知识生长循自然 深度学习促发展
——《直线的倾斜角与斜率》教学思考

新疆乌鲁木齐市教育研究中心 (830002) 赵爱华

夸美纽斯的《大教学论》提出教育应遵循自然规律的观点，其直指教学中要遵循自然秩序和依据学生的认知规律.也就是说通过对数学教材的选择、目标的达成、教学环节设计等措施能够准确把握教学要素、有效完成教学任务、提高课堂效率.教学设计要最大化地合乎学生的认知规律和思维特点,要符合学生原有的数学知识认知结构的自然发展过程，使数学概念的提出和解决数学问题均能自然地生成符合数学知识的逻辑思维，让学生在不自觉中完善自己的逻辑思维，完成学习任务、进行深度学习.深度学习是建立在理解基础上的一种学习，将已有的知识、经验迁移到新的问题情境中，进而帮助做出决策、解决新问题[1].深度学习能够引导学生通过深切的体验、深入的思考，促进学生主动、可持续发展的学习，达成对概念的透彻理解，有效克服数学浅层次的学习，促进数学核心素养的发展.

1 案例分析

众所周知，直线的性质相对于其它曲线要简单，直线的倾斜角与斜率在现行教材的解析几何内容中，是运用“代数方法研究几何问题”的开山之作.我们尝试借助坐标把直线(几何)问题转化为方程(代数)问题，进而通过方程(代数)运算研究直线(几何)的性质[2].学生初中学习过一次函数，画过具体的一次函数图象.本节课首先要了解直线方程的概念，重难点在理解倾斜角的定义及斜率的定义，领悟直线上任意两点的坐标、直线的倾斜角、直线的斜率两者之间的关系.根据学生的已有经验，可尝试将斜率的定义环节和已知两点求直线斜率环节进行整合.从知识呈现自然的角度看，初中阶段一次函数的图像,学生知道其代表一条直线，知b是直线与y轴交点的纵坐标，其中k的几何含义是什么，学生并不是非常清楚，若b不变k变化时，直线可以看成是绕着点(0,b)旋转，有些同学就会发现k是表示倾斜程度的量.于是在这里，可以让学生求一下直线y=kx+b的k，从而建立与倾斜角之间的关系引出斜率和斜率公式.从问题自然产生来看，直线上的一点以及它的倾斜角可以确定一条直线，两点也可以确定直线，要探究的问题即为：直线上任意两点的坐标与直线的倾斜角α有几何关系.从方法形成自然来看，已知直线上一点和直线斜率如何画直线，这样可以实现初高中的无缝衔接，能把初高中相关知识整合在一起，构建全新的、一致的知识网络，深化直线知识的理解.

1.1 直线方程概念的初步了解

先出示x-y-2=0，然后分步提问：(1)这个等式叫什么？(2)这个方程的解有多少组并说明为什么是方程的解；(3)方程x-y-2=0所有的解在几何上表示什么(几何意义)？ (4)反过来这条直线上任意一点满足方程x-y-2=0吗？笔者借助GeoGebra平台，让学生观察直线上任意一点坐标，计算后发现满足方程x-y-2=0，由此指出(直线的)方程x-y-2=0与(方程的)直线x-y-2=0的一一对应关系.接下来分别出示初中不研究的x-1=0,y-1=0加以强调说明.在此基础上，归纳出直线方程的概念.让学生对直线方程有初步的了解.接着，就介绍解析几何创始人笛卡尔解决问题的理论设想：将任何问题归纳转化为数学问题，继而归纳转化为代数问题，最终通过解决方程问题来求解，这一设想虽未能实现，但笛卡尔成功创立了解析几何，实现了将几何问题转化为代数问题，即在平面直角坐标系中，把点用坐标(x,y)表示，把曲线上动点横、纵坐标x,y之间的相互依存、相互制约的关系用方程f(x,y)表示，然后通过研究方程来研究曲线.因为直线是最简单的曲线我们从研究直线开始[3].从而引出课题“直线的倾斜角与斜率”.

意图：从学生熟悉的一次方程出发，从方程解的几何意义与一次函数的关系等全新的思考角度，最大化激发了学生的好奇心.作为解析几何的起始课，抓住“了解”这一契机,能舍得时间在直线方程的概念和数学史的相关内容上，将数学文化的理性和创新精神融入其中，为后面学习圆锥曲线方程的概念打下一定的基础，也符合现行单元设计理念.学生借助笛卡尔坐标这个桥梁，在初中学习函数图像的基础上，对“数”与“形”的联系有了进一步地认识.

1.2 运用角定义倾斜过程

问题1 人教A版必修2第82页的思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？(1)过两点能确定吗？(2)过一点+倾斜程度(方向)能确定吗？(3)如果直线过一已知点，这些直线的倾斜程度各不相同，如何刻画直线倾斜程度？追问对于一条直线而言，哪些角可以刻画直线的倾斜程度？ (4)如何给选定的角命名？如何用文字语言描述你所选定的角？(5)特殊的直线(不与x轴相交)倾斜程度的角如何规定？(6)刻画直线倾斜程度的角的范围如何规定？

意图：从倾斜角定义过程来看，知识的呈现是自然的，丝毫没有强加给学生.通过对问题串的分析，导出“确定直线倾斜程度的问题”，直接明确本节课的学习方向.其余问题来源于倾斜角定义中所有规定的内容，需要学生决策，具有一定的挑战性，其中师生、生生讨论的内容，已经选择性地在合理的范围内高度融合了知识生成过程，又将其巧妙地规定在学生的能力范围之内，使学生积极投入到学习中.让师生不仅在共同经历了倾斜角诞生的全过程中凸显了知识生成过程的选择性，更对定义的合理性有了较深认识，深度学习也就自然发生，学生的思维不会停留在浅层次的，进而得到深层次锻炼.

