含悬臂梁式易损件及弹性约束的产品跌落冲击分析

霍银磊， 姬喜龙

(1.河南科技大学 包装工程系，河南 洛阳 471000； 2.河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 471000)

产品在运输和装卸过程中会受到各种各样的外部冲击，例如意外的碰撞或跌落等。电商的快速发展也为产品系统的抗冲击性能提出了更高的要求，大多数产品都是包含不同材料、不同结构件的复杂组合体， 很多情况下必须按多自由度分析处理，才能得到较为合理的设计结果[1-4]。为此，Schell[5]、王志伟等[6-7]、高德等[8]、王军等[9-11]、段宁宁等[12-13]众多学者考虑了二自由度及多自由度包装问题，研究了质量比和刚度比对产品响应的影响。

近年来，不少学者将产品中的弹性部件考虑为连续体，研究了包装系统的跌落冲击问题。奚德昌等[14-15]讨论了双层商品包装和具有弹性元件的产品的防震缓冲问题，Suhir等[16-18]针对带弹性板易损件的产品包装系统，建立动力学模型，分析了弹性板的跌落冲击特性。高德等[19-21]分别考虑含有不同类型易损件的产品系统，研究了跌落冲击过程中易损件位移响应、加速度响应和应力分布的特点，指出决定动力学可靠性的是易损件的最大应力，而不是最大加速度。郝蒙等[22]以含悬臂梁式易损件的三次非线性包装系统为研究对象，基于L-K法与有限元法探讨了易损件位移、加速度响应以及内应力变化规律。

本文以含有弹性约束的悬臂梁式易损件的包装系统为研究对象，基于Euler梁理论及Hamilton变分原理，建立系统跌落冲击下的刚柔耦合非线性动力学方程，基于模态分析法讨论梁端集中质量及弹性约束对悬臂梁系统的振动频率的影响；探讨冲击过程中不同的支撑类型及支撑刚度对弹性悬臂梁式易损件的最大位移、最大内应力的影响。研究结论可为此类产品缓冲包装设计提供参考。

1 系统模型及运动方程

图1 含梁式易损件的包装系统跌落动力学模型

以产品-梁式易损件系统为参考对象，则跌落冲击过程中产品主体位移以y1表示，梁上各点在浮动系中的挠度以w表示。系统的动能可表示为

(1)

系统势能表示为

(2)

分别对应集中支撑于x=l处和均布支撑情况。

冲击过程中的外力功可写为

(3)

根据Hamilton变分原理

(4)

得系统耦合运动方程：

集中支撑于x=l处

(5)

均布支撑，线刚度K2/L：

(6)

以及边界条件：

集中支撑于x=L处

w(0)=w(0)′=w(L)″=0;

(7)

集中支撑于x=l(l≠L)处，均布支撑：

w(0)=w(0)′=w(L)″=w(L)‴=0

(8)

2 运动方程的离散

基于假设模态法和Galerkin截断法离散运动方程，令弹性附件有如下形式的解

(9)

其中特征函数[23]

考虑端部集中质量，其对应的特征值λi满足关系

1+cosλicoshλi=

(10)

引入参数：

(11)

得离散的运动方程：

(12)

均布支撑

(13)

初始条件：

(14)

以此可方便地计算出易损件的位移、速度、加速度响应，进而求出易损件的内应力，其中：

(15)

3 讨论与分析

3.1 模型检验及频率分析

为了检验模型的准确性，不考虑支撑的影响，即令k2=0，利用文献[22] 系统参数，得到跌落冲击过程中梁式易损件的最大位移、最大加速度及最大应力随时间的变化情况如图2所示，数值结果与文献吻合度很好。

根据弹性易损件的可靠性定义及相关文献结论：只要易损梁的最大内应力小于其许用应力，易损梁结构就不会失效破坏。在没有支撑弹簧的情况下，梁式易损件的最大位移及最大内应力沿梁长方向单调变化，最大位移发生在端部而最大应力位于梁的根部，因此图2中的根部最大应力既能反映易损梁的强度可靠性。图3 给出了有支撑情况下易损梁在冲击过程中的位移分布和应力分布。可以看出，当于k2≠0时，梁式易损件上支撑点的位移受到约束，悬臂梁式易损悬件的最大位移不一定出现在端部，最大应力也不一定出现在根部。因此，后续文中重点关注冲击过程中梁式易损件的最大位形(发生最大形变时刻梁上点的位置状态)以及此状态下易损件的应力分布(图3中的脊线，粗实线标出)而非梁式附件的端部响应。

图2 易损件的端部位移、加速度和最大内应力响应Fig.2 The Tip-displacement, acceleration and the maximum internal stress response of the vulnerable component

图3 易损件冲击过程中的位移和应力分布(k2=150)Fig.3 The displacement and stress distribution of thevulnerable component during impact (k2=150)

本文以某小型医学检验产品为研究对象，其刚性主体质量m=3 kg；易损检测探针可视为一圆形截面悬臂梁，截面直径R=0.002 m，长L=0.1 m，材料密度ρ=7 850 kg/m3,杨氏模量E=200 GPa, 许用内应力[σ]=150 MPa；端部集中质量md=0.01 kg；缓冲泡沫材料等效初始弹性常数k0=600 N/cm，非线性常数e=72 N/cm3；系统跌落高度H=0.6 m。可知其质量比分别为：μ=0.003 3，η=1.014考虑冲击时间很短，阻尼来不及做功，忽略材料阻尼的影响，即令ζ=0。

