模型的宏微结构一体化设计方法。在该方法中，假设宏观结构由多个子结构构成，其子结构构型由相对密度等参数控制。利用设计域划分时子结构与宏观尺度比例关系，实现宏微结构尺度关联设计。在优化过程中，以子结构相对密度为优化设计变量，构建了以系列子结构为基础的自定义构型的微结构样本，设计了基于分段样条插值的代理优化模型，结合传统的优化准则建立了模型增材制造的宏微结构一体化设计框架，分析了代理模型的变量灵敏度及优化计算效率。通过计算实例，验证了所提方法的可行性及其所设计构型的可制造性。

关 键 词 微结构连通性;代理模型;多尺度优化;样条插值;增材制造

Abstract This work presents an integrated design method for multiscale structure in additive manufacturing to solve the problem of material discontinuity and scale separation among microstructures. In this proposed method， the macrostructure is assumed to be composed of substructures with a self-defined lattice geometry pattern with different densities. The strict proportional relationship between macrostructure and microstructure is defined on the basis of the substructure theory in FEA. In the process of optimization， the density of substructure is taken as the design variable. And a surrogate model is built with the cubic spline interpolation method to map the density to the super-element stiffness matrix in the micro scale. The substructure-based optimization framework is established on the Optimality Criteria （OC） and the efficiency of the proposed model is demonstrated. An example of beam is given and the connectivity among microstructure is verified.

Key words microstructure connectivity; surrogate model; multi-scale optimization; spline interpolation; additive manufacturing

0 引言

宏微结构是由系列特定构型的细微观单胞根据一定规律在物理空间中组合而成、兼具承载等多功能特性的多尺度结构，已在现代航空航天、汽车制造、医学等领域得到高度关注[1]。其超轻量化、高比强度和高特定刚性等力学特性[2]，对于推动高性能装备发展、支撑装备结构产品性能升级具有重要作用。已发展了密度投影法[3]、大规模杆梁法[4]和材料结构一体化法[5]等设计方法，实现了理想粘彈性微结构[6]、负泊松比结构[7]等高性能结构的设计。Zhao等[8]提出了一种强解耦灵敏度分析方法，采用模态叠加和模态降阶相结合的方法进行宏微结构频响分析。Zhang等[9]提出了由梯度微结构组成的蜂窝复合材料频率响应多尺度优化方法，通过Kriging元模型预测微结构的有效性质，利用准静态Ritz矢量法分析宏观结构的有效频率响应。黄毓[10]详细研究了多种典型微结构的带隙性质及其弹性波局部衰减特性，分析了微观结构拓扑构型对带隙性的影响。Liu等[11]基于SIMP和水平集法提出了一种高效的拓扑优化方法，设计了基于不同粒度网格的宏微结构设计并行计算框架。Xia等[12]结合均匀化方法和并行计算方法，通过正交分解与拟合方法构建微结构代理计算模型，建立了线上线下的宏微观结构耦合设计方法。Wu等[5]基于子结构自由度凝聚方法，设计了基于自定义微结构构型优化代理模型的宏微结构计算框架，并把该方法应用到了一阶频率最大化的结构设计中[13]。Kumar等[14]提出基于谱分解的多尺度结构设计方法，利用特征值回归和特征向量方向插值，确保了宏微结构性能设计方法的计算精度和效率。

但由于多胞结构的几何复杂度和增材制造工艺的限制，面向增材制造的多胞结构设计已成为拓扑优化设计领域的难点[8]。考虑制造的结构拓扑优化设计方法是在现有的多尺度结构设计方法中增加增材制造工艺约束[16]，把结构的尺寸、连通性、自支撑性等制造约束内化成为优化设计变量之间的相互关联关系[17]，实现“设计即制造”的结构设计。由于尺寸控制的结构拓扑优化方法相对成熟[18]，目前研究工作主要集中基于增材制造的连通性和自支撑结构设计方面。

结构连通性是避免结构内形成封闭内孔并提高单胞间材料连接性的约束，目前结构连通性设计主要集中在以下两个方面：一方面是为了避免封闭内孔中未熔融粉末或支撑结构影响结构性能的无内孔设计方法，如虚拟温度法[19]、基于图论的连通性结构设计方法[20]、自由特征驱动的连通性设计方法[21]等;另一方面是提高相邻微结构的材料连通性，避免力传递路径不连续影响结构性能的设计方法，如含边框的微结构连接性设计[22-23]，预定义微结构连接头的连通性设计[24]、预定义微结构构型的连接性设计[25]、微结构连接边界再优化[26]、基于均匀化的构型几何映射[27]等。这些结构连通性设计方法已解决材料在设计空间的连接性问题，为在制造约束下的多胞结构设计提供了理论参考。

