考虑交通量增长的非平稳荷载效应极值研究

徐望喜， 钱永久， 金聪鹤， 黄俊豪， 黎 璟

(1.西南交通大学 土木工程学院，成都 610031； 2.四川省铁路产业投资集团有限责任公司，成都 610000)

随着经济迅速增长，交通基础设施不断完善，交通量呈现高速增长趋势。截止2019年底，平均日交通量达到27 936辆，较上年增长4.1%[1]。外加频繁的车辆超载使大量既有桥梁结构在运营阶段承担超过规定水平的荷载，结构承载能力衰减加速，桥梁结构可靠水平降低[2]。

准确的车辆荷载极值模型是荷载效应模型研究、效应极值预测分析的前置基础也是桥梁结构设计标准荷载制定、结构安全评估以及桥梁结构运营维护管养的基本前提[3]。因此，如何更准确地模拟实际荷载效应并基于该模型进行极值预测成为了相关领域的研究热点。常用极值预测方法主要有：基于经验分布的尾部数据拟合外推、基于穿越次数的Rice公式外推、基于经典极值理论的区组最大值广义极值(GEV)外推、基于超阈值(POT)的广义帕累托分布(GPD)外推、基于贝叶斯理论框架的极值预测[4-7]。以上预测方法均基于目标样本为独立同分布(IID)假定的基础上进行展开，其中GPD模型由于仅要求超阈值样本满足独立同分布假定且拟合精度较高而被更多地应用在车辆荷载效应预测方面[8-10]。然而，实际车载过程为一非平稳随机过程，继续采用原有的模型进行极值预测在理论上存在一定缺陷。国内外处理非平稳随机过程主流方法是在时间上将非平稳过程看作是若干个短期内的平稳过程的串联系统：O’Brien等[11]在“时间离散”后，假定短期内的荷载极值为平稳过程，采用GEV模型拟合得出一系列时变GEV模型，联合各时变模型得到非平稳随机过程的荷载效应极值模型；Leahy等[12]采用同样处理方法，用时变GEV模型对荷载效应特征进行研究，得出车质量与车流增加对荷载效应均有影响且车质量的敏感性更强的结论；鲁乃唯等[13]基于类似方法对Rice公式进行改进，得出符合非平稳过程的Rice公式模型，并应用于大跨度桥梁极值预测方面。袁阳光等[14]假定单位时间内车辆荷载为平稳随机过程，采用GEV分布模型得出时变参数模型，并应用于桥梁结构时变可靠性评估中。另一方面，Zhou等[15]认为桥梁受到不同事件的作用而不满足同分布条件，提出混合超阈值(MPOT)方法的GPD模型来预测荷载效应极值，得出MPOT方法比传统超阈值(CPOT)方法精度更高的结论。周军勇等[16]针对多事件混合影响的桥梁荷载效应在MPOT方法的基础上继续进行改进与完善，解决了超阈值样本相关性、最优阈值以及参数估计等重要问题。上述研究分析了车载非平稳过程对荷载极值模型的影响，丰富了理论成果。但多数基于Rice公式、GEV模型进行研究。Rice公式在寻找样本最优拟合起点、最佳区组长度具有一定主观依赖性[17]。而GEV模型仅取“区组最大值”或“年最大值”作为样本数据，忽略了区间的次极大值，存在样本数据损失现象[18-19]。GPD模型能充分利用有效数据，且具有较高的拟合精度[20-22]，但其研究仅限于不同事件组成的混合事件处理，没有体现时变特性。时变GPD模型在气候-水文等领域应用较为广泛，主体上是基于传统的分布模型，考虑模型的参数变化，进而得到非平稳分布[23-24]。吴孝情等[25]通过分析GPD分布的参数时变特性及空间分布规律，对珠江流域部分区域降水的非平稳特性进行分析。鲁凡等[26]总结了常用的非平稳时间序列极值统计模型的结构以及统计推断方法，介绍了非平稳时变GPD模型在气候-水文中的应用。时变GPD模型能够解决非平稳问题，因此有必要基于时变GPD模型对非平稳车载过程进行下一步研究。

本文采用“时间离散”思想提出时变超阈值模型，运用阈值定理对各区间超阈值模型参数进行修正得出同一阈值下的时变模型，通过各区间修正超阈值模型 “概率联合”得出改进超阈值(amend generalized Pareto distribution, AGPD)模型；通过数值案例验证了该模型的准确性，并结合某一高速动态称重系统(weight in motion, WIM)数据，进行简支梁桥荷载效应极值预测。

