基于能量的振型优化减振分析方法

彭子祥 焦 柯

（广东省建筑设计研究院有限公司，广州510010）

0 引 言

随着我国城市化进程的发展，给建筑结构提出了更高的要求，当前城市建筑体系更加多样，构造更加复杂，外形更加美观，也因此涌现了大量的超高层、大跨度结构，其中不乏各城市的地标建筑。与此同时，这也给结构工程师带来了极大的考验，复杂的结构体系无疑将加大结构设计的难度，尤其是结构的抗震问题很多情况都是控制结构设计的关键因素。而保证结构在满足规范设计要求的前提下，改善经济成本效益，便是优化需要解决的问题。目前以BESO［1］双向渐进法为思想开发的结构拓扑优化软件可在仅确定结构荷载作用及其大体尺寸的条件下，通过迭代在方案阶段搜寻受力传力效率最高的结构形式、体系及尺寸，但这种方式出来的方案通常不能直接用于设计，模型还需进一步处理简化；而在给定的结构体系和布置下，例如 Optistruct［2］、GSOPT［3］可完成构件敏感性分析优化，但其优化算法通常需要经过多次迭代，对计算机资源及性能有一定要求，实际结构工程应用较少。

而本文所提出的优化方法，旨在从能量的角度引导工程师对结构动力特性进行深入认识，理解结构受力传力规律，有针对性地进行优化调整。以结构抗震为例，高层建筑的地震响应通常会由多阶振型控制，起控制作用的可能会是某一高阶振型，本文提出的基于能量的振型优化方法，可针对某一特定振型进行优化调整，找出对该阶振型振动影响最为敏感的构件，以实现用最小的代价将该阶振动频率调整至最优值，改善结构的振动问题，达到高效的减震效果。

1 基本原理

1.1 多自由度体系振型叠加法原理

有阻尼多自由度体系的运动方程［4-5］

假设体系的振型和自振频率已预先求得，将位移向量用振型展开：

进而推得：

分别为第n阶振型的广义（振型）质量、广义（振型）阻尼、广义（振型）刚度和广义（振型）荷载。

式（6）可看作单自由度体系运动方程，因此Mn和Kn的有如下关系：

将式（18）方程两边同时除以Mn

便得到了等效单自由度体系的强迫振动方程，可用 Duhamel 积分、Fourier 变换等求得qn（t）后，用将N个振型反应叠加即可得到多自由度体系在任一时刻的位移。

1.2 基于能量的振型优化算法

由上节推导可知，结构的动力响应可以拆分成多个等效单自由度体系的振动再叠加而成，因此，如若能找到控制结构响应的某一阶或几阶振型，并通过一定方式降低该阶振型的峰值响应（如峰值加速度），便能快速减小结构总体响应。对于给定的地震激励，可计算得到其对应的反应谱，找到各阶振型对应的加速度峰值，从而确定对结构动力响应影响较大的振型。而本文提出的优化算法，便是通过快速调整控制结构振动的某一阶或几阶振型的周期频率从而快速高效达到减振效果。从式（6）可知，等效单自由度体系振动频率主要由广义振型质量Mn和广义振型刚度Kn决定，当对振型进行正则化后，广义振型质量Mn=1，且当一个建筑结构的设计方案大体确定后，其自重及附加恒载也基本可以随之确定，整体没有很大的变化，因而对于某一阶振型的广义质量Mn而言，其可调节的空间有限，由此可以得出结构在某阶振型的广义刚度Kn基本决定了该阶振型的振动频率。回到式（5），若两边同时乘以一微小量δn，将变为

式中，带横线上标的内力项为结构在强制节点变形为{φ}n所引起的，不带横线上标的内力为结构在节点外力为[K]{φ}n作用下所引起的，n为单元数，m为节点数，Fi代表单元杆端力，di为杆端位移，下标start 与end 分别代表单元的两端节点，图1 给出了单元杆端力和杆端位移的方向示意，Ni、Vi、Mi、Ti分别代表单元内任一点轴力、剪力、弯矩和扭矩，Fk代表节点外力，dk为第k个节点位移，图2给出了节点外力和节点位移的方向示意。

