Banach空间中线性斜积三参数半流的指数渐近行为

岳 田，宋晓秋

1. 湖北汽车工业学院 理学院，湖北 十堰 442002；2. 中国矿业大学 数学学院，江苏 徐州 221116

近年来关于微分系统定性理论的研究取得了突破性的进展，尤其是在指数渐近行为(指数稳定、指数不稳定等)方面．大量公开问题的解决，使得相关理论不断拓展和完善[1-14]．在讨论无限维空间中由自治微分方程所生成的动力系统的不变流形的线性化问题时，将会经常使用斜积(半)流这个概念，如经典的Navier-Stokes，Taylor-Couette，Bubnov-Galerkin方程都可用半流上的斜积(半)流作为渐近化模型．故作为单参数算子半群[1-2]、演化族(又称演化过程或演化算子)[3-5]、线性斜积(双参数)半流[7-10]的推广，由Preda等学者于2011年引入的线性斜积三参数半流[11-13]成为了刻画微分系统渐近行为的一类重要工具．文献[11]基于一致的视角，借助“输入-输出”方法(又称Perron方法或测试函数方法)得到了线性斜积三参数半流一致指数稳定的Perron型结论；文献[12]借助Datko-Pazy方法，讨论了线性斜积三参数半流一致指数稳定的Datko型条件，所得结果将经典的双参数演化族一致指数稳定的Datko型定理推广到了线性斜积三参数半流情形，同时该文还给出了所得结论在一致指数不稳定下的变形；文献[13]基于Perron技术，借助离散时间方法，通过讨论线性斜积三参数半流关于序列空间对(lp(X)，lq(X))的容许性，得到了连续时间斜积三参数半流一致指数稳定的若干充要条件．

受到文献[12]的启发，本文将借助Datko-Pazy方法分别建立若干新的刻画Banach空间中线性斜积三参数半流一致指数稳定与一致指数不稳定的Datko型定理，所得结果将一些双参数演化族或斜积半流的指数稳定性结果推广到了线性斜积三参数半流[5-8，10]．

1 预备知识

设(Θ，d)为一度量空间，X是一个Banach空间，将空间X上的范数及作用其上面的有界线性算子全体B(X)上的范数记作‖·‖．记Δ={(t，t0)∈R2：t≥t0≥0}，I为恒等算子．

定义3[11-13]称线性斜积三参数半流π=(φ，σ)为一致指数稳定的，如果存在常数N≥1，v>0使得对∀(t，t0，θ，x)∈Δ×Θ×X，有

‖φ(θ，t，t0)x‖≤Ne-v(t-t0)‖x‖

(1)

定义4[12]称线性斜积三参数半流π=(φ，σ)为一致指数不稳定的，如果存在常数N≥1，v>0使得对∀(t，t0，θ，x)∈Δ×Θ×X，有

‖φ(θ，t，t0)x‖≥Nev(t-t0)‖x‖

(2)

引理1[12]线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在c∈(0，1)和h>0，使得对每个t0≥0，θ∈Θ以及x∈X存在u∈(0，h](u依赖于t0，θ和x)，满足

‖φ(θ，t0+u，t0)x‖≤c‖x‖

(3)

引理2[12]线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在c≥1和h>0，使得对每个t0≥0，θ∈Θ以及x∈X存在u∈(0，h](u依赖于t0，θ和x)，满足

‖φ(θ，t0+u，t0)x‖≥c‖x‖

(4)

2 主要结论

且对所有的θ∈Θ以及x∈X，有

(5)

则线性斜积三参数半流π=(Φ，σ)是一致指数稳定的．

证采用反证法．若线性斜积三参数半流π=(φ，σ)不是一致指数稳定的，则引理1中式(3)不成立．这意味着对任意c∈(0，1)和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X，‖x0‖=1使得对所有的u∈(0，h]有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖>c‖x0‖=c

从而结合式(5)可得，对所有的h>0有

故由洛必达法则可得

该矛盾说明式(3)成立，从而借助引理1可得π=(φ，σ)是一致指数稳定的．

则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在α，β>0，使得对所有θ∈Θ以及x∈X，有

(6)