1 改进超阈值模型

1.1 GPD基础模型

假定X1,X2,…,Xn为独立同分布随机序列{Xi} ，并定义随机变量{Xi}的分布函数为F(x) 。选择某一固定阈值μ，Y1,Y2,…,Yn表示相应的超出量(超过阈值μ的Xi减去阈值μ)，则超出量的分布函数可表示为

Fμ(y)=P(X-μ≤y/X>μ)=

(1)

则

F(x)=Fμ(y)(1-F(μ))+F(μ)

(2)

Fμ(y)近似认为服从广义Pareto分布，则对于较大的阈值μ，随机变量X的分布函数可表示为

x≥μ,1+ξ(x-μ)/σ>0

(3)

则称X-μ服从广义帕累托分布(GPD)。其中，μ为位置参数，σ为尺度参数，ξ为形状参数。根据极限分布定理，对于充分大的阈值μ，对于未知分布函数F(x)的超阈值分布函数可近似为Fμ(y)≈G(y:μ,σ,ξ) ，则式(2)可表达为

F(x)=G(y:μ,σ,ξ)(1-F(μ))+F(μ)

(4)

用经验分布函数估计F(μ) ，得出

(5)

式中，Nμ、n分别表示随机变量X超阈值数量与全体总数。则

F(x)=Fμ(y)(1-F(μ))+F(μ)=

(6)

对各参数进行估计得到基本GPD模型如下

(7)

1.2 改进GPD模型(AGPD)

对于某一随机变量Xi(i=1,2,3,…,n)受多因素影响而难以满足独立同分布假定，传统极值模型适用性受到限制。假定随机变量在微小时段内为一平稳随机过程，服从IID假定，根据式(7)则每一区间内荷载极值分布可表示为

(8)

对于给定某一样本Xi不超过某一分位值x的概率，通过联合各时间内分布函数F(x)进行计算，可表示为

Pt(Xi≤x)=Ft(x)=

P(X1≤x)×P(X2≤x)×…×P(Xn≤x)=

(9)

式中：x为某一分位值；F()为样本累积概率；Ft()为样本在t区域内的分布函数；n为区间划分的个数；将式(8)代入式(9)中可得出

(10)

由式(10)可知，F(x)为一复杂的概率分布函数，相应分位数难以直接进行求解。本文采用迭代法寻找最优变量xm，使其满足

(11)

式中，ε为一给定足够小量；m为重现期内超阈值样本个数。在Ts内，对于较大重现期，超阈值样本个数的平均假定为ms，式(11)可表达为

(12)

根据式(12)可计算重现期为Rt的重现水平xm。

1.3 阈值选取与参数估计

采用GPD模型进行样本数据拟合时，阈值的确定至关重要：阈值选取过大，会引起超样本数据较少，估计量的方差较大；阈值选取过小，超出量分布与广义Pareto分布相差较大，估计量成为有偏估计。目前阈值选择的方法主要有图解法和计算法，其中图解法受研究者主观影响，大多通过确定性分析确定阈值的选择。峰度法进行阈值的选取时虽然在计算程序上较为简易，但使用条件局限于样本数据服从厚尾分布[27]。周军勇等提出的K-S检验法计算阈值的大小，主要思路是采用概率权矩法进行相应参数求解，通过不断改变阈值使得模拟结果与实际样本满足K-S检验标准，则所获取的阈值为最优阈值。

1.4 参数修正

理论上，非平稳过程中不同区间的阈值具有时变特性，而直接取用同一阈值难以满足所有区间样本拟合要求，更不能直接采用式(9)进行联合计算。一般处理方法是采用各个独立事件阈值的最大值，这样处理忽略了阈值的变化对ξ、σ的影响，而形成一定的误差。根据阈值定理，如果某一超出量分布服从GPD分布，则比阈值大的任意位置进行截取仍然满足GPD分布。参数修正公式如下

σμ=σμ0+ξ(μ-μ0)

(13)

阈值μ0修改为阈值μ(μ>μ0) ，形状参数ξ保持不变，尺度参数为μ的线性函数。

图1给出了GPD模型参数修正结果。假定某样本分布为一随时间t函数，服从GPD(0.1+0.01t,0.1+0.02t,10+0.1t)分布，其中t为第t个区间的时间参数，此处t分别取1、2、3、…、10，各区组样本数量均为3 000个。显然GPD参数具有时变特性，其中，最大阈值为11，将所有区组阈值修正为统一阈值，根据式(13)可求出不同区段内的GPD参数。结果表明处理后的GPD 模型亦能较好地拟合初始样本的超最大阈值部分。

