两个不等量异种点电荷静电场的研究及其应用

许冬保

（九江市第一中学，江西 九江 332000）

1 两个不等量异种点电荷静电场的研究

1.1 电场线与等势面分布图

在真空中，有两个不等量的异种点电荷.若取q1=2｜q2｜，借助于软件 MATLAB，可以得到其电场线与等势面分布图，［1］如图1所示（原图仅保留图形，参数及背景作了处理）.图1中，左边是正的点电荷，电荷量为q1，右边是负的点电荷，电荷量为-q2.图1相对于两个等量的异种点电荷的电场线与等势面分布图（图2）有很大的不同.电场线与等势面对两点电荷连线对称，对中垂线不对称.图1表明：从电荷量大的正电荷发出的电场线较多，到电荷量小的负电荷终止的电场线较少.等势线在接近电荷的地方类似于圆或椭圆，在较远处的等势线发生扭曲.

图1 两个不等量异种点电荷电场线与等势面分布图

图2 两个等量异种点电荷电场线与等势面分布图

1.2 两点电荷连线上场强与电势的分析

在两点电荷连线上研究电势与场强的变化规律具有实际意义与应用价值.

如图3所示，若q1=2｜q2｜=2q，令两点电荷之间的距离为l，静电力常量为k.为简单计，仅分析坐标原点右侧的情形.根据真空中场强及电势的计算公式及场叠加原理，可以得到

图3 两个不等量异种点电荷电场的分析

讨论如下.［2］

（1）在两点电荷之间的连线上，即（0＜x＜l）区域.

对（1）式求导数，有

当x≈0.558l时.因此，场强E有极小值.对应场强大小为

（2）在两点电荷连线外侧（图3中右侧），即（l＜x＜∞）区域.

对（2）式求导数，有

当x≈4.846l时因此，场强有极大值.对应场强大小为

令（4）式为0.得x=2l处，电势为0.

对（4）式求导数，有

可见，当E=0时，有

注意：若令（2）式为0，所得结果与之相同.以上结果表明，场强为0的点，相应的电势取极大值.

1.3 两点电荷连线方向上场强与电势随距离变化的图像

若取两点电荷连线为x轴，原点O在正点电荷处.综上分析，可以定性画出场强、电势随x变化的曲线.图4、图5所示.在图4中，取x正方向为场强方向.由图4可知：-∞＜x＜0，场强E随｜x｜减小而增大；0＜x＜l，场强E随x增大，先减小后增大；l＜x＜∞，场强E随x增大，先减小后增大再减小，存在场强E为0的点，并且场强E从0增大所能达到的峰值小于在0＜x＜l区域内的极小值.

图4 两点电荷沿连线方向上Ex图像

在图5中，无穷远处φ=0.由图5可知：-∞＜x＜0，电势φ随｜x｜减小而增大；0＜x＜l，电势φ随x增大逐渐减小，其中B点电势φ=0.A点对应场强E最小的点，其距离原点O的距离较B点近；l＜x＜∞，电势φ随x增大，先增大后减小，存在电势φ为0的C点，且D点电势φ最大.

图5 两点电荷沿连线方向上φx图像

综上，在x轴上，除无穷远处之外，存在场强E为0的点一处，且位于两点电荷连线之外靠近负电荷处（即在l＜x＜∞区域内）.同时，在l＜x＜∞区域内场强E为0的点电势最高；除无穷远处之外，存在电势为0的点有两处，一处在两点电荷连线之间靠近负电荷处（即在0＜x＜l区域内），另一处在连线外侧靠近负电荷处（即在l＜x＜∞区域内）.

1.4 两点电荷连线方向上场强为0处电场线的分布

如上所述，在两点电荷连线之外侧靠近负的点电荷处场强为0，场强为0的点没有电场线通过，但是该点之外存在电场，因此，场强为0的点是一个很特殊的“拐点”，如何画出该点附近的电场线呢？如图6（甲）所示，是大学电磁学［3］教材上的一幅插图，且正电荷所带电荷量是负电荷所带电荷量绝对值的两倍.图6（甲）中右侧电场线分布4个箭头，其含义是场强为0的“拐点”处电场线分布的多样性.为便于分析实际问题，基于高中学生的认知水平，将图6进行编辑，得到如图6（乙）、（丙）所示的图形.

图6 不等量异种点电荷电场线分布图

2 实例分析

2.1 作为电场中一般性问题进行考查

例 1.（2020 届 湖北省华师一附中高三下学期4月测试题）如图7所示，实线为两个点电荷Q1、Q2产生的电场的电场线，虚直线cd为Q1、Q2连线的垂直平分线，O为垂足，c、d两点在垂直平分线上且关于Q1、Q2连线对称.一电子只在电场力的作用下从a点沿虚曲线途经O点运动到b点.下列说法正确的是

图7 电子在电场中运动轨迹图

（A）Q1的电荷量小于Q2的电荷量.

（B）c、d两点的电势相同，场强相同.

（C）电子过O点时的加速度大于过a点时的加速度.

（D）电子在O点时的电势能小于在a点时的电势能.

