主轴回转误差测量技术研究现状

2021-10-12 12:11顾伟德万春鹏
机械制造 2021年9期
关键词:步法偏心主轴

□ 顾伟德 □ 周 亮 □ 万春鹏

哈尔滨工业大学 机电工程学院 哈尔滨 150001

1 研究背景

主轴回转误差一直是超精密领域的研究重点,如何准确测量和减小主轴回转误差,吸引了众多国内外研究人员的目光。目前,市场上已出现了转速60 000 r/min时轴向窜动和径向跳动小于25 nm的空气静压刀具主轴,这对主轴回转误差测量技术提出了更高的要求。由于数据采集、信号处理、传感器等技术的高速发展,纳米级甚至亚纳米级的主轴回转误差测量已成为可能[1-2]。

蔡鹤皋[3]指出主轴瞬时回转中心与其平均回转中心的距离就是对应时刻主轴回转运动的误差。主轴回转误差从表现形式上分为轴向窜动、径向跳动、倾角摆动。轴向窜动指主轴沿轴伸方向的移动,通常用一个位移传感器测量。径向跳动指主轴沿半径方向的运动,需要取一个截面测量,再用圆度误差的评定方法计算得到。倾角摆动指主轴沿径向弯曲,通常取两个截面计算倾角。

针对高速高精度的主轴,静态打表法并不适用。从测量系统角度看,该类主轴回转误差测量技术可以分为探针法、光学法、刻痕法。探针法是出现最早、应用最成熟的方法,代表方法有反转法、多点法、多步法。光学法是近二三十年发展起来的技术,以干涉法和标靶法为主。刻痕法的研究和应用相比前两者较少,但使用恰当也可以达到优于50 nm的重复精度[4],而且不需要安装标准球。

主轴误差产生的主要原因是轴承与支撑处的配合、温度、振动。除以上因素外,影响主轴误差测量的因素还有标准球的安装偏心、标准球的形状误差、传感器之间的差异性、传感器的安装角度偏离等。

2 探针法研究现状

探针法是出现最早,也是使用最多的方法。文献[4]介绍了20世纪中叶Tlusty和Bryan将标准球用于主轴回转误差的测量。此后,研究人员遵循这种方法进行研究。这种方法在当时环境下有利于主轴回转误差的测量,但对于微米级及以下的回转误差,标准球的形状误差无疑会造成影响,尤其是当主轴回转误差和标准球形状误差相差一个量级以内时。对此,多种回转误差分离技术被提出,反转法、多点法、多步法是最具代表性的方法。

2.1 反转法

反转法最早由Donaldson[5]提出,基本原理如图1所示。传感器在X轴方向完成第一次测量,保持主轴不动,将传感器和标准球同时旋转180°,进行第二次测量。设主轴转动的角度为θ,标准球的形状误差为r(θ),X轴方向的跳动误差为x(θ),记两次传感器的测量结果为m1(θ)和m2(θ),m1(θ)和m2(θ),分别为:

m1(θ)=r(θ)+x(θ)

(1)

m2(θ)=r(θ)-x(θ)

(2)

则r(θ)和x(θ)分别为:

r(θ)=[m1(θ)+m2(θ)]/2

(3)

x(θ)=[m1(θ)-m2(θ)]/2

(4)

▲图1 Donaldson反转法原理

反转法的数据处理非常简单,若要获得Y轴方向的跳动误差,则只需要沿Y轴方向再采用一次反转法即可。反转法对于传感器和标准球的安装精度有较高的要求。Grejda[6]针对上述要求,在测量系统中加入高精度的分度台和特殊的反转卡盘,如图2所示。第二次测量时,保持传感器和标准球不动,将主轴旋转180°,可以有效减小多次安装引起的误差,达到亚纳米级的重复精度。文献[1]通过蒙特卡洛模拟法验证了Grejda反转法相比Donaldson反转法,不确定度更低。Cui Hailong等[7]设计了特殊的传感器卡具,以保证传感器旋转180°的精度,同时用分度台和调节装置控制安装球的旋转角度与偏心距离,达到纳米级的重复精度,测试平台如图3所示。文献[7]还指出,增加测量圈数可以有效减小角度对回转误差的影响,即可以降低角度引起的不确定度。

▲图2 Grejda反转法原理

2.2 多点法

多点法中研究较多的有两点法、三点法、四点法。笔者以三点法为例,介绍基本原理。如图4所示,三个传感器以夹角α和β布置在同一平面,并且对准标准球的球心。记三个传感器获得的数据分别为m1(θ)、m2(θ)、m3(θ),则m1(θ)、m2(θ)、m3(θ)分别为:

m1(θ)=r(θ)+x(θ)

(5)

m2(θ)=r(θ-α)+x(θ)cosα+y(θ)sinα

(6)

m3(θ)=r(θ-β)+x(θ)cosβ+y(θ)sinβ

(7)

▲图3 反转法测试平台

▲图4 三点法原理

设置一组权值g=(g1,g2,g3),对三次测量的数据进行加权处理,加权结果用s(θ)表示。为了方便计算,g1取1。s(θ)为:

s(θ)=m1(θ)+g2m2(θ)+g3m3(θ)