1.3 运用两点定义斜率过程

部分教师依照人教A版必修2第83页的思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量，随后这样表述如果我们使用倾斜角这个概念，那么这里“坡度”实际就是倾斜角α的正切，我们把一条直线的倾斜角α的正切叫做这个直线的斜率，类比“坡度”直接引出“斜率”,然笔者认为这值得深思.“坡度”是学生在学习九年级下册“解直角三角形”一章时，解决具有实际背景一道习题时所涉及的一个概念，教材直接定义式给出，并未给出进一步说明.笔者曾与部分初中数学教师沟通“坡度”问题时，大多均表示仅就题而简单介绍一下“坡度”概念，更多地把视角集中在直角三角形相关性质的研究中，几乎花过多的时间让学生做更深层次的思考.比如，对于为什么“坡度”是用“上升高度”与“前进宽度”的比，而不用“上升高度”与“斜面长度”的比表示，这样的问题教师基本不会有时间让面临中考的九年级学生进行深入探究.“坡度”概念学生充其量只知其“表”不知其 “本”，若将“坡度”迁移到新概念(斜率)，其实对“斜率”的理解，还是困难的，也稍显得不自然，并且，“坡度”解释“斜率”定义的合理性只能局限在倾斜角为锐角的时候.笔者建议引入“斜率”概念后，可以回顾“坡度”定义解释其合理性，值得一提的是新教材也大致是这种处理方式.

问题2 初中阶段学习过一次函数的图象，知道其代表一条直线，两点可以确定直线或者一点+倾斜程度(方向)确定直线，其中b是直线与y轴交点的纵坐标，(1)当b不变k变化时，直线可以绕着定点(0,b)旋转，k有什么几何含义?(2)那么k是不是可以刻画直线的倾斜程度呢？与我们刚学习的直线倾斜角有什么联系？(3)我们知两点确定一条直线，直线确定其倾斜角就确定了，若直线过点(1,0)和点(2,1)，求直线y=kx+b中的k是多少？(4)若直线的上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2)与直线y=kx+b中的k有什么关联呢？(5)与直线的倾斜角α有何联系呢？

意图：问题2直接抓住学生最近发展区，从知识的联系中、问题的解决过程中使斜率的定义自然出现.把直线斜率的定义过程与探索“直线上任意两点的坐标”与“直线的倾斜角α的关系过程融为一体”，让斜率的坐标计算公式成为这个过程的一个自然结果，并且将特殊问题一般化，在寻找直线上“任意两点的坐标”与“倾斜角”的数量关系的过程中发现变化中的不变量(tanα),自然引入斜率的概念，让深度学习自然发生，将学生始终置与学习的主体地位，充分调动自身固有经验进行自主地知识迁移，经历概念从不严谨到严谨的形成过程，培养且发展了抽象概括、符号表达、分类讨论、数形结合、推理论证等能力.

问题3 已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直线AB、BC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

变式把问题3中的B点坐标改为(3,1)、(a,b)，此时直线AB的斜率和倾斜角是什么角？

意图：由点求斜率，让学生进一步两点求直线斜率和厘清直线斜率与倾斜角之间的关系，“形”与“数”的关系加深对直线倾斜角、斜率和斜率公式应用和理解.通过变式渗透分类讨论的思想.

2 反思与提升

在直线倾斜角与斜率的课后学生访谈中，学生对能用直线上任两点的坐标刻画倾斜程度，表现出很强的成就感和自信感，从课堂教学的立意看，我们实现了引言中，“把几何问题代数化，用坐标表示点，用方程表示曲线”的这一深远着眼点，也实现单元教学.从课堂教学的主干看，对主体概念可谓不惜着墨、反复实践，从具体到抽象，让学生的认知经验与所学新知不脱节，知识的生成过程从初中所学习一次函数中的含义到倾斜角的正切其表达无跳跃，进一步体会知识生成的自然和概念的深度学习，充分体现“坐标法”将几何问题转化为代数问题.结尾时用四句话总结一节课所学习知识：确定直线需方向，倾角斜率变化强，正切图像心中有，数形结合更飞扬.以此增强课堂趣味性，让数学变得更具诗意性.

教材是教学内容的载体和蓝本，教师需要在理解教材、理解学生的基础上，明确用什么教及教什么.更要通读教材及教学大纲，把握好数学教学内容的整体性和联系性，才能在教学素材中不断提炼数学教学内容和教学目标，反复在课堂中尝试打磨反思，进而做大胆尝试去甄别最优教学素材，或者因地制宜地适当改造教学素材,在不改变教学素材背景的前提下变换其蕴含的内容与思想，节省学生熟悉教学素材的时间.教师需要特别注重每个教学环节之间的过渡，使由多个环节组成的课堂，达到最大化简约原则，真正做到源于教材而又不拘于教材，这样的课堂深度学习才会发生，使数学知识从表层走向深刻，从零散走向系统，高效完成课堂教学内容，回归教学本质.在此过程中也使学生能够进行有步骤的高阶思维，理解学科本质和知识意义，达成核心素养的培养与发展.