图4给出了k2=0时由特征方程(10)确定的特征值λi随η的变化关系，特征值λ反映了系统频率。可以看出随着质量比η的增大，悬臂梁的各阶特征值均逐渐减小；而η对一阶特征值的影响较为明显，表明端部集中质量对易损件的一阶振动影响最大。

图4 易损件的前四阶特征值随质量比η的变化Fig.4 The first four eigenvalues of the vulnerable component

图5 易损件的各阶频率随支撑刚度的变化Fig.5 The frequency of the vulnerable component

3.2 不同支撑下的冲击响应

图6 产品的跌落冲击位移响应Fig.6 The dropping shock responses of the packaging system

图7给出了带有端部集中质量及弹簧支撑的悬臂附件在冲击过程中的最大位形图及最大应力分布，可以看出：一般情况下，梁的最大挠度发生在梁的端部，最大应力发生在梁的根部，只有在当支撑刚度很大时，此时相当于端部简支，梁端部位移被抑制，最大位移出现在梁的中部，然而此种状态下梁的最大应力仍出现在根部，这是由于端部的约束仅仅限制了梁的位移而没限制其截面转动；在支撑刚度很小时(k2=0.01)，梁的最大位移及内应力较大，分别达到1.27 mm和165 MPa，对于文中给定的系统，最大内应力已大于其许用应力。随着支撑弹簧刚度的增加，梁的最大挠度减小和最大应力均逐渐减小，在支撑刚度k2=10 100时，梁的最大内应力分别仅有48.7 MPa和17.8 MPa，远远小于梁的许用应力，表明增加端部支撑可大大提高冲击过程中梁的可靠性。图7(c)给出了冲击过程中梁的最大应力随时间的变化曲线，可以看出支撑弹簧刚度的变化对梁的振动频率没有明显的影响，而对冲击过程中梁的最大内应力影响明显。

图7 端部集中支撑悬臂梁式易损件的冲击响应Fig.7 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with tip concentrated support

图8 中点集中支撑悬臂梁式易损件的冲击响应Fig.8 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with midpoint concentrated support

图9给出了带有均布弹簧支撑约束的悬臂附件在冲击过程中的最大位形图及最大应力分布，类似的：随着支撑弹簧刚度的增加，梁的最大挠度减小，最大应力也减小；一般情况下，梁的最大挠度发生在梁的端部，最大应力发生在梁的根部，只有在当支撑刚度很大时(k2=100 100)，梁的最大应力可能不在出现在根部，并且随着刚度增大，最大应力位置向端部移动。当k2=100时，梁的最大内应力为15.6 MPa，基本与端部支撑情况相当，仅为中点支撑时的22.3%。表明增加均布支撑同样可大大降低梁的内应力，提高冲击过程中梁的可靠性。

图9 均布支撑悬臂梁式易损件的冲击响应(η=1.014)Fig.9 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with uniform support (η=1.014)

图10给出三种不同类型支撑下悬臂梁式易损附件的最大位移及最大应力随支撑刚度的变化关系，可以看出：当支撑弹簧刚度较小时，支撑方式对梁应力变化影响不太明显；随着支撑刚度增加，当0.130后，支撑刚度影响不明显。仅当支撑刚度远大于梁的弯曲刚度时，均布支撑效果最好。

(a) 梁的最大位移

4 结 论

文中考虑含有悬臂梁式易损件的三次非线性包装系统为研究对象，其中在弹性易损件与刚性产品主体间施加有弹性约束。探讨了冲击过程中不同的支撑类型及支撑刚度对弹性悬臂梁式易损件的频率、最大位移及最大内应力的影响，主要结论如下：

(1) 弹性易损件的各阶自振频率随着端部质量的增加而减小，而随着端部支撑刚度的增加而增大，特别是其一阶响应频率的影响较为明显；

(2) 对于文中所考虑的系统，弹性支撑对悬臂梁式易损件的冲击响应具有明显的抑制作用。当作用于梁的支撑为端部集中支撑时，冲击过程中梁的最大挠度一般出现在梁的端部，最大内应力出现在梁的根部；只有当支撑刚度足够大时，最大挠度可能出现在梁的中间部位，最大内应力仍出现在梁的根部；而当集中支撑作用于梁的中点时，冲击过程中梁的最大挠度仍出现在梁的端部，而最大内应力不一定出现在梁的根部，随着支撑刚度的增大，最大内应力点由根部向支撑点移动；当作用于梁的支撑为均布支撑时，冲击过程中梁的最大挠度仍出现在梁的端部，而最大内应力不一定出现在梁的根部，随着支撑刚度的增大，最大内应力点由根部向端部移动；

(3) 随着支撑刚度的增大，对于三种支撑情况，梁的最大位移响应及内应力均明显减小，其中以端部集中支撑效果最好；对于文中所考虑的系统，支撑刚度取0～30时抑制效果最为明显。