基于人工神经网络的钻孔内热阻计算模型

廖 全，张大可，彭清元

(1.重庆大学 能源与动力工程学院， 重庆 400044；2.重庆市地勘局南江水文地质工程地质队， 重庆 401121)

地源热泵(ground source heat pump)是一种通过载流体在地埋管换热器内循环流动实现建筑物室内环境与地下岩土间进行能量交换的一种空气调节技术[1]。由于地埋管与钻孔壁间的热阻显著地影响着地埋管换热器的传热能力，因此如何准确获取地埋管到钻孔壁之间的热阻(Rb)对地埋管换热器的设计以及地源热泵系统的设计非常重要。目前，对地埋管到钻孔壁间热阻的计算方法主要有两种[2]：(1)解析解法，通过求解钻孔区域简化后的数学模型，获得钻孔内热阻的解析关联式[3-5]；(2)数值解法，通过对钻孔内传热过程的CFD数值模拟获得钻孔内热阻，并对不同参数条件下的热阻数据进行拟合，获得钻孔内热阻计算的函数拟合关系式[6-9]。

人工神经网络作为一种信息处理系统，它是在大量训练数据基础上自我学习并建立输入与输出数据间联系的一种网络结构。在人工神经网路中，只需给定输入和输出数据便可以迅速找出输入参数和输出变量间的对应关系，而不用关心或明确输入与输出变量间的具体函数形式。因此，人工神经网络被广泛地应用在传热过程中换热系数的预测、换热器结构优化与性能预测等方面[10-16]。

鉴于人工神经网络具有上述优点，本文提出采用BP人工神经网络来构建单U型地埋管换热器钻孔内埋管与钻孔壁间热阻的计算网络模型，并对其性能和计算精度与文献中的函数拟合公式进行对比分析。主要内容包括：① BP神经网络模型数据来源；② 人工神经网络构建方法；③ 结果分析与讨论；④ 结论。

1 神经网络模型数据来源

在地埋管换热器钻孔内的传热过程中，通常将钻孔壁面简化为一个等温面，由此获得的钻孔内传热过程的热阻网络中仅有1个管间传热热阻(R12)和2个对称的埋管至钻孔壁间的热阻(Rb1和Rb2)，钻孔内的传热过程仅仅涉及上述3个热阻，因此常称之为钻孔内的三热阻传热模型[6，8]。在埋管换热器钻孔内，由于单U上升与下降管内载流体存在温差，上下埋管分别在与钻孔壁间进行传热的同时也通过钻孔内回填料进行热量交换，导致与上下埋管靠近的钻孔壁面温度沿钻孔壁周向呈非均匀分布，因此Liao等[9]为考虑钻孔壁面温度分布的非均匀特性，将钻孔壁沿钻孔对称面一分为二，提出了钻孔内传热的四热阻传热模型，如图1所示。

图1 钻孔内传热的四热阻模型示意图

在钻孔内四热阻传热模型基础上，根据能量守恒可以得到钻孔内关于Rb(管子对钻孔壁的热阻)、R12(管子对管子热阻)、Rb12(钻孔壁间的热阻)的如下计算公式：

(1)

(2)

(3)

式中，Tb1和Tb2分别为左右钻孔壁面平均温度；Tp1和Tp2分别为上下埋管外壁面平均温度；q1和q2分别为上下埋管的传热量。

在图2所示的单U型地埋管换热器钻孔内几何结构中，引入几何结构和物性参数的无量纲参数：

(4)

式中，S为上下埋管中心距；Db为钻孔直径；Dpo为埋管外径；Kg为回填料导热系数；Ks为钻孔外的岩土导热系数。

为获得不同几何结构和物性参数条件下钻孔内Rb的值，Liao[9]等综合考虑了工程实践中埋管中心距、地埋管外径、钻孔直径、岩土和回填料导热系数等参数的取值范围，将各参数进行排列组合，得到744组具有代表性的结构，以此建立钻孔内二维传热的CFD分析模型，并对模型进行数值求解，如表1所示。