解析：根据题图7所示的电场线的分布，可知两电荷为不等量异种电荷，且Q1的电荷量大于Q2的电荷量，选项（A）错误；由电场线对两电荷连线上、下分布的对称性知，c、d两点的场强大小相等，方向不同，但c、d两点的电势相等，选项（B）错误；电场线的疏密程度表示场强的弱强，EO＞Ea，电子仅受电场力，由牛顿运动定律可知电子过O点时的加速度大于过a点时的加速度，选项（C）正确；电子带负电，电子所受合外力指向轨迹的凹侧，所以Q1带正电，Q2带负电.作出通过O点的等势线，可知该等势线在a点与电荷Q1之间，因此，电子由a点至O点电场力做正功，电势能减少，选项（D）正确.综上，正确选项是（C）、（D）.

点评：试题取材两个不等量异种点电荷电场线分布图，讨论有关静电场的基本问题.该题不涉及场的分布特点，属简单题.主要考查理解能力及简单的推理论证能力.

此地为“丝绸之路”之要道。早在2800多年前，这里就有人类繁衍生息，在这样一个充满历史记忆和特殊人文地理的地方，如何以艺术的方式进一步阐释其文化诉求，并拉动区域经济和文化资源，是摆在我们面前的问题。因而，实现这一构想，找到阐释这一构想的切入点，就成为决定事情成败的关键。因此，专家团在县领导的引导下，数次进行了实地考察。

2.2 对两点电荷之间连线设问考查

例2.（2020年江西九江第一中学模拟试题）在x轴上有两个点电荷Q1和Q2，二者之间连线上各点的电势高低变化曲线如图8所示，若选无穷远处电势为0.以下结论正确的是

图8

（A）Q1为正电荷、Q2为负电荷.

（B）从A到B场强一直减小.

（C）P点的电场强度为0.

（D）Q1和Q2之间连线上P点场强最小.

解析：由φx图像知，沿x方向从A到B，电势由正值变为负值，一直在降低，且P点的电势为0.因此，场强方向由A指向B；Q1为正电荷、Q2为负电荷.由图像还可以得到：图线斜率的绝对值先减小后增大，该斜率大小表示场强大小.因此，从A到B沿x方向，场强先减小后增大，P点不是场强最小的点.综上，正确选项是（A）.

点评：本题对两个不等量异种点电荷连线之间电场的性质进行考查.分析的关键在于理解φx图像中某点切线斜率的绝对值表示场强大小，即而场强方向由电势的升降来确定.对照图5还可以分析得到，Q1电荷量大于Q2的电荷量.在一些辅导资料中，由于图8曲线画法的错误，致使选项（D）选择的错误（认为（D）正确）.试题主要考查理解能力与推理论证能力.

2.3 对两点电荷连线外侧设问考查

例3.（2017年江苏高考物理试题）在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图9所示.下列说法正确有

图9

（A）q1和q2带有异种电荷.

（B）x1处的场强为0.

（C）负电荷从x1移到x2，电势能减少.

（D）负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大.

解析：由题图9并结合图5可以得知，在两个点电荷中，分布在x轴上左侧的电荷量较大，且为正电荷.如上所述，φx图像某点切线斜率的绝对值表示场强大小，因此，根据电势的变化率可以确定x2处的场强为0；负电荷从x1移到x2，逆着电场线方向运动，电场力做正功，电势能减少；该过程中，负电荷受到的电场力减小.综上，正确选项是（A）、（C）.

点评：该题考查的是两个不等量异种点电荷连线外侧电场的有关性质.由于x轴上x1处电势为0，x2处场强为0，据此找到x1-x2之间的电场线的分布以及场强的变化规律.试题主要考查理解能力与推理论证能力.

2.4 对两点电荷连线之内外侧同时进行设问考查

例4.（2018年9月清华大学中学生标准学术能力测试题）在x轴上的O、M两点固定两个电荷量分别为Q1和Q2的点电荷，规定无限远处电势为零.一带负电的试探电荷在x轴上各点所具有的电势能随x发生变化的关系图线如图10所示，其中试探电荷在A、B两点的电势能为0，在BD段中C点电势能最小，则下列说法中正确的是

图10

（A）Q1的电荷量大于Q2的电荷量.

（B）Q1为负电荷，Q2为正电荷.

（C）试探电荷在由B到C的过程中加速度逐渐增大.

（D）试探电荷由B运动到D的过程中，在C处的速度最大.

解析：为方便分析，取试探电荷的电荷量为-1C，则图中描述的是电势φ随x变化的规律（注意图线对x轴上、下翻转）.由于A点电势为0，且图中OA间距较AM较大，则Q1电荷量较大，且Q1为正电荷，Q2为负电荷.由于电势变化率的值等于场强大小，在x轴上由B至D，场强先减小后增大，显然，C处对应的场强为0，C处两侧场强的方向相反.即BC段对应的场强方向向左，CD段场强方向向右.带负电的试探电荷在由B到C的过程中加速度逐渐减小.带负电的试探电荷由B运动到D的过程中，电场力先做正功后做负功，故在C处试探电荷的速度最大.综上，正确选项是（A）、（D）.

点评：该题以带负电的试探电荷的Epx图像为情境，比较全面地考查两个不等量异种点电荷连线上电场的变化规律，要求能将Epx图像转化为φx图像.对理解能力、模型建构能力及推理论证能力的要求较高.