数形结合思想在数学解题中的运用

向栏

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-39-382

何为“数形结合”数形结合就是把几何性质的探究转化为精确与规范严密的数量关系的探究。简而言之，就是把數学问题里面的数量关系和空间图形联系起来解决数学问题的思想方法。

数形结合思想方法在数学解题中发挥了极大的作用，展现了其独特的魅力。在数学教学中，授人一“鱼”不如授人一“渔”，让学生学会数形结合思想方法，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。因此，我们在数学解题中要坚定不移地贯彻数形结合思想。

一、数形结合的作用

有助于教师传递知识的信息。 “数形结合”在教学上有助于教师传递知识的信息，对于学生往往难以理解的抽象问题，老师可通过数形结合，使抽象化直观，使抽象的数学知识尽可能的形象化，能让学生易感知并获得成功的体验。从而把老师想表达的信息显现出来了，达到了轻松教学的目的。

有助于学生学习。“数形结合”有助于学生学习，帮助学生理解数学，把抽象的数学具体形象在脑海里，形成图像数学，模型数学，帮助学生记忆。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断地进行尝试、运用、探索，就能品味到数学的乐趣，领悟到数学的美，进而激发了学习数学的兴趣、热情和积极性，让学生喜欢数学，喜欢学习数学[1]。

有助于提高解题速度。 “数形结合”提高了学生的解题效率。“数”与“形”的巧妙与正确结合，使学生充分理解题意，直观的图像勾勒了题意中的隐含条件，从而可从不同的角度分析题意，增强学生理解和运用数学信息，启迪解题思路，使解题思路明朗化，以达到提高学生解题的速度和正确率的作用。

二、数形结合转化原则

数形结合遵循两大原则：简单性原则和双向性原则。

简单性原则就是是把数学复杂的问题简单化。但解题时，不要碰到任何与数、形有关的题目都建立“数与形的结合”，在解题过程中选择一个突破口，恰当设定参数、运用参数、建立关系，做好转化，最终达到使问题简单化，易于解答.

双向性原则是指几何直观分析与抽象数量关系可相互转化探讨，克服其自身的局限性，发挥对方的优越性。解题时，我们既要进行几何问题直观分析，又要进行相应的代数表达式的探求，从两方面去分析同一问题，以“形”直观表达“数”，以“数”精确研究“形”.

三、转化类型

“以形助数”。 用图形解题，通过题目的数据画出相应的图像，在图像里面去理解题目里面数据的联系。常见有由x=ab想到射影定理;由F（cosθ，sinθ）想到单位圆x2+y2=1上的点等等。

“以数辅形”。常见的有由坐标法，向量法来解决平面几何、立体几何问题;用距离公式来证明线段的相等或不等;用斜率关系来描述直线平行或垂直等等。

“数形互助”。 特别体现在圆、椭圆、双曲线这些圆锥曲线上[2]。

四、数形结合思想的应用

一是以形助数。

对于集合，在运用数形结合时，一般运用数轴或韦恩图。 对于方程，我们一般把方程转化为函数，再根据函数图像来解决方程问题。对于函数，通过运用数形结合来帮助考察函数相关知识的理解和应用。一般是一次函数、二次函数、绝对值等的混合组成的题型，故画出它们的图像有助于我们解题。对于三角函数，我们可画出其三角函数图像，根据图像可观察出它的周期、奇偶性、单调性等。而且有时三角函数又与其他函数或者圆锥曲线联系起来，解这类题型我们都需借用数形结合来简化题型，降低题的难度系数。对于数列，在数列中，我们需要数形结合的地方一般是在求数列的极值或取值范围。

二是以数辅形。

我们一般采用在坐标轴里面画图或者使用向量的知识画出我们需要的图形。

三是数形互助。

在圆锥曲线或线性规划中，运用数形互助。对于解圆锥曲线相关题型，给出的曲线方程可以画出曲线的图像，或给出图像可以写出曲线方程，其能形象直观观察出圆锥曲线的相关特点和性质，能够根据图像写出圆锥曲线的相关定义。在线性规划题型中，图像能帮助简化题型。

“数”与“形”的相结合，克服了“数”的抽象性与“形”的不完全性两者之间的自身的缺点。“数”与“形”相辅相成，挖掘题目中的隐含条件，以便充分理解题意，启迪思路，理顺解题线索。

尽管我们是站在伟人的肩膀上来研究数学的，但也不能停滞不前。以上证明数形结合思想的典型例题和方法，说明时代的进步，数学的进步都离不开更有力的工具和更简单的方法。进而这个时代的数学还需要我们这些后辈们继承光荣成果，继续研究数学的奥秘，这条道路是曲折而漫长的。

参考文献

[1] 李志强·谈数学中的数形结合思想[J].教育研究，2010，（1）.

[2] 肖文华·数形结合思想在数学数学解题中的运用[J].中国科教创新导 刊，2012（18）.