广义（2+1）维破裂孤子方程的非局域对称、多孤子解和孤子分子

张锦榕，孙书敏，费金喜，吴慧伶

（丽水学院工学院，浙江丽水 323000）

0 引言

广义破裂孤子方程

其中，a，b，c，d和e是任意常数。方程（1）用来描述沿y-轴方向传播的Riemann波和沿x-轴方向传播的长波之间的相互作用。

方程（1）包含着多个非线性物理模型。例如，如果u=wx，v=wy，b=1，a=c=0，d=-4，e=-2，则方程（1）转换成由Calogero和Degasperis提出的破裂孤子方程[1]

特别地，如果u=wx，v=wy，a=c=0，b=1，d=e=4，方程（1）简化为另一破裂孤子方程[2]

对于方程（2）和（3）已经得到许多精确解[3-6]。

如果c=6a，d=e=4b，方程（1）约化为Bogoyavlensky-Konoplechenko方程[7-9]

本文安排如下：第一节中，由方程（5）的Lax对，得到非局域对称和有限变换定理。第二节中，通过延拓系统推导出n次有限变换定理。第三节中，利用n次有限变换定理得到多孤子解和孤子分子。最后进行总结和讨论。

1 广义破裂孤子方程（5）的非局域对称和它的有限变换定理

方程（5）的Lax对为

在相容性条件下（ψxxt=ψtxx），给出方程（5）。

设u、v的对称分别为uσ、vσ，则方程（5）的线性化方程为

利用式（5）（6）（7），可以证明

为方程（8）的解，并且为非局域对称。为了将非局域对称局域到李点对称，设ψ的对称为σψ，σψ满足式（6）（7）的线性化方程：

把式（9）代入式（10）并利用式（6），得到

为了消除式（12）中的积分，引入新的函数f=f（x，y，t），f满足

因而得到

方程（13）的线性化方程为

方程（15）中σf为f的对称。将式（14）代入方程（15），并利用式（13），得到

将式（6）（14）和（16）代入式（11）有

方程（18）的线性化方程为

至此，由式（5）（6）（7）（13）和（18）组成的延拓系统，将非局域对称式（9）局域到李点对称。这一延拓系统的对称为

相应的李点对称矢量场

利用初值条件

解方程（23），得到延拓系统的有限变换定理：

2 广义破裂孤子方程（5）的n次有限变换定理

由于非局域对称式（6）中的谱参数λ是任意的，因此能够获得无穷多个非局域对称

ψi（i=1，2，3，…，n）是Lax对式（6）（7）中不同谱参数λi≠λj（i≠j）的谱函数。

更进一步，通过引入一个延拓系统：

则非局域对称（25）变成局域的李点对称

证明 延拓系统的线性化方程为

为了不失一般性，固定ci≠0，且ck=0（k≠i），则

是方程（28.1）和（28.2）的已知解。首先对i=j，把式（29）代入式（28.3）有

通过式（26.2）消除式（30）中的u，并利用式（26.4）和（26.5），容易验证

是式（28.3）～（28.6）的解。其次对i≠j，（28.3）变成

不难验证

是式（32）的解。同理可求得

综合式（29）（31）（33）和（34）证明了式（27）是延拓系统线性化方程（28）的一个解。

考虑延拓系统（27）的初值问题：

通过解初值问题（35）获得有限变换定理。

其中Δ，Δi，Γi分别是由矩阵定义的行列式，即

cn为任意常数，ε为群参数。

3 广义破裂孤子方程（5）的孤子分子

由于有限变换定理与第二类达布变换等价，因此，可以从有限变换定理获得多孤子解。设方程（5）的平凡解为u=u0，v=0，u0为任意常数。从式（26.2）～（26.4），发现ψi，fi有一个特殊解

式中，

且谱参数λi满足

ki，pi，ηi（i=1，2，…，n）为任意常数。

当n=1时，得到方程（5）的单孤子解

当n=2时，得到方程（5）的双孤子解

其中，Δ2根据(37)由式（44）确定

若式（40）中的色散关系满足

可得到孤子的速度共振结构，即孤子分子。将式（40）代入式（45）得到

选取参数

由式（43）和式（46）获得双孤子形成的孤子分子，如图1所示。同理，对三孤子形成的孤子分子，如图2所示，选取的参数为式（47）和k3=1。对四孤子形成的孤子分子，如图3所示，选取的参数为式（47）、k3=1和。图1～图3显示了孤子之间的间距在不同的时刻始终保持不变。

图1 双孤子形成的孤子分子

图2 三孤子形成的孤子分子

图3 四孤子形成的孤子分子

4 总结和讨论

非局域对称是非线性物理中的一个重要课题。非局域对称局域到李点对称是求解多孤子解的有效方法。有待于将这种方法推广到其他的非线性物理系统。