图2 单U型地埋管换热器钻孔内几何结构示意图

表1 钻孔内二维CFD模型的几何结构和物性参数范围

本文BP神经网络模型的训练数据来源于Liao等[9]对744组CFD数值分析模型求解后按照式(1)计算获得的钻孔内热阻Rb。

2 人工神经网络

2.1 BP神经网络

BP神经网络的结构如图3所示，该神经网络由输入层、隐藏层、输出层组成。层与层间进行全连接，但每一层神经元间互不连接。网络的训练由两部分构成，即：信息前向传播和误差反向传播。对于一个给定的网络，输入信息(x1、x2、x3)从输入层通过隐藏层传递到输出层产生输出信号(y)；当前向传播产生的输出与目标输出间误差不满足要求时，误差值将沿着反方向逐层传递，以此修正各层连接的权值。神经网络交替重复前向传播和误差反向传播，直到预测输出和目标输出间的误差满足要求，表明该网络已经训练完成。

第m+1层中第j个神经元的输出为：

(5)

图3 BP人工神经网络示意图

由于输入层和输出层中神经元的个数主要取决于所研究的物理问题，因此网络的性能主要由隐藏层的特性决定。由于单隐藏层的神经网络可以逼近任何闭区间内的连续函数，因此增加隐藏层的层数和节点数可以有效改善网络性能。然而，过多隐藏层和神经元数将导致网络收敛速度低、过拟合等问题；相反，隐藏层神经元数太少会导致网络容错率差，学习能力低。现阶段尚无有效的方式合理确定隐藏神经元数，单隐藏层神经元数的范围可参考如下经验公式[12]：

(6)

式中：d为单隐藏层神经元的个数；m为输入神经元的个数；n为输出神经元的个数；a为1～10之间的常数。

本文采用正交法设计含有2个隐藏层的BP神经网络。为寻找最佳的网络结构，对单隐藏层和双隐藏层的神经网络分别进行构建，隐藏层的节点数如表2所示。

表2 隐藏层神经元个数

2.2 训练算法

不同训练算法对BP神经网络的学习有较大影响，现有算法主要包括动量BP、变梯度BP、LM以及SCG算法等。文献[17]表明：从网络预测性能和收敛速度而言，LM算法都明显优于其他算法。因此，本文采用LM算法对单U型地埋管换热器钻孔内无量纲热阻2πKg·Rb进行训练。在训练BP神经网络时，达到以下任何条件训练就结束：① 迭代次数达到设定值1 000步；② 误差小于设定值1.0E-7；③ Validation Check达到设定值6次。

2.3 传递函数及误差函数

BP神经网络通常有3种传递函数，分别是tan-sig、log-sig和pure line。该神经网络对每一层神经元采用何种传递函数并没有明确规定，因此可以根据实际问题合理选用传递函数。本文采用tan-sig型传递函数，其数学模型为：

(7)

BP神经网络中常用的误差函数是均方根误差(mean square error)，网络的性能可以通过均方根误差和相关系数R2来进行评价。对于一个确定的网络而言，其MSE越小、R2越接近1，则表示该网络性能越好。MSE和R2分别定义如下：

(8)

(9)

2.4 数据处理

由于在计算钻孔内无量纲热阻(2πKg·Rb)的函数拟合公式中，主要考虑了无量纲热阻与3个无量纲参数(θ1、θ2、σ)间的关系，因此本文BP神经网络的输入层有3个神经元，分别为θ1、θ2、σ；输出层有一个神经元，即：无量纲热阻2πKg·Rb。在表3中，给出了神经网络输入和输出数据的取值范围。考虑到不同类型数据间的数值差异较大，在网络训练前对输入、目标输出数据进行线性归一化处理，使归一化后的数据在[-1，1]区间内。数据归一化的数学模型为：

(10)

式中，ymax为归一化后的最大值；ymin为归一化后的最小值；xmax为未归一化时的最大值；xmin为未归一化时的最大值。

表3 模型数据范围

为了提高神经网络的泛化能力，在训练网络之前对所有数据进行随机排序，并将排序后的数据再随机分组，将70%的数据作为训练集，用于训练网络以产生期望的输出；将15%的数据作为验证集，用于找到最佳的网络结构和训练参数；将剩余15%的数据作为测试集，用于评估所获得的神经网络。本文采用验证集和训练集的相关系数和验证集的性能作为评价BP神经网络性能的主要指标。

