边赋权简单图最长圈问题研究

2021-10-19 03:14张智微
关键词:图论赋权示意图

张智微,李 鹏

(重庆理工大学 理学院, 重庆 400054)

密尔顿圈(路)问题是图论中最熟知的NPC问题之一,而其最自然的推广就是最长圈(路)问题,即寻找给定图中所包含顶点个数(或边数)最多的简单圈(路)。最长圈(路)问题是图论的一个研究热点之一,围绕它有大量的工作出现,如研究最长圈(路)的结构性质[1,4,5,8-9,14],研究最长圈的多项式算法[2,7,12-13],研究最长圈的近似算法[3,6,15]以及其他相关问题[10-11]等。

弦图是不包含长度大于等于4的诱导圈的图,它是图论很重要的基础图类。区间图是这样的图类:它的顶点可以和数轴上的区间一一对应,2个顶点之间有边当且仅当它们对应的区间相交。熟知的是区间图是弦图的一个子类。

图论中一个很重要的猜想是:2连通的弦图的所有最长圈一定经过同1个顶点。围绕这个猜想,图论工作者进行了大量的研究,但始终无法解决这个猜想。与这个猜想紧密相关的另1个猜想是:2连通边赋权简单图(权值为正数)所有最长圈都经过同1个顶点。本文主要研究边赋权简单图(极大团不超过2个的图)的最长圈性质,证明了该猜想在2连通的边赋权简单图是正确的。

1 预备知识

在图论中,图中一条路径指的是一顶点序列:v1,v2,…,vn。序列中任何相邻的2顶点都可以在图中找到对应的边。一条路径的长度是这条路径所包含的边数。圈指的是在图中任选一个顶点,沿着不重复的边,经过不重复的顶点为途径,之后又回到起点的闭合途径。重边指的是具有一对顶点的多条边。若一个图不含圈和重边,则称此图为一个简单图。设G是顶点集为V(G)={v1,v2,…,vn}和边集为E(G)={e1,e2,…,en}的简单图。若顶点vi和vj在图G中相邻,则记为vivj∈E(G)。图G中的团就是两两之间有边的顶点集合。若一个团不被其他任意一个团所包含,即它不是其他任一团的真子集,则称该团为图G的极大团。

在图G中,若从顶点vi到顶点vj有路径相连,则称vi和vj是连通的。如果图G中任意2点都是连通的,那么称图G为连通图。假设有简单图H,满足如下条件V(H)⊆V(G),E(H)⊆E(G)且H中边的顶点的分配和G中边的顶点的分配一样,则图H是图G的子图。若去掉图G中的任意一点后的子图是连通的,但是去掉某2个点之后的子图就不是连通图,则称图G为2连通图。

给图G中的每1条边赋予一定的权数,记为W(vivj)。令W(vivj)=eij且满足eij≥0,(1≤i

2 只有1个极大团的图

定理1若简单图只有一个极大团,则该图所有的最长圈都要经过相同的2个顶点。进一步,若E(vi0vj0)是图G中所赋权值最大的边,即ei0ej0=max{eij∶1≤i0

证明:假设存在1个最长圈L不经过vi0,vj0这2个点。任取最长圈C上相邻2点,分别记为vp,vq。用路径vpvi0vj0vq取代边vpvq可得到一个新的圈,记为C′,参看图1。

图1 一个极大团的示意图

因为L是最长圈,所以此时有不等式

epi0+ei0j0+ej0q≤epq

(1)

但实际上根据假设有ei0j0≥epq,且epi0>0,eqj0>0故可得出,

epi0+ei0j0+ej0q>epq

(2)

这与不等式(1)矛盾,所以假设不成立。故最长圈不可能同时不经过vi0,vj0这2个点。

因为最长圈只经过vi0,vj02点中的1点,所以可假设存在最长圈Q满足vi0∉Q,在最长圈Q上任意取1个点,记为vm,显然存在边E(vmvj0)。用路径vmvi0vj0取代路径L可得到1个新的圈,记为Q′。

此时有emi0+ei0j0>emj0,Q′成为最长圈, 这与Q是最长圈矛盾。假设不成立,说明每个最长圈都要经过vi0,vj0这2个点。

综上所述,当简单图只有1个极大团时,图的每1个最长圈都要经过图中相同的2个点。

3 2个团的二连通图

为了方便理解,2个团的二连通图见图2。

图2 2个团的二连通图的示意图

这里将2个团分别记为K1,K2,记S为K1与K2的交集,即K1∩K2=S。记P3是长为3的路径。

定理2在2连通图L中假设eab>ebc且令max(P3)∩S=∅。若max(P3)∩S=∅,则图G的每一个最长圈都要经过vb点。

证明:设2连通图G存在1个最长圈L不经过vb点,则L也不经过va,vc点。

首先,如果最长圈L经过va点。在L上取1个va的相邻点记为va′,用路径vavbva′取代路径vava′,得到1个新的圈,记为L′,图形可参看图3。

图3 va在最长圈L的示意图

根据假设有eaa′≥eab+eba′,但是实际上对于路径vava′vb,有

ea′a+eab≥2eab+eba′>2eab≥eab+ebc

(3)

