高中生数学基本活动经验与数学建模核心素养的关系研究

唐费颖

(上海市民星中学 200438)

1 问题提出

党的十九大报告指出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人.”[1]为将立德树人根本任务落到实处，教育部组织研究提出学生发展核心素养体系和学业质量标准，修订课程方案和课程标准.《普通高中数学课程标准(2017年版)》将数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[2]列为数学学科核心素养，并将数学建模活动与数学探究活动与函数、几何与代数、概率与统计并列为高中数学课程内容的四条主线，贯穿必修、选择性必修和选修课程.[3]

上海市新编的《普通高中教科书·数学》(主编：李大潜、王建磐，上海教育出版社)将数学建模单列——必修第四册、选择性必修第三册——供各个年级灵活选择性使用，以期通过建模情景及案例等数学学习活动，让学生在学习和应用数学知识的过程中发展数学建模核心素养.教材主编之一的复旦大学李大潜院士指出：“数学建模.这是中学教材中的一个全新事物.它重点不在知识的传授，而在实践、体验与感悟.”[4]

《普通高中数学课程标准(2017年版)》课程目标中指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).[5]“四基”之一的基本活动经验，是指学生通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验.这里有两个关键词体现了其核心要义：一是“活动”，一是“亲身经历”.[6]

数学建模是基于学生的经验，密切联系学生自身生活和学习实际，体现对数学知识的综合应用的实践性课程，它比其他任何数学课程都更强调学生对实际活动过程的亲历和体验.而传统的数学教育历来重视“双基”——基础知识、基本技能，且有关数学基本活动经验与数学建模核心素养养成的实证研究以及应该如何开展数学基本活动的研究成果少之又少，本研究试图从实证的角度，完善一套数学基本活动经验的评价标准，并以案例校学生为例，揭示基于这一标准下的数学基本活动经验与数学建模学业成绩的关系，为数学教师引导与案例校相似水平学生开展数学建模活动提供实证依据.

2 研究对象与研究方法

2.1 研究对象

本调查以上海市民星中学2018级(2020年高中毕业)高三年级中的78名学生作为被试，被试学生高中三年均在案例校就读且都参加了2019—2020学年由上海市杨浦区教育学院组织的基础考、一模考、二模考，他们的平时数学课堂活动数据齐全且研究中需用到的三次区统考数学建模部分成绩有信度和效度保证.上海市民星中学创建于1995年，是一所坐落于杨浦区中原地区的公立普通高级中学，现有高一高二高三三个年级，每个年级4个班.近年来，学校确立“向美而行，以美育人”的核心办学理念，师生共同践行“自强不息，超越自我”的学校精神内核，研究教学、发愤图强.

2.2 研究方法

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.[7]为使对学生高中阶段数学建模核心素养的评价更具信度、效度，本研究以被试学生高三阶段参加区统一命题阅卷的数学基础考、一模考、二模考中的实际应用题得分为依据，三次测试实际应用题分值均为14分，折合成百分制后再取平均值，作为该生数学建模核心素养折合分.数学基本活动经验的衡量分为两部分，即被试学生的“活动经历与体验”与“活动结果与收获”共同构成基本活动经验综合分.

本研究把数学建模核心素养折合分、基本活动经验综合分分别作为因变量(Y)和自变量(X)，利用SPSSAU(SPSS在线分析)“相关分析”和“回归分析”功能发现它们之间的关系、建立回归方程，揭示基本活动经验对数学建模核心素养的作用规律.本研究还在专家咨询的基础上进行“AHP层次分析”，确定基本活动经验一级指标及二级指标的权重，与“回归分析”的结果相比较，分析原因、总结规律，为开展好数学建模活动提供新鲜有效的经验.

3 建立指标体系与收集数据

3.1 用指标与建立体系

阅读相关文献后，结合案例校学生数学活动开展情况，建立了高中数学基本活动经验指标体系，分为活动经历与体验、活动结果与收获两个一级指标.前者是对学生参与数学活动的过程性评价，包括辨识、调用、反思、聚合4个二级指标，数据来源于任课教师评价；后者是对学生积累活动经验的结果性评价，归纳为概念与命题、思想与方法、价值与精神3个二级指标[9]，数据来源于学生的测评问卷.

3.1.1 基本活动经验的活动经历与体验指标

(1)辨识.准确辨析和识别数学问题中所包含的数学概念、规则或方法并合理再现；准确理解问题的条件和假设；将简单的真实情境转化为数学问题并准确加以表征或陈述.

(2)调用.准确运用数学概念、事实、原理、性质或方法等有序开展推理或运算，形成解决常规问题的模型，并获得数学结论的过程；从图表中提取数学信息，进行数据分析.

(3)反思.对数学问题的解答过程和结论加以检验、判定和评价，建立知识之间的联系；将基于真实情境的问题的解答和结论回到问题情境中进行阐释或明确其在问题情境中的实际意义.