证由定理1可知充分性显然，下证必要性．由于π=(φ，σ)是一致指数稳定的，故存在常数N≥1，v>0使得

‖φ(θ，t0+u，t0)‖≤Ne-vu

对所有的t0≥0，u≥0，θ∈Θ成立．现任意固定α∈(0，v]及β≥N，则对所有的t>0，t0≥0，θ∈Θ以及x∈X有

推论2线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数α，β>0，使得对所有的θ∈Θ以及x∈X，有

(7)

使得对所有的θ∈Θ和x∈X，有

(8)

证必要性 显然．令φ(t)=t即可．

充分性 若π=(φ，σ)不是一致指数稳定的，由引理1可知对任意c∈(0，1)和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X使得对所有的u∈(0，h]有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖>c‖x0‖

(9)

结合式(8)有

定理3线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≤φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X，有

(10)

证必要性 令φ(t)=t即可．

这与式(10)矛盾，故π=(φ，σ)是一致指数稳定的．

定理4线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≥φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X，有式(10)成立．

证必要性 令φ(t)=t即可．

这与式(10)矛盾，故π=(φ，σ)是一致指数稳定的．

推论3线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K′>0以及非减函数φ(t)满足定理3或4的条件，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X，有

(11)

在定理3或4中，取φ(t)=tp(p>0)，可得推论4．

推论4[12]线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K，p>0使得对所有的t0≥0，θ∈Θ以及x∈X，有

(12)

接下来按照前面关于线性斜积三参数半流一致指数稳定性的讨论方式，给出相关结论在一致指数不稳定情形下的若干变形．

且对所有的θ∈Θ以及x∈X{0}，有

(13)

则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的．

证反证法．若π=(φ，σ)不是一致指数不稳定的，由引理2可知对任意c>1和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X，‖x0‖=1，使得对所有的u∈(0，h]，有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖

从而结合式(13)可得，对所有的h>0有

故由洛必达法则可得

从而矛盾．故π=(φ，σ)是一致指数不稳定的．

则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在α，β>0，使得对所有θ∈Θ以及x∈X{0}，有

(14)

推论6若对任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)为一一映射．则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数α，β>0，使得对所有的θ∈Θ以及x∈X{0}，有

(15)

使得对所有的θ∈Θ和x∈X{0}，有

(16)

证必要性 显然，令φ(t)=t即可．

充分性 若π=(φ，σ)不是一致指数不稳定的，由引理2可知对任意c>1和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X{0}，使得对所有的u∈(0，h]有

‖φ(θ0，t0+u，t0)x0‖

(17)

结合式(16)，有

这意味着φ(h)1和∀h>0成立．现将c固定，并令h→∞，则有Kcp≥∞，从而矛盾，故π=(φ，σ)是一致指数不稳定的．

定理7若对任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)为一一映射．则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≤φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有

(18)

充分性 若π=(φ，σ)不是一致指数不稳定的，由引理2可知对任意c>1和h>0，存在t0≥0，θ0∈Θ以及x0∈X{0}，使得对所有的u∈(0，h]有式(17)成立．特别地，取c=2，h=Kφ(2)，由函数φ的性质以及式(17)可得

这与式(18)矛盾，故π=(φ，σ)是一致指数不稳定的．

定理8若对任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)为一一映射．则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K>0以及非减函数φ(t)>0(t>0)满足φ(ts)≥φ(t)φ(s)，(t，s)∈Δ，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有式(18)成立．

证类似定理7的证明．

推论7若对任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)为一一映射．则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K′>0以及非减函数φ(t)满足定理7或8的条件，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有

(19)

在定理7或8中取φ(t)=tp(p>0)，可得推论8．

推论8[12]若对任一(θ，t，t0)∈Θ×Δ，φ(θ，t，t0)为一一映射．则线性斜积三参数半流π=(φ，σ)是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K，p>0，使得对所有的t0≥0，θ∈Θ和x∈X{0}，有

(20)