拉盖尔-高斯光束双缝衍射图样的仿真

徐全学 ,郑思敏,王 涛

(1.拉萨师范高等专科学校 数学和自然科学系,西藏 拉萨 850007； 2.四川师范大学 物理与电子工程学院,四川 成都 610068)

1992年Allen等[1]在实验中发现，光束在近轴传播的近似条件下会形成具有螺旋相位波前或相位奇点的特殊光场,这种光束称为涡旋光束,光束中的每个光子携带lh的轨道角动量, 该光束的表达式中带有螺旋相位因子exp(ilθ)，其中l为拓扑荷数，θ为方位角.拉盖尔-高斯光束是一种典型的人造涡旋光束,通常可以采用衍射光栅[2]、螺旋相位片[3]和全息叉形光栅[4]等方法生成.由于拉盖尔-高斯光束在传输过程中能够保持较高的稳定性，且具有轨道角动量和螺旋分布的相位结构，因此在光学俘获、光镊、量子信息处理、自由空间光通信等领域得到了广泛应用[5-14].

近年来，涡旋光束的单缝衍射成为人们关注的热点，国内外学者也对涡旋光束的衍射现象进行过相关研究.2008年，Soares等[15]通过拉盖尔-高斯光束三角孔衍射实验测量了拓扑荷值；2009年和2011年，王涛等[16]和高福海等[17]分别研究了拉盖尔-高斯光束经过单缝衍射后的光强分布情况.2014年，谌娟等[18]对拉盖尔-高斯光束中的圆孔衍射、单缝衍射和方孔衍射进行了研究，并分析了拉盖尔-高斯光束的相位结构对光束衍射后场分布的影响.这些成果为推进涡旋光束衍射技术的应用奠定了重要的实验与理论基础，然而，到目前为止，还没有关于涡旋光束经过双缝衍射的报道，因此，本文将对此进行研究，并利用MATHCAD对条纹图样进行仿真，详细讨论了拉盖尔-高斯光束的双缝衍射图样光强分布特点及其影响因素.

1 理论分析

假设光源平面光束为拉盖尔-高斯光束，其光场分布为[19]：

(1)

式中：E0为与光场振幅相关的常数，σ为光束的光斑大小，l为光束所带拓扑电荷数，r′,φ′分别表示光源平面上任一点所对应的位置矢量的模和相位.

将(1)式写成直角坐标形式为：

(2)

式中：arg表示复数的幅角.根据菲涅耳衍射积分，考虑到单缝衍射的方便，光束经过单缝后在衍射场中的光场分布可以写成直角坐标的形式[16]：

(3)

式中：(x′,y′)，(x,y)分别为光源平面和观察平面的坐标，k为波数，z为衍射距离，a为单缝缝宽.从而可以得到衍射平面的光强和相位分布分别为[16]：

I(x,y,z)=E(x,y,z)E(x,y,z)*.

(4)

φ(x,y,z)=arg[E(x,y,z)].

(5)

根据菲涅耳衍射积分和拉盖尔-高斯光束场强分布，基于以上理论推导，当拉盖尔-高斯光束经过双缝后的衍射光场可以表示为：

(6)

式中：(x′,y)，(x,y)分别为光源平面和观察平面的坐标，k为波数，z为衍射距离，a为单缝缝宽，2m为双缝间距(如图1所示)，σ为光束的光斑大小,l为光束所带拓扑电荷数.其中

(7)

为衍射平面的相位.

图1 双缝衍射示意图

现在，我们考虑拉盖尔-高斯光束经过双缝衍射后的光强分布情况，其光谱强度可以通过下式来计算[16]：

I(x,y,z)=E(x,y,z)E(x,y,z)*.

(8)

2 数值模拟

将式(6)～(8)导入MATHCAD仿真平台，模拟出了拉盖尔-高斯光束照射双缝后的衍射图样(图2～图6).从图中可以清楚地看到：衍射图样是一组和狭缝平行且明暗交替分布的条纹，中央零级出现了两条光强相等的亮条纹(主极大)，且其强度远大于两侧亮纹(次极大)，而两侧亮纹随着条纹级数的增加，光强逐渐减小.

图2 a1=a2=0.3 mm，m=0.4 mm，z=1 m，σ=5 mm时，不同拓扑电荷数的衍射图样

图2讨论了不同拓扑荷值对衍射条纹光强分布的影响.从图中我们发现，对于同一个x值，沿着y轴正方向看去，当拓扑荷值n=-1 时(如图(a)所示)，衍射条纹从左向右发生了移动，且所有条纹中央光强减弱；当拓扑荷值n=1 时(如图(c)所示)，衍射条纹从右向左发生了移动，同样所有条纹中央光强减弱；而当拓扑荷值n=0 时(如图(b)所示)，衍射条纹是明暗相间的直线条纹，且条纹中央光强明显加强.可见拓扑荷值的大小和正负对衍射条纹的形状和光强能够产生一定的影响.

图3 a1=a2=0.3 mm，m=0.4 mm，n=1，σ=5 mm时,不同衍射距离值的衍射图样

图3讨论了衍射距离对衍射条纹光强分布的影响.从图3(a)～(c)可以观察到，随着衍射距离的增大，条纹间距也逐渐增大，条纹弯曲度越明显，即衍射现象越显著.由此可以判定，条纹间距跟衍射距离成正比，通过条纹间距的大小定性判断衍射距离的远近.

图4 n=1，m=0.4 mm，z=1 m，σ=5 mm时,不同狭缝宽度的衍射图样

图4讨论了狭缝宽度对衍射条纹光强分布的影响.从图4(a)～(c)可以看出，两狭缝宽度越小，衍射条纹越清晰，且条纹数目越多，即条纹扩展度越大.由此判定，狭缝宽度越小，条纹扩展度越大，衍射现象越明显.通过衍射条纹的扩展情况可以定性判断衍射狭缝的宽窄.

图5 n=1，a1=a2=0.3 mm，z=1 m，σ=5 mm时,两个狭缝间距值不同时的衍射图样

图5讨论了狭缝间距对衍射条纹光强分布的影响.图5(a)～(c) 是狭缝间距分别为 2m=0.4 mm，2m=0.8 mm 和2m=1.2 mm时的衍射图样，图中反映出狭缝间距越小，衍射条纹越清晰，即衍射现象越显著.通过衍射现象的清晰度或显著效应可以定性判断狭缝间距的大小.

图6 n=1，a1=a2=0.3 mm，m=0.4 mm，z=1 m,时，不同光斑大小的衍射图样

图6讨论了光斑大小对衍射条纹光强分布的影响.从图6(a)～(c)可以看出，光斑越小，衍射条纹的可见度越大，即光斑大小与条纹的可见度成反比.由此可知通过衍射条纹可见度的相对大小定性判断光斑的大小.

3 结论

讨论了拉盖尔-高斯涡旋光束通过双缝衍射后在光场中的条纹分布情况，探究了拓扑荷值、衍射距离、狭缝宽度、狭缝间距、光斑大小对条纹形状和光强的影响.结果表明，拉盖尔-高斯涡旋光束的双缝衍射图样是一组平行于狭缝的明暗交替分布的条纹，中央零级出现了两条光强相等的主极大亮条纹，两侧次极大亮纹的光强随着条纹级数的增加而逐渐减小.拓扑荷值的正负和大小对衍射条纹的形状产生了一定的干扰；衍射距离跟条纹间距成正比；狭缝宽度越小，条纹的扩展度也越大，衍射现象越明显；狭缝间距越小，衍射条纹越清晰；光斑越小，衍射条纹的可见度越大.