(4)聚合.在解决新情境问题时，综合地经历以下过程：能学习、辨识数学知识或提炼数学问题并合理运用数学语言加以表述；在问题情境或限制条件约束的基础上拟定方案，灵活运用策略、数据、模型及相关的数学技能、思想方法，或者创新地设计或运用新方法获得结论；能评判结论的正确性、合理性或解释结论的局限性等.[9]

3.1.2 基本活动经验的活动结果与收获指标

(1)概念与命题.主要从活动过程中在数与运算、方程与代数、图形与几何、函数与分析、数据整理与统计概率这些方面所形成的知识与技能的角度评价.

(2)思想与方法.主要从活动过程中形成的集合思想、对应思想、算法思想、概率思想、统计思想、化归思想、数形结合、分类讨论、分解与组合等数学基本思想以及坐标法、参数法、逻辑划分与等价转换等数学基本方法角度评价.[10]

(3)价值与精神.主要从活动过程中形成的创新意识、科学精神，对数学文化的了解以及积极参与到解决数学问题的活动中去的角度评价.

3.2 确定指标权重

本研究在确定基本活动经验指标权重时，把它表示为有序的递阶层次结构，通过专家咨询，确定指标权重.研究过程中共咨询了6位专家，包括中学正高级教师1名、中学高级教师2名、中学一级教师3名，专家各自对指标间的重要性进行排序，得出均值后利用SPSSAU“AHP层次分析”功能，得出各指标权重(表1).

表1 基本活动经验评价指标体系与权重

3.3 制定评价标准及开发评价工具

本研究以专家咨询结果及文献资料并结合实际情况，明确了活动经历与体验的4个二级指标的评价标准(表2)，并开发了活动收获与结果的3个二级指标的测评问卷.

表2 基本活动经验的活动经历与体验评价标准

续表

3.3.1 基本活动经验的活动经历与体验评价标准

3.3.2 基本活动经验的活动结果与收获水平测评工具

活动经历与体验是对学生活动过程的主观评价，而活动结果与收获是活动后的内化、转化、升华，通过测评问卷的形式来获取数据.测量工具以与高中数学内容相关的单选题(4选1)形式出现，20题，满分100分；回答正确得5分，回答错误得0分；测题在课堂上作为数学练习要求学生在40分钟内完成.使用SPSSAU对测题进行了信度分析，克朗巴哈系数(Cronbachα系数)为0.847，表明该测试有非常好的信度.

表3 基本活动经验的活动收获与结果各指标测题

3.4 采集数据

2020年6月，从案例校教务处获取被试的78名学生数学参加区基础考、一模考、二模考成绩，三次考试满分均为150分，基础考第18题、一模二模第19题均为实际应用题，分值14分，将每位学生该题的得分*100/14,取三次的平均值作为该生数学建模核心素养折合分.同时，数学任课教师对学生高中三年数学活动经历与体验评分，评分信度为0.767，信度质量良好.当月，对案例校学生进行活动收获和结果指标的测评问卷，被试学生的问卷均收回且有效.取每位学生活动经历与体验与活动收获和结果的算术平均数作为该生的数学基本活动经验综合分，与学生的数学建模核心素养折合分进行相关分析，同时将数学建模核心素养折合分与二级指标进一步细化分析.利用Excel公式求平均值、标准差、最大值、最小值功能，案例校数学基本活动经验综合分平均分为61.59，其中活动经历与体验平均分56.51，活动收获与结果平均分64.63；数学建模核心素养折合分平均分37.07.各指标中，“概念与命题”均分得分相对较高、标准差相对较小，分别为84.29、18.83；“聚合”均分最低，为51.7.

表4 案例校数学基本活动经验测评数据描述统计

4 调研结果

4.1 数学基本活动经验与数学建模核心素养的相关分析

使用皮尔逊相关法研究数学基本活动经验综合分与数学建模核心素养折合分之间的相关关系.数学基本活动经验综合分与数学建模核心素养折合分之间的相关系数为0.955，并且呈现出0.01水平的显著性，说明数学基本活动经验与数学建模核心素养之间有着显著的正相关关系.

4.2 数学基本活动经验与数学建模核心素养的回归分析

以数学基本活动经验综合分为自变量、数学建模核心素养折合分为因变量作散点图，从散点图可以看出数学基本活动经验综合分越高、数学建模核心素养折合分越高，而且两变量间呈现非常明显的线性关系.

图1 数学基本活动经验综合分和数学建模核心素养折合分的关系拟合曲线

AVOVA表显示F值为786.241，P值为0.000，小于0.01，说明该模型是有统计意义的.模型的决定系数R2为0.912，调整后的决定系数为0.911，决定系数的取值接近1，可以认为该模型解释效果好.

系数表给出了回归方程中的常数项、回归系数估计值和检验结果.由此写出回归方程：数学建模核心素养折合分=-42.127+1.286*数学基本活动经验综合分

分析结果说明，数学基本活动经验综合分可以解释数学建模核心素养折合分91.2%的变化原因.数学基本活动经验综合分每增加1分，数学建模核心素养折合分可提高1.286分.