图1 区间内参数修正Fig.1 Parameter correction in interval

1.5 迭代法求解最优解

通过上文阈值选取与参数修正方法可获取某一阈值下的AGPD模型，进而得到在观察期Ts内的超阈值样本个数ms，结合式(10)采用迭代法寻找重现期为Rt年的重现水平xm，计算流程如图2所示。其中ε为一给定的足够小量，本文取1×10-10，x0为初始代入值，初始取值与研究内容有关，本文取为1×104。

图2 迭代法求解最优阈值Fig.2 Solving the optimal threshold by iterative method

2 数值算例验证

O’Brien等假定车质量(GVW)服从N(50,5)正态分布，日交通量为ADTT=1 000(Veh/d)，每年工作日为250天，交通量年增长系数Rag=4.1%，采用GEV分布拟合荷载极值模型并进行外推预测。考虑到交通量受多因素影响(经济发展、道路网线规划、行政管养措施)，本文时间选取20年。假定选择时间内各因素引起的荷载模型差异可忽略不计。以每一年为单位时间长度，通过联合各年超阈值模型得出AGPD模型，并外推重现期为100年的极值。外推结果与传统GPD模型外推值、精确解进行对比分析，如图3所示。其中传统GPD模型以最大阈值为整体样本阈值，对所有超阈值样本采用单一GPD模型进行描述，极值外推方法与AGPD模型相同。

(a) 交通量不变

(b) 交通量增加图3 超阈值车质量极值CDF分布Fig.3 CDF distribution of vehicle weight extremumover threshold

图3给出了GPD模型AGPD模型拟合超阈值车质量概率曲线图，并对重现期为100年的极值进行外推。车辆交通量不变，两者均能较好地拟合超阈值样本；年交通量增加时，GPD模型在高尾处与样本点出现偏差，随着样本递增逐渐加大，而AGPD模型能与样本变化趋势基本保持一致。表明AGPD模型比GPD模型对交通荷载量增长时的超阈值模型具有更好的适用性。在极值预测方面：车载年交通量不变时，两种模型预测值与精确解接近，其中，GPD与AGPD外推值与精确解的相对误差分别为1.74%、1.39%；交通量增加时，AGPD模型预测值与精确解相对误差为0.51%，而GPD与精确解的相对误差为2.42%，显然采用AGPD模型更能适应交通量增长引起的非平稳随机过程荷载极值的描述与预测。

3 桥梁车辆荷载效应极值预测

为进一步验证AGPD模型在车辆荷载效应极值外推中的应用。采用某一高速路口全年WIM数据建立随机车流，通过影响线加载求解跨径L=30 m的简支梁桥跨中弯矩，运用AGPD模型描述交通量增长状态下荷载效应极值，并进行重现期为1950年的极值预测分析。

3.1 车质量模型拟合

京珠高速粤北收费站某一车道2013年全年WIM数据共计91 473个，其中最大车质量为101.4 t，平均车质量为36.54 t。参考文献[28]按照轴型分类并采用多峰高斯分布拟合各轴型车辆，拟合参数及车型比例如表1所示。依据车质量分布参数及各轴型占比采用蒙特卡洛法(MCS)随机生成全部车质量数据，模拟样本与实际分布概率密度对比如图4所示。

由图4可知，MCS模拟车质量数据和WIM样本概率密度曲线贴近。采用该方法对整体车质量的模拟较好。在进行车辆荷载研究时，难以对所有车重数据进行精确拟合，一般重点是对极值敏感的两大类车辆进行处理：① 数量占比较高车辆(高频数据)；② 数量占比少但质量大的车辆(低频后尾数据)。而对极值影响较少的前段低频数据，因模拟与实际误差对极值的影响可忽略不计。

3.2 荷载效应求解

通过影响线加载求解随机车流荷载下简支梁桥荷载效应步骤如下：基于WIM数据建立车质量模型，依据轴型占比采用MCS法随机生成相应轴型车载数据，根据文献[28]确定各类轴型轴重比与轴距参数，参考“公路桥梁车辆荷载研究”给出的密集运行状态车辆间距，建立密集状态随机车流，通过Matlab计算软件编制影响线加载程序。运用本文提出的AGPD模型对荷载效应极值进行预测研究。计算流程如图5所示。车载交通量年增长系数Rag=0%、1%、2%、3%、4.1%、5.0%、6.0%，详细步骤如下。

3.2.1 车质量数据生成

基于WIM数据，按车型统计相应车质量概率参数，结合车型占比参数，综合得出全部车质量分布模型。以车质量模型为底分布，通过不断调整年交通量，模拟每一年的车质量分布数据。

