巧用极化恒等式破解向量数量积问题*

安徽省合肥市第一中学 (230601) 谷留明

平面向量是高中数学较为重要的内容,其中数量积内涵丰富,是连接各知识点的核心概念,也是平面向量和其他知识相融合的重要渠道.在高考和竞赛中,经常涉及到数量积的求值或最值问题,在平时的教与学中,师生比较关注定义法、坐标法、基底法,有时也用投影法.但有些数量积问题,若用前面这些方法,就不太行得通或者不够简洁,而如果能够巧用极化恒等式,问题往往能够迎刃而解.

一 公式介绍

图1

二 公式妙用

1.以三角形或多边形为背景

解析：如果采取将不等式两边平方,运算量非常大.其实由向量的减法及数乘运算的几何意义,根据已知不等式,可得点P到直线AB的距离为3,所以△PAB由P出发的中线最短为3,而且AB边长为定值10,所以具备用极化恒等式的典型条件.

图2

图3

2.以圆为背景

图4

解析：此题用坐标法是可以的,但运算过程不够简洁,如果要用极化恒等式,初看起来好像不具备相应特征.如果能动中取静,就会注意到圆O和Rt△ABC是固定的,点P,Q在运动中恒以定点O为中点.

3.以圆锥曲线为背景

4.以立体几何为背景

图6