这与路径vavbvc是最长P3矛盾,此假设不成立,所以va∉L。

其次,假设L经过vc点,在最长圈L上任取一个vc的相邻点记为vc′,图形见图4。

图4 vc在最长圈L的示意图

对于路径vcvc′与路径vcvbvavc′有:

ecc′≥ecb+eba+eac′>eab+ebc

(4)

这与vavbvc是最长P3矛盾,故此假设不成立,所以最长圈L不经过vc点。综上所述va,vb,vc∉L。

然后,我们可假设∀vs1,vs2∈S但是vs1,vs2∉L。在最长圈L上任取一点及其相邻点,分别记为vx,vx1。若用路径vxvs2vcvbvavs1vx′取代路径vxvx′,则会得到一个新圈,记为L″,见图5。

图5 vs1和vs2不属于L的示意图

则显然有,

exx′≥exs2+es2c+ecb+eba+eas1+es1x′>eab+ebc

(5)

这与路径vavbvc是最长P3矛盾,故此假设不成立,所以最长圈L最多不经过S中的一个点。

再假设S中存在一个点vs3且vs3∉L,但S中的其他点都在最长圈L上。取L上任意一点vs4和它的相邻点vs5。用路径vs4vcvbvcvs3vs5取代路径vavbvc,可得到一个新圈,记为L‴,见图6。

图6 S存在点不属于L的示意图

根据vavbvc是最长圈这一假设,有

es4s5≥es4c+ebc+eab+eas3+es4s5>eab+ebc

(6)

但是这与vavbvc是最长P3矛盾,所以此假设不成立,故最长圈都经过S中的每一个点。

在最长圈L上取4个点分别记为vx,vy,vz,vw且vx,vy,vz,vw∈K2/S。显然这4个点与va,vb,vc∈K1无边。以vw为起点和终点,按照图7箭头指示历经vw,vy,vx,vs1,va,vb,vc,vs2,vw这些点。

图7 以vw为起点和终点的历程图

显然这是一个圈,记为C1。根据历经的路径可知,C1比最长圈C少了E(s1y)和E(s2z)但是至少多了E(ab),E(bc)及E(yz)。故有

es1y+es2z>eyz+eab+ebc

(7)

以vavbvc为起点和终点,按照图8箭头指示历经vz,vx,vw,vy,vs1,va,vb,vc,vs2,vz这些点。

图8 以vz为起点和终点的历程图

显然这也是一个圈,记为C2。根据历经的路径可知,C2比最长圈C少了E(ws2)和E(xs1),但是至少多了E(xw),E(ab)及E(bc),故有

ews2+exs1>exw+eab+ebc

(8)

将不等式(7)(8)相加,可得

exs1+eys1+ezs2+ews2>2(eab+ebc)+

eyz+exw>2(eab+ebc)

(9)

考虑P3∶vxvs1vy,P3:vzvs2vw及最长P3∶vavbvc,有

exs1+eys1≤eab+ebc

(10)

ezs2+ews2≤eab+ebc

(11)

将不等式(10)与不等式式(11)相加,可得

exs1+eys1+ezs2+ews2≤2(eab+ebc)

(12)

这与不等式(9)矛盾,所以图G的每一个最长圈一定经过vb点。

定理3假设图G中max(P3)=eab+ebc,eab≥ebc。若max(P3)∩S≠∅,vb∈S,则图G的最长圈都经过vb点。

证明:假设存在最长圈C3不经vb点,则有va∉C3。因为若va∈C3,在C3上取va的一个相邻点记为va1,则根据图9有,

eaa1≥eab+eba1

(13)

进一步有,

eaa1+eab≥2eab+eba1>2eab≥eab+ebc

(14)

这与vavbvc是最长P3矛盾,故va∉C3。

图9 vb不属于C3的示意图

若va∈K1+K2-2(K1∩K2),则最长圈一定经过va的相邻点。因为若假设存在最长圈C4不经过va的邻点,我们可在S中任意选取一点,记为vb1,显然有vb1∉C4。在最长圈C4上任意选取一个点vm及其个邻点vn,vl,那么根据图10的插法一,有

emn≥enb1+eb1a+eab+ebm

(15)

图10 插法一示意图

根据图11的插法二,有

eml≥emb1+eb1a+eab+ebl

(16)

图11 插法二示意图

将不等式(15)与(16)相加,得

emn+eml>2eab≥eab+ebc

(17)

这与vavbvc是最长P3矛盾,所以假设不成立,故最长圈一定经过va的邻点。

记vd为最长圈C3上的va的邻点,vm,vn是C3上vd的2个邻点,则根据图12的插法三,有

emd≥eda+eab+ebm

(18)