=r(θ)+g2r(θ-α)+g3r(θ-β)

+(1+g2cosα+g3cosβ)x(θ)

+(g2sinα+g3sinβ)y(θ)

(8)

消除径向误差x(θ)和y(θ),令:

1+g2cosα+g3cosβ=0

(9)

g2sinα+g3sinβ=0

(10)

则g2和g3分别为:

(11)

(12)

s(θ)可进一步表达为:

s(θ)=r(θ)+g2r(θ-α)+g3r(θ-β)

(13)

对式(13)进行傅里叶变换,得到:

S(k)=G(k)R(k)

(14)

G(k)=1+g2e-jk∞+g3e-jkβ

(15)

式中:S(k)、R(k)分别为s(θ)、r(θ)的傅里叶变换结果,k为谐波次数;G(k)为傅里叶变换后的权函数。

通过逆傅里叶变换得到r(θ)为:

(16)

于是有:

x(θ)=m1(θ)-r(θ)

(17)

(18)

以上是基于傅里叶变换的分离技术,也被称为频域法。以下再介绍矩阵运算的分离技术,也被称为时域法。

设一圈采样数为N,每一采样点代入式(13),并组成矩阵,有:

(19)

由于r(θ)具有周期性,式(19)可转换为:

(20)

式中:T为N×N矩阵,由0、1、g2、g3组成。

理论上,通过求T-1,可以求解出r(θ)。但是N的值往往较大,在100以上,求T-1的运算量大,需要通过数值分析的方法快速求解,这一过程又会有初值选取的问题。

频域法和时域法的推导看似完美,但当G(k)为0时会出现谐波抑制。Baek等[8]针对这一问题进行详细研究,得到满足谐波抑制时谐波次数k的域,其表达式为:

k={k|kα=±α+2nπ,n∈Z}

∩{k|kβ=β+2nπ,n∈Z}

(21)

研究人员使用四个传感器,包含两个三点法,进行测量试验。两组数据得到的结果是一致的,验证了设计的合理性。Shi Shengyu等[9]进行了更深入的研究,用传递函数研究角度引起的不确定度。任意α和β角引起的不确定度如图5所示。研究人员选取两组角度进行蒙特卡洛模拟,发现不同频率下两组角度不确定度的值有高有低,但都比理论值高。由此,提出使用两组角度的混合法和融合法来进一步降低不确定度。最终通过试验验证了这一想法,并且融合法的效果更好。Gao Wei等[10]提出混合法,同时使用位移传感器和角度传感器进行测量,一共建立了三套理论,从根本上改变G(k)的表达式,解决了谐波抑制问题。在三套理论中,正交一角度传感器一位移传感器的效果更好[11],并且只需要两个传感器。

▲图5 任意α和β角引起的不确定度

由于传感器之间存在差异,这种差异对径向误差评价有影响。一种方法是减少传感器的数量,也就是采用两点法。然而两点法不能完全分离标准球的形状误差。一些改进后的方法,比如由三点法衍化的两点法[12]、数理统计法[13-14],都存在原理性误差,精度受到限制。吕铭等[15]将集合经验模态分解法用于传感器数据处理,分离出热变形产生的误差数据,试验结果重复性好。如果能增加对比试验,与公认的高精度方法对比,会更有影响力。另一种方法是使用同一个传感器在预定角度进行多次测量。Cappa等[1]受到Grejda改进Donaldson反转法的启发,设计相似的装置来控制主轴精确转动,并保持传感器不动,最终测量的不确定度仅为0.455 nm,这一相似的三点法测量装置如图6所示。除此以外,Liu Fei等[16]直接将传感器的敏感度作为参数引入计算公式,设计两两间成90°的四点法,成功分离了形状误差和径向误差。

▲图6 三点法测量装置

2.3 多步法

多步法原理如图7所示[17]。传感器在初始位置进行一次测量,然后与标准球一起转动2π/n,再进行一次测量,直到标准球转动n-1次,传感器获得n次测量数据,表达式为:

m1(θ)=r(θ)+x(θ)

(22)

▲图7 多步法原理

m2(θ)=r(θ+2π/n)+x(θ)

(23)

mn(θ)=r[θ+(n-1)2π/n]+x(θ)

(24)

累加得到:

(25)

由于标准球的形状误差具有周期性,形状误差累加项的结果是相应的基频和倍频都相互抵消,即累加项的值为0。因此,X轴方向的径向跳动x(θ)为:

(26)

则标准球形状误差r(θ)为:

r(θ)=m1(θ)-x(θ)

(27)

多步法也存在谐波抑制,这个问题出现在形状误差的累加项上。对累加项进行傅里叶变换后发现,n阶及其倍频时累加项的值不是0,误差进入主轴的径向误差中,最终导致分离出的标准球形状误差中n阶及其倍频成分缺失。

以下介绍另外一种基于傅里叶变换的数据处理方法。

设置一组权值g=(g1,g2,…,gn),对n次测量数据进行加权处理,得到:

(28)

当权值累加和为0时,x(θ)项被消除,再进行傅里叶变换,可以简写为:

M(k)=G(k)R(k)

(29)

式中:M(k)为式(28)等号左侧傅里叶变换的结果;R(k)为式(28)等号右侧有关r(θ)项的傅里叶变换结果。

通过逆傅里叶变换得到r(θ),进一步可以得到x(θ)为:

(30)

式(30)中,当G(k)为0时,k为n的整数倍,会导致谐波抑制,结论与前一种方法是一致的。

对于多步法的谐波抑制问题,一般的解决途径是增大步数n。因为高阶谐波的幅值往往很小,超过某一频率后可认为幅值是0。文献[17]中提到国际上多步法大部分为10步,美国国家标准是12步。乔凌霄等[18]提出混合频域补偿方法,首先进行三步法、四步法、五步法测量,采用第二种数据处理方法,对于三步法中缺失的3倍频谐波用四步法或五步法中相应频率的幅值补偿,使第一次出现谐波抑制在60倍频,超过实际需要的倍频范围,最终分离出的标准球的形状误差与厂商给出的数值最为接近。但是,两种方法都会导致测量时间增加,温度和振动造成的影响同时将增大。Anandan等[19]提出多方向法,打破多步法每次转动同一个角度的条件,增大不发生谐波抑制的频率带宽,随着步数的增加,带宽不断增大。文献[19]对15个角度进行任意组合,计算满足相应带宽要求的概率,如图8所示,图8中横坐标最小带宽为谐波频率的倍数。五个方向组合满足带宽大于50倍谐波频率的概率接近97%,极大减少了测量次数,进而减小温度和振动的影响。

▲图8 多方向法满足相应带宽要求概率图

2.4 标准球偏心误差分析

标准球偏心误差是标准球引入后的另一大误差源。普遍观点认为偏心误差在测量结果中表现为一次谐波,而主轴回转误差不包含一次谐波,因此往往采用一次滤偏法来消除,但是一些学者的研究显示了不同的看法。

标准球安装偏心如图9所示,f为标准球安装偏心距离,R为标准球的平均半径,θ为主轴转动的角度,则标准球安装偏心f引起的传感器测量误差l为:

(31)

▲图9 标准球安装偏心

式(31)中含有f的二次项,这个值无法通过一次滤偏法滤除。对此,若要提高回转误差测量精度,必须对偏心进行控制。假设偏心f是微米级,半径R是毫米级,则偏心产生的影响是纳米级。

Shu Qiang等[2]用试验方法测量微米级偏心对传感器数据的影响,拟合曲线如图10所示,是一条二次曲线。研究人员依据这条曲线对传感器数据进行修正,减小偏心误差的影响,达到纳米级的不确定度。

▲图10 微米级偏心对传感器数据影响曲线

Lu Xiaodong等[20-21]用矢量形式表达径向误差,构建新的二维框架理论。一个重要发现是,-1阶矢量的模是一个定值。研究人员认为这是主轴径向误差的组成部分,称为基本径向误差运动,并用主轴和轴承之间的运动进行解释。研究人员用不同的方法进行测量,结果显示-1阶矢量的模值高度一致。这一发现与一次滤偏法的认知是不同的,因为一次滤偏法同时消除了±1阶谐波。

3 光学法研究现状

光学法分为干涉法和标靶法。曹庆辉[22]建立干涉条纹形状与主轴倾角运动误差模型,用移相干涉测量技术测量主轴倾角。金岸等[23-24]采用标靶法,在主轴端面中心安装发光源,用电荷耦合器件相机记录主轴回转时发光源的轨迹,通过图像处理和建模分析得到回转误差,如图11所示。这种方法的一个好处是不需要标准球。

▲图11 标靶法原理

4 刻痕法研究现状

刻痕法是一种间接测量方法,而探针法和光学法是直接测量方法。刻痕法有两种模式,一种是在主轴上安装刀具,在样品上进行刻划;另一种是在主轴上安装样品,保持刀具不动进行刻划。Geng Yanquan等[4]开创性地将原子力显微镜应用于主轴轴向误差和径向误差的测量,采用第二种模式,将原子力显微镜的探针作为刀具在样品上刻划,再用原子力显微镜对有划痕的样品进行表面探测,如图12所示。试验结果显示这一方法重复性好,与主轴厂商提供的数据接近。

▲图12 基于原子力显微镜的回转误差测量原理

5 结束语

现有的主轴回转误差测量技术分为探针法、光学法、刻痕法。笔者主要介绍了探针法中反转法、多点法、多步法的研究现状,对标准球偏心误差进行了分析。探针法的理论研究相对成熟,主要工作集中在如何减小操作误差,降低不确定度。针对标准球偏心误差,介绍了三组研究人员的部分研究成果。部分研究成果与一般的标准球偏心误差认知不同,尤其是发现了基本径向误差运动。

笔者的介绍可以为主轴回转误差测量技术的应用提供参考。

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