结构自支撑是通过调整悬空结构的倾斜角度或填充微结构，使结构加工成型过程中不需要额外辅助成型支撑的约束。自支撑结构设计提高了材料利用率，节省了结构加工完成后的后处理时间成本，避免了因去除支撑结构而破坏结构实际性能[28]。自支撑结构的拓扑优化设计方法有45度原则法[29]和基于桁架连接的设计方法[30]等。45度原则法，即在结构设计过程中将悬挑角小于45度角的几何特征进行优化[31]，使结构内所有几何特征的悬挑角不小于45度。由于材料性能不同，在多尺度结构设计中基于45度原则的自支撑结构设计方法的适应性较弱。

为解决宏微结构设计中，微结构之间的连通性问题，本文基于子结构优化代理模型优化方法ARSP，提出了面向增材制造的微结构材料连通性设计方法，并通过增材制造设备试制了所设计的模型，结果表明所提出的方法可较好解决微结构设计连通性问题。

1 基于子结构的优化代理计算模型

1.1 基于子结构微结构构建

为构建不同构型的微结构，本文利用子结构内部节点凝聚到其边界的特点，根据特定构型自定义一些列的微结构，并建立微结构的相对密度[ρi]与每个微结构的映射关系，如图1所示，相对密度范围为[0≤ρi≤1]。

1.2 基于子结构的连续密度代理计算模型

由式（6）可得不同密度下的系列刚度矩阵[K*sub（ρi），0<ρi≤1，i=1，…，m]。在图1中，定义孔洞时只能设定该单元是否有材料，因此该相对密度为离散变量。为了获得连续密度下的刚度矩阵，把[N]个刚度矩阵看作为一个样本，并写为列矩阵的形式[[k*1，…，k*m]]，通过插值的方式构建刚度矩阵代理模型：

2 基于代理计算模型的拓扑优化

2.1 优化问题定义

2.2 灵敏度计算及变量迭代

2.3 基于子结构的拓扑优化框架

根据子结构及其代理模型的构建，结合拓扑优化方法，本文所提的基于子结构的代理模型构建方法由3个部分组成：子结构化、样条插值和密度惩罚。其建立过程如表1所示。

该方法的计算框架如图2所示。左边部分为代理模型建立过程，获取超单元信息即为得到宏观结构的网格划分和子结构大小。右边部分为宏观结构优化框架，在宏观结构分析中引入代理计算模型，实现宏微结构一体化设计。

3 数值算例及分析

文献[5]中，由于POD方法截斷误差以及需要计算整个矩阵样本空间的特征值，其计算精度和计算效率存在相离的情形：截断误差越小需要消耗更多的计算资源。由于调整POD的保留模态阶数可以使其计算精度与样条插值方法保持一致，因此本文中，在POD方法中，对于2种构型子结构均保留了4阶模态使其截断误差均小于10?15。本文不再对2种方法计算精度进行分析，而是分析其计算效率。2种方法在构建整体刚度矩阵过程种所消耗的时间如表2所示。

表2列出了整体刚度矩阵的平均构建时间。由于在同一种插值方法下2种构型的子结构构建刚度矩阵方法相同，其所消耗时间基本相同。经过分析可知基于样条插值的代理模型的计算效率是POD方法的1.37倍。由于基于POD的插值方法构建刚度矩阵的过程中，需要根据相对密度先对POD映射系数进行插值，利用保留模态获得相应密度下的刚度矩阵。而基于样条插值，则直接对刚度矩阵样本进行分段插值。省略了映射系数的计算过程，因此可减少计算时间的消耗。

在POD和样条插值2种矩阵拟合方法中，POD首先对刚度矩阵样本进行特征值分解后计算保留模态阶数的相对误差，并根据保留模态阶数和特征向量，重构任意相对密度下的微结构刚度矩阵;而基于分段样条插值的刚度矩阵拟合中，不再计算样本刚度矩阵的模态和截断误差，而是直接利用样本刚度矩阵的样本点直接拟合，从而直接获得拟合的任意密度下的刚度矩阵，其矩阵重构方法更为直接，减少了截断误差的计算过程，使得分段样条插值的计算效率要高于POD方法。

在优化过程中，优化步长设置为0.1，当2次迭代的目标函数值差值小于0.001时所获得优化结果即为最优构型。为了验证所提出的刚度矩阵重构方法的有效性，本文在该算例计算过程中，设置惩罚因子分别为1，2，3，灵敏度过滤半径设置为所划分子结构大小的1.1倍。在这些条件下获得优化构型如图5和图6所示。

从优化结果中，可推断出：相同数目的子结构，优化时所选择的子结构构型不同，其最终的优化拓扑构形也不同。根据文献[19]可知，对于同种子结构构型，优化拓扑构形与子结构划分数量无关。在图5a）和图6a）情形下，由于惩罚因子为1，优化拓扑结构中存在大量中间密度子结构，没有明显的杆系结构特征。为了得到更为精细的局部结构特征，在此把惩罚因子设置[p=2]和[p=3]。所获得宏观结构没有出现棋盘格现象。

随着惩罚因子的增大，其中间密度的微结构数目变少，当惩罚因子为3时，在构型A下所获得的宏观构型中的微结构的相对密度接近于1，变成了实体结构，在构型B下的优化构型中，密度接近于1的微结构外围均覆盖密度较小的微结构。