图12 插法三示意图

根据图13的插法四,有

end≥eda+eab+ebn

(19)

图13 插法四示意图

将不等式(18)与(19)相加可得:

emd+end>eab+ebc

(20)

不等式(20)与vavbvc是最长P3矛盾,所以存在最长圈不经过vb这一假设不成立,故图G的最长圈都经过vb点。

定理4若max(P3)∩S≠∅且vb∉S,但va∈S,则最长圈都经过va点。

证明:假设存在最长圈C5不经过va点,则有vb∉C5。因为若vb∈C5,在C5上取vb的一个邻点,记为vb′,则根据图14有,

ebb′≥eba+eab′

(21)

进一步有,

ebb′+eba≥2eab+eab′>2eab>eab+ebc

(22)

这与vavbvc是最长P3矛盾,所以vb∉C5。

图14 vb属于最长圈C5的示意图

若vb∉K1+K2-2(K1∩K2),则图G的最长圈一定经过vb的邻点。假设图G存在一个最长圈C6,它不经过vb的邻点。那我们在S中任取一个点,记为va′,显然有va′∉C6,在C6中任取一个点记为vg及其2个相邻点分别记为vh,vl。根据图15的插法五,有

ehg≥eha+eab+eba′+ea′g

(23)

图15 插法五示意图

根据图16的插法六,有

egl≥ega+eab+eba′+eal

(24)

将不等式(23)与(24)相加可得:

ehg+egl>2eab≥eab+ebc

(25)

图16 插法六示意图

不等式(25)与vavbvc是最长P3矛盾,所以最长圈不经过vb点这一假设不成立,故最长圈都经过vb的邻点。

记vp是在最长圈C5上的vb的邻点,vo,vq是C5上vp的2个邻点,则根据图17的插法七,有

eop≥eoa+eab+ebp

(26)

图17 插法七示意图

根据图18的插法八,有

epq≥eqa+eab+ebp

(27)

图18 插法八示意图

(28)

不等式(28)与vavbvc是最长P3矛盾,所以最长圈C5不存在vb的邻点。由此可知存在最长圈C5不经过va点这一假设不成立,即若vb∉S,va∈S时,图G的每一个最长圈都经过va点。

定理5若图G中的max(P3)=eab+ebc且eab≥ebc。当max(P3)∩S≠∅,vb∉S,va∉S时,图G的最长圈都经过vc点。

证明:假设存在最长圈C7不经过vc点,则有va,vb∉C7。因为对于点vb,若vb∈C7,在最长圈上取一个点记为x1,x1需满足x1≠a,则根据图19有,

ebx1≥ebc+ecx2>ebc

(29)

不等式(29)两边同时加上eab,有

ebx1+eab≥eab+ebc

(30)

不等式(30)与vavbvc是最长P3矛盾,所以vb∈C7这一假设不成立,故vb∉C7。

图19 最长圈C7的示意图

对于点va,若va∈C7,则可在最长圈C7上任取一个va的相邻点,记为vx2。根据图20构造一个新的路径vavbvc,有

eax2≥eab+ebc+ecx2>ebc

(31)

图20 va属于C7的示意图

不等式(31)两边同时加上eab,有

eax2+eab≥eab+ebc

(32)

不等式(32)与vavbvc是最长P3矛盾,所以vb∈C7这一假设不成立,故vb∉C7。

若va∈K1+K2-2(K1∩K2),则图G的最长圈一定经过va的邻点。假设存在最长圈C8不经过va的邻点,则可在S中任取一点记为vc′,显然有vc′∉C8vavbvc。在最长圈C8上任取一点记为vu以及其相邻点记为vv。根据图21有,

euv≥evc+ecb+eba+eac′+euc′>eab+ebc

(33)

此不等式与vavbvc是最长P3矛盾,所以最长圈不经过va的邻点这一假设不成立,故最长圈经过va的邻点。

图21 va不属于2个团的交集示意图

记vf是最长圈C7上的va的邻点,ve,vr∈C7且是vf的邻点。根据图22有,

eef≥eaf+eab+ebc+ece>eab+ebc

(34)

图22 va的邻点属于C7的示意图

所以有,

eef+erf>eef>eab+ebc

(35)

不等式(35)与vavbvc是最长P3矛盾,所以最长圈C7上不存在va的邻点,故存在最长圈不经过vc点这一假设也不成立。也就是说若va,vb∉S,vc∈S时,图G的每一个最长圈都经过vc点。

4 结论

图论中1个很重要的猜想是:2连通弦图的所有最长圈必定经过同1个顶点。文中研究了边赋权简单图(极大团不超过2个的图)的最长圈性质,证明了2连通边赋权简单图(权值为正数)所有最长圈都经过同1个顶点。后续工作将进一步研究边赋权区间图的结构性质,为最终解决该猜想提供启发和帮助。

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