一道函数含参恒成立问题的解法

摘 要：分离参数法是解决函数恒成立问题常用的方法，通过等价的分离参数，把求参数范围问题转化为恒成立问题中的最值问题，避免了对参数的讨论，可达到化繁为简的目的.

关键词：含参不等式;分离参数;恒成立;导函数

问题：若对于总有成立，求的取值范围.

解法一

分析：（1）要使在上恒成立，只需函数在上的最小值大于等于零即可;（2）对于函数的最值问题，常见的方法有：配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、数形结合、单调性法等;（3）要注意对参数进行分类讨论.

解：函数的定义域为

1.当时，，此时在区间上单调递减，，不成立，舍去。

2.当时，.

（1）若，则在上，单调递减，此时，不成立。

（2）若，令得或.因为当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增。

①当时，，此时函数在上的最小值为，不成立;②时，，此时函数在上的最小值为。要使在上恒成立，则，解得。

综上所述，的取值范围为。

从解法一的整个解题过程中可以看出，学生主要会遇到以下一些困难：

（1）准确、不重不漏的对参数进行分类.这里除了要对参数是否为零进行讨论，还要对参数值的正负进行分别探究.最容易被忽略同时也是最难的是当参数大于零时还要结合定义域讨论方程两根的情况，整个过程需要有较强的逻辑思维能力。（2）需要对二次函数有深刻的认识和把握才能顺利完成以上过程.对于很大一部分学生来说函数问题本来就是无法逾越的一道鸿沟，更不用说是含参二次函数了。（3）带参数的计算问题对于计算能力稍弱的学生来说只能是望而却步，况且这其中还有二次根式.

基于以上三点分析，寻求更为简便解法的想法就油然而生了.跟据分离参数法的特点与优势，对本题中的参数与自变量进行分离成为了解决这个问题的最佳选择。

分离参数后的实施途径也不唯一，可以用配方法、均值不等式等.对不等式进行参数分离，然后选择利用导数研究被分离出来的解析式的单调性并取到最值，整个过程思路清晰、模式简单，能够更好的突破传统解法所面临的障碍.

下面介绍分离参数法与导数的应用解决这个例题.

解法二（分离参数法）

分析：要使在上恒成立，只需（分离参数a）在上恒成立，即大于或等于的最大值即可。

解：令（），则，令解得.

当时，时，所以时有极大值（也是最大值），又，所以的取值范围为。

可以看出，分离参数后解决本题就没有太大问题了.相比于解法一，解法二是多么干净简洁的方法啊！

含参不等式的恒成立问题，综合性比较强，涉及的知识面也比较广，如何从题干中找到突破口，往往让学生苦恼，从以上兩种解法来看，可以说分离参数法为我们打开解决此类问题的了“另一扇门”.其次也可以看出，在分离参数后的解题途径相比于配方法、基本不等式的性质等方法，导数的应用更能使分离参数法令人信赖和接受，更有效地获取最终的题解.

参考文献：

[1]刘光浩.解含参数不等式恒成立问题途径及策略[J].高考，2018，03：51.

[2]陈正刚.导数在分离参数解法中的应用[J].广西教育，2009，24：85-86.

[3]陈芳.如何实现例题教学的“有效性”——从“参数分离法”说起[J].中学数学，2013，01：6-8.

作者简介：王家见（1991.08-），男，汉族，云南省芒市人，本科学历，中央民族大学附属中学芒市实验学校教师，主要研究方向：高中数学教学。