“双管齐下” ,求四面体的体积

石磊

求四面体的体积问题侧重于考查同学们的空间 想象能力和运算能力.要求得四面体的体积，需求得四 面体的高和底面的面积，然后运用四面体的体积公式 V = 1/3S底h 进行求解.下面以一道题为例，探讨一下求 四面体体积的两种方法.

则四面体 OEBF 的体积为_____.

虽然正方体为规则几何体，但 四面体 OEBF 为不规则几何体，其 底面的面积和高很难直接求得，需要通过其他途径来 求解.这里有两种方法：向量法和转化法.

方法一：向量法

向量法是指在建立空间直角坐标系后，求出各点、 线段的坐标，通过向量坐标运算求得问题的答案的方 法.运用向量法求四面体的体积，需首先建立合适的空 间直角坐标系，然后分别求出相关点、线段的坐标，根 据线面的垂直关系建立关系式求得底面的法向量，便 能求得四面体的顶点到底面的距离.对于本题，我们可 以以正方体的一个顶点为原点，以与该顶点相交的三 条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，求得各个点的坐 标以及底面 EBF 的法向量，进而得到顶点 O 到底面 EBF 的距离以及四面体的体积.

运用坐标法求四面体的体积，能有效地降低解题 的难度，我们通过空间向量运算便可求得结果，不足 之处在于增加了计算量.

方法二：转换法

运用转化法求四面体的体积，需根据线面的平行、垂直关系，将原几何体的体积问题化为易求得底面面积和高的几何体的体积问题.运用转化法解题能将复杂、困难的体积问题转化为简单的体积问题.对于本题，由于四面体 OEBF 的高很难快速求得，我们需将问题进行转化，过点 E 作平面 OBF 的平行线 EM ，将求四面體 E - OBF 的体积转化为求四面体 M - OBF 的体积，再将四面体的顶点进行转换，将求四面体 M - OBF 的体积转化为求 O - MBF 的体积，进而求得四面体 E - OBF 的体积.

转化法的本质在于根据几何体等底等高的性质，将原几何体的体积问题转化为易求得底面面积和高的几何体体积问题.其难点则在于合理添加辅助线.

我们通过两种途径解答了一道四面体体积问题.相比较而言，向量法较为简单，但解题过程中的运算量较大，运用转化法虽然能大大减少运算量，但很多同学不知该如何添加恰当的辅助线.总之，在求几何体的体积时，我们可以双管齐下，从两个不同的角度思考解题的方案，提升解题的效率.

（作者单位：甘肃省兰州第一中学）