从两类子结构下的目标函数可以看出，构型B的子结构所优化出的结构柔度值略小于基于构型A的柔度值，表明具有更好的性能。从优化结果看，由于构型B下获得的优化构型中密度较大的微结构均覆盖密度较小的微结构;而构型B下的宏观结构，由于惩罚因子的增大，其杆特征均只含有一个微结构，且只有微结构的一条棱边连接，其微结构间连接的强度较弱。从制造角度看，构型B下所得到的优化结果均具有良好的材料连通性，更适合于制造;构型A下所获得构型，当惩罚因子增大时其所获得构型的制造性变差，因此在考虑构型制造的宏观结构设计中，尽量避免选取A构型的微结构。

在相同的优化参数下，把设计域细化为[N1×N2×N3=30×15×3]个子结构，基于构型A和构型B的优化结构分别如图7和图8所示。

从优化结果来看，基于构型B的微结构所优化的结构的柔度值均小于构型A，这是由于构型B具有可变的内部结构，而构型A的内部结构为孔洞，无法通过改变微结构内部构型获得性能更优的微观结构。即内部结构单一的构型A丧失了一部分优化设计空间，其灵活性没有构型B高。

与此同时，通过与图4、图5的优化构型对比，可以发现：在宏观设计域的子结构划分中，所划分的子结构数越多，其构型越复杂。若在z向划分为3个子结构，获得的设计构型的空间特征更为明显，不再是图4和图5中的2.5维的类三维结构。但宏观设计域的子结构划分数目越多，优化构型的柔度值会增大，由于此时可获得更为明显的三维构型，需要更为严格的优化条件进行结构设计，如图7c）所示，宏观结构顶部会多出一部分构型。

由于宏观设计域子结构划分的数目增多，在这2类微结构构型A和B下，所获得的优化结构构型具有良好的连通性，尤其是构型A下的宏观结构，当惩罚因子增大时其宏观杆系特征不再是只含有一个子结构，微结构的连接也是微结构之间的面连接，确保了所优化宏观结构的材料连通性。然而，对于构型B，当惩罚因子增大时，其所示设计宏观结构更为复杂，如图8c）所示。

利用光固化打印机object30 pro，制造出图5与图6中的惩罚因子p=1时的优化结果，如图9所示。为了节省打印时间，一次打印出来了2个模型，并采用的是“哑光”模式，其实际制造的宏观结构被支撑材料包裹。

从制造的模型中可看出，两类构型微结构的材料连通性较好，有效保证了宏观结构连续力传递路径。在除去支撑材料的时候，如图10所示，由于相对密度较小的微结构内所含有的几何特征较小，尤其是分布在宏观结构外围的微结构，由于微结构内部的杆系较细，其结构强度弱，在除去支撑材料的时候，很难保证不损伤制造构型。因此，对于该方法所设计的构型，在利用考虑增材制造对构型进行制造时，需要进一步考虑提升其相对密度小的微结构的结构强度性能。

4 结论

本文利用分段样条插值和子结构方法，提出了基于自定微结构构型的优化代理模型，由于自定义微结构构型确保了微结构间的连接边界，使得所设计的宏观结构具有良好的材料连通性，更具有可制造性。利用分段样条插值，直接拟合刚度矩阵样本，避免了因POD方法的模态设计而引起的截断误差，使优化构型更精确，刚度矩阵拟合的计算效率更高。从优化结果来看，在两类自定义微结构构型下，随着惩罚因子的增大，其宏观构型的杆系特征越明显，相对密度接近于1的微結构数目也越多;同时，当设计域划分的子结构数目越多，其宏观结构的柔度值越大，但宏观结构基本相同。最后，利用光固化打印机对所设计的构型进行了制造，试验表明所提的方法设计的结构具有良好的可制造性，为面向增材制造的宏微结构拓扑优化设计提供了新的思路和方法。

尽管所提方法可解决面向增材制造的宏微结构一体化设计中的材料连通性与尺度关联问题，但还有以下几个方面需要进一步研究。1）子结构内节点数与子结构刚度矩阵的映射关系。在构建微结构优化代理模型过程中，由于微结构刚度矩阵的拟合重构效率得到了较大提高，尽管对于宏观结构的优化效率有积极作用，但当宏观结构中子结构划分数目增多时，仍然曾在效率低下问题。这是由于单个微结构的刚度矩阵规模较大，当宏观结构子结构数增多时其对应的整体刚度矩阵规模更大，当宏观子结构数划分超过30×15×3时，每一个迭代步的计算时间超过120 min，因此需要进一步研究子结构凝聚与对应刚度矩阵映射关系，采用规模较小的等效刚度矩阵进行宏观结构设计。2）微结构性能与增材制造工艺约束之间的映射关系需要进一步研究。受制于增材制造工艺，微结构的设计性能与制造性能之间不完全匹配，如细小杆件、支撑结构等，需要从增材制造工艺方面做进一步的探讨。

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