3 结果分析与讨论

采用不同拓扑结构BP神经网络模型的训练结果如图4所示。对每种训练的网络采用“训练函数_神经元数”的方式进行命名；对于含有2个隐藏层的神经网络采用“训练函数_第1隐藏层神经元数_第2隐藏层神经元数”的方式进行命名。

在图4(a)和图4(b)中可见：当采用单隐藏层神经网络时，随着隐藏层神经元数的增多，训练集、验证集和测试集的R2都逐渐增加，验证集的MSE逐渐降低；当隐藏层有12个神经元时，网络的性能达到最好。当采用2个隐藏层的神经网络时，随着每一个隐藏层神经元数的增加，3种数据集的R2都逐渐增加；但当隐藏层中每1层的神经元数大于5时，3种数据集的R2基本保持不变，此时训练集的R2都大于0.999 9，在LM_5_7、LM_7_5和LM_7_7时达到最高0.999 92；验证集的R2都大于0.999 86，在LM_5_7时达到最高0.999 9；测试集的R2都高于0.999 85，在LM_7_3时达到最高0.999 92。

在图4(c)中，给出了神经网络预测值经过反归一化处理后与原始无量纲热阻的相对误差(即：Min和Max)以及绝对平均误差(即：Mape)。由该图可以看出：在LM_5_7时，相对误差最大为2.30%，最小为-1.68%，平均绝对误差为0.19%。

图4 不同拓扑结构BP神经网络的性能对比分析

在表4中，给出了采用LM_5_7的BP神经网络与文献中函数拟合公式计算钻孔内无量纲热阻的最大、最小和绝对平均误差对比数据。从该表可知：采用LM_5_7的BP神经网络对无量纲热阻预测的平均绝对误差均低于Liao[9]、Hellstom[3]、Bennet[4]等的函数拟合公式。因此，本文采用LM_5_7结构的BP神经网络来预测无量纲热阻2πKg·Rb。

表4 LM_5_7 BP神经网络与函数拟合公式的对比 %

为了定量说明BP神经网络预测无量纲热阻2πKg·Rb的准确性，本文采用LM_5_7结构的BP神经网络对钻孔内无量纲热阻进行计算，并将其结果与各种函数拟合公式的计算结果进行比较，如图5所示。在图5(a)和图5(b)中，分别给出了LM_5_7神经网络与函数拟合公式计算结果随无量纲几何参数θ1和θ2的变化关系。

图5 LM_5_7的BP神经网络与函数拟合公式计算无量纲热阻2πKg·Rb的对比分析

从该图中可见：无量纲几何参数θ1对函数拟合公式计算结果的影响较参数θ2大；在θ1和θ2的变化范围内，LM_5_7神经网络计算结果与二维CFD数值分析结果几乎无差别，均显著高于函数拟合公式的计算精度。图5(c)给出了LM_5_7神经网络计算结果与函数拟合公式计算结果随无量纲物性参数σ的变化关系。从该图可知：整体而言，虽然LM_5_7神经网络的计算结果稍低于二维CFD数值分析结果，而对于函数拟合公式而言，LM_5_7神经网络的计算精度显著优于Liao[9]、Bennet[4]和Hellstom[3]的函数拟合公式。因此，本文所建立的LM_5_7神经网络具有较强的泛化能力，可以正确计算单U型地埋管换热器埋管外壁面与钻孔壁面间的无量纲热阻2πKg·Rb，相比其他函数拟合公式而言，LM_5_7神经网络具有更高的计算精度。

4 结论

采用BP人工神经网络构建了单U型地埋管换热器钻孔内无量纲热阻2πKg·Rb与无量纲参数θ1、θ2和σ间的关系。在均方根误差和相关系数统计方法的基础上，通过改变神经网络隐藏层神经元数和隐藏层的层数来寻找该问题的最优网络拓扑结构。结果显示：具有2个隐藏层的LM_5_7网络结构是钻孔内无量纲热阻计算的最优拓扑结构。在该结构下，BP神经网络具有较强的泛化能力，能够准确预测钻孔内无量纲热阻2πKg·Rb值随无量纲参数的变化，其计算精度高于现有函数拟合公式。在模型的有效数据范围内，LM_5_7 BP神经网络与二维CFD数值模型所得原始数据间的相对误差在-1.68%～2.3%，绝对平均误差仅为0.19%。