二次函数常见考点展示

2021-09-30 06:23薛金钰

薛金钰

二次函数是初中数学的重要内容，更是中考命题的热点素材.现以2021年中考题为例来展示二次函数中常见的考点，供同学们参考.

一、二次函数的顶点坐标

例1（2021·浙江·湖州）如图，已知经过原点的抛物线y = 2x2 + mx与x轴交于另一点A（2，0）.

（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标;

（2）求直线AM的解析式.

分析：（1）先将点A的坐标代入求出m的值，再求抛物线顶点M的坐标;

（2）由点A和点M的坐标，用待定系数法求直线AM的解析式.

解：（1）∵抛物线y = 2x2 + mx过点A（2，0），

∴2 × 22 + 2m = 0，解得m = -4，∴y = 2x2 - 4x，

∴y = 2（x2 - 2x + 1） - 2，即y = 2（x - 1）2 - 2，∴抛物线顶点M的坐标为（1，-2）.

（2）设直线AM的解析式为y = kx + b（k ≠ 0），∵图象过A（2，0），M（1，-2），

∴[2k+b=0，k+b=-2.]解得[k=2，b=-4.]∴直线AM的解析式为y = 2x - 4.

点评：求二次函数图象的顶点坐标有两种方法：一是配方法，二是公式法，同学们要牢固掌握.

二、二次函数图象的平移

例2（2021·山东·泰安）将抛物线y = -x2 - 2x + 3的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（）.

A. （-2，2） B. （-1，1） C. （0，6） D. （1，-3）

分析：先把原抛物线y = -x2 - 2x + 3配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（-1，4），再将点（-1，4）向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到平移后顶点的坐标，将平移后的顶点坐标代入顶点式，即可得到平移后的抛物线解析式，然后检验四个选择支中的点哪一个在平移后的抛物线上即可.

解：y = -x2 - 2x + 3 = -（x + 1）2 + 4，即抛物线的顶点坐标为（-1，4），把点（-1，4）向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到新抛物线的顶点坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y = -x2 + 2，易知点（-1，1）在平移后的抛物线上. 故选B.

点评：在将一般式转化为顶点式时，要正确使用配方法，谨防出错.得到平移后的顶点坐标后，在代入抛物线的顶点式y = a（x - h）2 + k时，不要弄错了符号.

三、二次函数与一元二次方程之间的关系

例3（2021·四川·泸州）直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y = （x - a）2 + （x - 2a）2 + （x -3a）2 - 2a2 + a（其中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（）.

A. a>4 B. a>0 C. 0