从函数角度探讨等差数列的性质

张焕炬

摘要：《数列》是高中才学习的全新模块，学生比较陌生。为了让学生自然地接受“数列”、能更轻松地学好《数列》，我们在教学中可以尝试从不同的角度讲解，以达到最高效的教学。数列的通式公式和前项和公式分别与一次函数及二次函数关系密切，而这两个函数是学生比较熟悉的，故本文便从一次函数及二次函数的角度探讨等差数列的性质。

关键词：等差数列  一次函数  二次函数  通项公式  前项和

《数列》这一章内容是高中才学习的全新模块，是高中数学教学的重点，也是每年高考的热点，在高考试题中占的分值也比较高。《等差数列》是其中的基础部分，能否掌握这部分内容，直接影响着能否掌握后面的知识点和整个章节的知识点。为了加深学生对等差数列的理解，本文从函数的角度分析等差数列的主要性质，让学生能更好地掌握《数列》这一章节的内容。

一、用一次函数的性质探讨等差数列的通项

在教学过程中，我们可以先探讨一次函数与等差数列通项的关系。在等差数列中，因为通项公式：，可表示为，是以为自变量的一次函数。易证反之也成立。由此可见，等差数列与一次函数关系是很密切的。下面我在用一次函数的知识来解析等差数列通项的性质。

（1）根据一次函数性质解析等差数列通项的单调性。一次函数的单调性是由一次项系数决定的，设等，则公差，所以当时为递增数列;当时为递减数列;時为常数数列。故等差数列的单调性由公差决定。

（2）一次函数图像是直线，可从直线的斜率角度探讨通项公式性质。在等差数列通项公式中，公差是一次项系数，其几何意义是：“图像上任意两点连线的斜率”。当取直线上两点坐标时，斜率，;当取直线上两点坐标时，斜率，可得到：。故等差数列的通项公式有两种形式，同学们解题时要根据题意选择正确的形式。

（3）通过直线中点公式探讨中项公式定义及性质。在等差数列中，设图像上的点在直线上，在上任取两点，当时，则线段的中点为，由中点坐标公式可得，从而得到等差中项公式。同理可得到一个相当重要的性质：当时有。

二、用二次函数的性质探讨等差数列的前项和性质

其次，在教学过程中，我们还可以探讨二次函数与等差数列的前项和性质。因为等差数列前项和可化为：，可表示为。所以通项可看作是以为自变量且常数项为零的二次函数。“二次函数”是中学数学的重要内容，同学们对二次函数的知识点应该比较熟悉，故教学时可通过二次函数的性质解析等差数列前项和的性质。下面就是我在教学中用二次函数的性质探讨等差数列的前項和性质的三种解题方法。

（1）用二次函數形式的公式解题。当已知是等差数列时，前项和公式是常数项为零的二次函数，反之也成立。

实战训练1：在等差数列中，前项和满足：，则=_________

解析：设，因为，所以。.

（2）用二次函数配方法求等差数列前项和的单调性和最值。由于等差数列前项和是常数项为零的二次函数，故其单调性可通过抛物线的性质来探讨，其单调性关键看抛物线的对称轴和开口方向。解答等差数列前项和的最值问题可用以用二次函数配方法。

实战训练2：已知等差数列{}中=13且=，那么n取何值时，取最大值。

解：设公差为d，由=可解得：d= -2， 所以，其图像是开口向下，对称轴是n=7，故由抛物线性质可知当n=7，取最大值49。

（3）设等差数列{}的前项和为，不妨设，则，是关于的一次函数式，故也是等差數列，可直接用等差数列的性质解题。

以上就是我在教学等差数列知识的时候，从一次函数及二次函数的角度探讨等差数列的性质总结出来的几点教学经验，在教学进程中经常能取得很好的教学效果。用已经学习过的知识去学习新内容，化“陌生”的知识为“熟悉”，能让学生更容易接受，同时也体现了知识点之间的联系，引导学生去发现数学的“内在美”。从多角度去分析和讲解新知识，既丰富了课堂教学也激发了学生的学习兴趣，我们教师在教学中可多尝试多挖掘。