4.3 各指标对数学建模核心素养影响的强度分析

4.3.1 一级指标对数学建模核心素养影响的强度分析

利用SPSSAU多元线性回归功能确定数学活动经历与体验、数学活动收获与结果两个一级指标对数学建模核心素养的作用强度，回归参数如下.

表5 活动经历与体验、活动收获与结果与数学建模核心素养的多元线性回归分析参数

标准化系数说明，活动经历与体验比活动收获与结果对数学建模核心素养的影响强度更大，前者的作用强度约为后者的4.3倍.在活动收获与结果保持不变的前提下，活动经历与体验每提高1分，数学建模核心素养提高1.055分；在活动经历与体验不变的前提下，活动收获与结果每提高1分，数学建模核心素养提高0.242分.因此，通过学生亲身经历、亲自感悟获得的活动经历与体验比直接从书本、从教师那获得结论更重要，专家咨询的结论亦是如此.

4.3.2 各二级指标对数学建模核心素养影响的强度分析

以活动经历与体验的4个二级指标为自变量，以数学建模核心素养折合分为因变量，利用SPSSAU进行多元线性回归分析，研究4个二级指标对数学建模核心素养的影响强度.同样地，以活动收获与结果的3个二级指标为自变量，得到如表7的回归结果.

表6 活动经历与体验的4个二级指标与数学建模核心素养的多元线性回归分析参数

表7 活动收获与结果的3个二级指标与数学建模核心素养的多元线性回归分析参数

表中，标准系数越大，说明自变量对因变量的影响强度越大.活动经历与体验的4个二级指标的影响强度由大到小如下：辨识>调用>聚合>反思，与专家咨询后设置的指标权重(聚合>调用>反思>辨识)并不吻合.案例校的实际情况可能是部分学生在阅读数学文本时就遇到了困难，不能从文本中提取精髓而无法或错误地开展后续的运算或推理步骤；而专家则是从成功实施数学建模或开展探究活动的关键环节或主要步骤的角度进行排序，更符合一般情况.

活动收获与结果的3个二级指标的影响强度由大到小如下：思想与方法>价值与精神>概念与命题，与专家咨询后设置的指标权重一致.其中，“概念与命题”对数学建模核心素养折合分影响最小，且在回归模型中的显著程度为0.659，大于0.05，回归不显著，可认为：“概念与命题”是数学核心素养中最基础的部分，数学建模核心素养综合性强，建模是综合应用数学知识的过程，虽然学生在“概念与命题”部分的均分最高、标准差最小，但只“有”而不会用数学知识是不能真正解决实际问题的.“思想与方法”的作用最为显著，即领会了数学思想、掌握了数学方法与否，数学建模核心素养呈现出较大差异，“思想与方法”的均分在各项二级指标中处于末端，可以将“思想与方法”作为联系数学知识的纽带，以此为桥梁提高数学建模核心素养.

5 结论与讨论

5.1 重视数学活动，活动经验更有助于数学建模素养的累积

正如荷兰数学家弗赖登塔尔强调“数学学习是一种活动”，本研究结果表明：数学基本活动经验综合分可以解释数学建模核心素养折合分91.2%的变化原因；两个一级指标中，活动经历与体验比活动收获与结果对数学建模核心素养的影响强度更大.对于上海新教材数学建模部分的教学，不能穿新鞋走老路，仅依靠学生看书、教师讲解的方法来实施；而是通过创设情境、问题解决等方式设计系列化的数学活动，充分调动学生的积极性，主动投入到数学建模实践活动中去，在体验中感悟、反思，积累解决数学问题的经验.

5.2 依据学生水平，循序渐进发展数学建模核心素养

从数据分析中看出，活动经历与体验的4个二级指标对数学建模核心素养的影响强度“辨识>调用>聚合>反思”异于专家咨询后设置的指标权重“聚合>调用>反思>辨识”.这说明案例校学生数学建模水平还处于初级阶段，尽管数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，但由于其综合性强，培养学生数学建模核心素养不是一蹴而就的、而应循序渐进.建议对于案例校层次的学生，教师可以将“辨识、调用、反思、聚合”拆分开渗透到平时的概念、定理、公式教学中，既降低难度、又处处体现数学建模的精神；对于数学建模的案例亦需精挑细选、逐步深入，使学生在体验中积累素养.

5.3 全面发展“四基”，共同支撑起数学学科核心素养的养成

从数据分析中看出，活动收获与结果的3个二级指标中，“思想与方法”对数学建模核心素养的影响强度最显著，而学生擅长的“概念与命题”回归却不显著.仅凭扎实的数学基础、熟练的基本技能已不能满足发展数学学科核心素养的要求，数学建模更需要学生需具备“怎么思维和认知”的策略性知识即元认知，需要数学的思维方式、思想观念、精神文化等深度学习来实现.这既说明“四基”发展的不平衡、也显示出了“四基”发展的巨大潜力，教师必须转变观念，将数学基础知识、基本技能与基本思想、基本活动经验真正作为一个整体，共同支撑起数学学科核心素养的养成.