图1 单元杆端力和杆端位移示意图Fig.1 Schematic of element end force and element end displacement

图2 节点外力和节点位移示意图Fig.2 Schematic of node external force and node displacement

式（12）不仅适用于单元层次，亦适用于整体结构求解，由此可以看出每个构件的剪切、弯曲和扭转刚度等贡献都可以独立表达，结构总外力虚功是由结构所有构件的虚功所叠加而成。

其中，Esi为结构在节点外力为[K]{φ}n作用时第i个单元的应变能，由此可以看到结构在某阶振型下的广义刚度进一步演变为结构所有构件应变能之和的2 倍，构件的应变能占比越大，则对结构的贡献越大，说明该构件对结构的广义振型刚度Kn影响越大，因此调整此构件的参数对结构在该阶的振动特性的影响最为显著，这也是本文所提出优化方法的核心思想，并基于该思路，采用结构有限元分析软件SAP2000和ETABS开放的API接口编制了结构振型优化分析软件（图3）。而计算构件的应变能，若采用式（13）中间部分的截面内力沿长度积分将涉及到较为复杂的数值计算，因此编制的程序采用上述表达式第三部分将构件的应变能最终映射到单元两端节点，通过对各单元的杆端力与节点位移相乘后进行叠加而成。需要在有限元分析软件中建立一个以某一阶振型形状{φ}n为节点强制位移的分析工况，求得各单元的杆端力，进而计算得到各构件的应变能，量化各构件对广义刚度Kn的贡献度，其中最为敏感的构件便是可以在优化中重点关注和调整的构件。下文将通过某一螺旋钢楼梯的优化案例来验证该方法的可行性及其应用优势。

图3 结构振型优化分析软件操作界面Fig.3 Operation interface of structural dynamic modal optimization software

2 实际案例优化分析

2.1 工程背景

本工程为某商业建筑大厅用楼梯，建筑美观要求较高，因而对于楼梯构造要求尽可能做到简洁开敞，楼梯主体结构布置如图4 所示，内部主要受力构件材料采用Q235钢材，外部装饰采用大理石瓷砖。

图4 优化前楼梯主体结构示意图Fig.4 Schematic of main structure before optimization

2.2 优化前楼梯主要构件尺寸

表1列出了楼梯主要构件的截面尺寸。

表1 楼梯主要构件的截面尺寸表Table 1 Section detail table of main components of the stairs

2.3 动力特性分析

对楼梯进行特征值分析，计算了楼梯的前10阶振型，每阶振型的周期、频率以及三个平动方向的振型参与质量如表2所示。

表2 楼梯前10阶振型信息汇总表Table 2 Summary table of the top 10 vibration mode information of the stairs

由表2 可以看出，结构第一阶振型的周期为0.70 s，依据经验可判断结构刚度偏弱，将会导致人员在楼梯行走时能感受到明显振动，且第一阶振型的结构竖向参与质量达到60%，可确定该振型为控制结构竖向振动响应的主要振型，因此将重点研究优化该阶振型的特性，图5 为结构第一阶振型的形态，变形以竖向振动为主。

图5 结构第一阶振型变形Fig.5 First-order mode deformation of structure

2.4 楼梯优化方案

从结构的动力方程可知，结构的振动特性主要由质量和刚度控制，加大结构的刚度主要有以下两种方法：①添加额外的约束；②增加构件的刚度。由于该楼梯处于酒店大堂里，对视觉效果要求较高，若增加额外的约束，比如增设支撑柱，则会影响到整体的空间美观，因此本文拟考虑第二种途径来解决楼梯的振动问题。增加构件的刚度，最为直观的便是加大截面的尺寸，但截面尺寸的增加也将带来结构自重的增大，最终对结构刚度的影响未必是有利的。本文采用了基于能量的振型优化方法，通过增大对结构振动影响较大的构件截面，减小对结构振动影响较小的构件截面，实现用最经济的途径达到最佳的的优化效果，改善结构的振动特性。采用自行开发的优化软件对该模型进行分析后得到了如下结果，图6 列出了楼梯各构件对第一阶振型的敏感程度（或贡献度），右侧图例中的颜色从浅色到深色分别代表了左侧相应颜色构件的贡献度从小到大的分布，图中黑色构件为对该阶振型贡献最大的构件，说明变动该构件的截面尺寸对该阶振型的周期带来的影响最为显著，最终根据计算确定了6 根需要优化的杆件，其余杆件仍保持原截面，如图7 所示，给出了此次优化构件的空间定位并用引线加以标注了优化后采用的截面尺寸情况。