表1 各车型参数与轴型占比

图4 车质量拟合Fig.4 Vehicle weight distribution

3.2.2 随机车流构建

基于当年车质量模拟数据，随机抽取某一辆车识别车质量与车型，见表1，得到相应各轴重以及轴距的数据；考虑不利情况，选取密集运行状态(车距服从对数正态分布(μ=1.561 165，σ=0.279 707)车距分布模型，随机生成一车距，继续随机抽取下一辆车直至全部车辆抽取完毕。

3.2.3 荷载效应计算分析

建立相应桥梁结构有限元模型并提取跨中弯矩静力影响线。将随机车流第一个轴重放于梁端，移动一位移Dx，判断梁长范围内荷载个数以及荷载对应的影响线数值，通过累加各荷载与影响线数值乘积得到荷载效应SDx，继续移动同一位移，得到对应的荷载效应，直至所有车流通过桥梁。

图5 影响线加载流程图Fig.5 Flow chart of load effect calculation

3.2.4 荷载效应预测分析

以每“年”为区间长度，根据各年荷载效应计算相应GPD模型，通过概率联合构成AGPD模型，并进行荷载效应极值外推。

首先，分析交通量对荷载效应超阈值模型的影响。以第20年超阈值荷载效应为例，分别抽取交通量年增长率Rag为2%、4.1%、6.0%超阈值样本，与Rag为0的第一年样本进行对比分析，如图6所示。随着交通量增长，荷载效应极值逐渐往右偏移。当Rag越大时，荷载效应增长趋势愈加明显。Rag为6.0%时，荷载效应最大值达到了5 069.3 kN·m与基准年(第一年)值4 623.21 kN·m相比，提高了9.65%。另一方面，超过基准年最大值数量也逐步增加，若采用最大值作为样本值会出现次大值以及其他极值数据样本浪费情况，且随着年限的叠加，数据利用效率低现象更加明显，进一步验证了区间极大值模型的缺陷。采用AGPD模型对超阈值荷载效应样本进行拟合，图7中给出了AGPD模型对Rag=0、2.0%、4.1%、6.0%车载效应拟合效果，从图中可看出AGPD模型能较好地应用于荷载效应的描述。

图6 第1年与第20年荷载效应超阈值样本对比Fig.6 Comparison of load effect over-threshold samples betweenfirst year and the twentieth year

图7 超阈值样本AGPD拟合Fig.7 AGPD fitting of over-threshold samples

我国公路桥梁设计规范对车辆荷载的重现期定义为设计基准期100年最大值保证率为95%，对应于重现期为1950年[29]。由于无法得到荷载效应极值精确解，故将外推结果与JTG D60—2015《公路桥涵设计通用规范》[30]计算值进行对比分析，结果如表2所示。

表2 重现期为1950年的荷载效应外推值与规范值对比

由表2可知，荷载效应极值外推与年交通量增长率成递增趋势，当车载年交通量不变时Rag=0%，外推极值为规范荷载计算值的1.55倍；当车载年交通量增长率Rag=6.0%时，相应的荷载效应外推值为规范荷载效应的1.58倍，说明车辆交通量持续增长下，车载非平稳随机过程产生的荷载效应影响不可忽略，在进行结构安全设计时应当予以考虑。

4 结 论

为合理地构建非平稳随机过程荷载效应模型，分析交通量持续增长环境下荷载效应极值模型。基于“时间离散”与“概率联合”方法提出了AGPD模型，采用数值分析验证了模型的精度，并将该模型应用于某一荷载效应的极值预测，得出结论如下：

(1) 提出考虑交通量增长引起车载非平稳随机过程AGPD模型。通过K-S检验、概率权矩法计算各平稳时段内GPD参数，采用阈值定理对不同阈值下的相应参数进行修正，通过联合构建AGPD模型。

(2) 通过数值算例验证了AGPD模型的准确性。分别采用GPD模型、AGPD模型对交通量平稳与非平稳两种情况进行重现期为100年的极值外推，其中AGPD模型在非平稳车辆时的外推结果与精确解相对误差为0.51%。

(3) 运用AGPD模型外推随机车流作用下某一简支梁桥跨中荷载效应在重现期为1950年的极值，得出在交通量年增长率为0、1.0%、2.0、3.0%、4.1%、5.0%、6.0%下，20年内荷载效应外推值为规范取值的1.55倍～1.58倍。

(4) 本文提出的车载非平稳过程的AGPD模型均是以年为区间长度。由于AGPD模型的阈值是根据各区间阈值的最大值获取，当样本数据的时间跨度较长时，存在某一区间阈值大于另一区间的极值情况，进而引起部分区间“失效”情况，因此针对区间长度大小、样本数据时间长度大小对外推值的影响是进一步研究的主要内容。