图6 各构件对第一阶振型敏感度（贡献度）分布Fig.6 The sensitivity（contribution）distribution of each component to the first-order mode

图7 优化后楼梯主体结构示意图Fig.7 Schematic of main structure after optimization

对优化后的模型进行特征值分析，提取了结构前10阶的计算结果，如表3所示。

表3 优化后楼梯前10阶振型信息汇总表Table 3 Summary table of the top 10 vibration mode information of the stairs after optimization

由表3 计算结果可知，优化后的楼梯第一阶振型的周期为0.53 s，相比于优化前的0.70 s，仅有针对性地加大了其中6 根杆件的截面，将结构的基本周期降低了25%，取得了显著的优化效果，结构的动力特性有明显改善。下一节将进一步证实对比优化前后结构的动态响应。

2.5 外部激励的动态响应对比

为了进一步证实对比优化前后的动力特性，采用模拟人跳动的脉冲荷载激励在楼梯悬臂最大位置处，计算两个模型全过程动态响应，捕捉获取该点处的最大加速度及振幅，以此作为评价优化效果的一种指标。如图8 所示的脉冲荷载模拟了体重为62.5 kg的成人在楼梯上跳动的过程。

图8 竖向脉冲荷载时程曲线Fig.8 Time history curve of vertical impulse load

经计算，提取了结构优化前后模型激励点处的加速度和位移时程曲线，分别如图9 和图10所示。

图9 优化前后加载点加速度时程曲线对比Fig.9 Comparison of acceleration time history of loading point before and after optimization

图10 优化前后加载点竖向位移时程曲线对比Fig.10 Comparison of vertical displacement time history of loading point before and after optimization

经对比可知，结构优化后，加载点的峰值加速度由21.18 mm/s2降为11.46 mm/s2，降幅46%，最大位移由0.64 mm 降为0.29 mm，降幅55%，两项指标优化效果较为明显，结构振动问题有很大程度改善。通过分析螺旋钢梯的特点，可以看出楼梯内圈主梁对结构竖向振动起着关键作用，因此仅通过调整内圈几根主梁截面，就能对结构的动力特性有很大影响，该方法既能保证建筑美观，又不增加过多的工程量，是可参考的方案之一。

3 结 论

本文提出的基于能量的振型优化方法在计算上具有较高的效率，可快速确定控制结构振动的关键构件，有针对性地改善结构的振动问题，高效对结构动力特性进行优化，适用于各种类型的力学结构，尤其是大型超高层建筑结构的优化设计优势更为明显，不必多次迭代计算。

对于超高层建筑，设计中需要更多关注高阶振型在地震激励下的响应，有意识地对其振型进行控制和优化，而该方法可进一步引导工程师理解结构体系的受力特点，进行减震优化提供思路。此外，振型优化对于大型复杂结构具有重要作用：

（1）迅速定位和识别有效构件，改善结构刚度，提高材料受力传力效率，文中以螺旋楼梯为例，通过该方法快速确定了内圈主梁的部分构件是控制结构竖向振动的关键构件并有针对性进行加强，取得了良好的减振效果；

（2）可有效快速调节结构的动力特性避开敏感周期，最大程度避免共振效应的产生。

（3）可以最小的代价调整结构的扭转周期以满足规范要求；

（4）有意识地提高高阶振型的地震剪力贡献以满足规范对于结构地震总剪力的要求；

（5）对于有多个加速度峰值的天然地震波谱，控制大震作用下结构损伤后的振型周期避开反应谱波峰。