高中生数学问题解决过程中的情绪因素

付婉迪，尹弘飚

高中生数学问题解决过程中的情绪因素

付婉迪，尹弘飚

（香港中文大学 教育学院，香港 999077）

将数学解题的认知过程和情绪过程相结合，利用波利亚四阶段理论划分认知过程，聚焦于解题过程中的情绪因素．研究结果表明，在理解阶段，常规题使学生产生积极情绪（如喜悦），非常规题产生消极情绪（如焦虑）；在计划阶段，适当的焦虑促进数学问题解决，能否完成解题取决于认知和元认知；在执行阶段，消极情绪唤醒学生转变解题阶段，由执行阶段转到计划阶段或者理解阶段，最后寻求解题策略的转变，转向低层次认知策略；回顾阶段使学生产生积极情绪，促进相似数学问题解决，有意义的回顾阶段需要学生具备必要的知识、技能、元认知等特质．

情绪因素；数学问题解决；高中生

1 问题提出

伴随着全球化的推进，中国为了加强在国际上的竞争力，过去30年来的教育改革一直致力于提高学生的学习成果[1]．2014年以来，以“核心素养”为主题词的全球教育改革趋势如火如荼[2]．2016年9月，《中国学生发展核心素养》提出“三个方面、六大要素、十八个基本点”的核心素养框架[3]，随之开始了在“核心素养”指导下的教育事业发展[4]．其中，问题解决能力成为高频出现的核心素养关键词[2]以及数学素养发展的焦点[5]．

大部分数学问题解决研究都是从波利亚理论出发，在认知理论的框架下进行，很少关注其中的情绪问题，同时缺乏合适的理论视角[6]．McLeod给出了数学问题解决过程中情感因素的理论框架，将情感分为信念、态度和情绪．其中情绪反应最强烈、最容易改变，受意识、思维的控制也最少．相对于情绪而言，信念和态度更为稳定和根深蒂固．情绪的重复反应可能会形成稳定的态度和信念．与情绪不同，信念不是对特定情况的快速反应．信念的形成受社会文化环境、个人经验等的影响，而态度则较多受环境状况的限制．信念、态度和情绪都可以是积极的，也可以是消极的[7]．数学焦虑、自我效能感、成败归因、数学动机等都属于情感领域范畴．

接着，学者们相继给出了关于情感概念的解释，也有越来越多的研究将认知和情感相结合，对数学解题过程中的情感因素进行探讨．Goldin将认知表征系统和情感表征系统相结合，给出了数学问题解决过程中的情感路径[8]．Op’t Eynde和Hannula进行了个案研究，展示了学生在数学解题过程中的情绪波动图[9]．Tornare、Czajkowski和Pons在量化研究的基础上给出6种情绪在数学问题解决过程中的变化，强调元认知体验是所有情绪的重要预测因子[10]．Muis等研究发现，控制和价值是学生认知和情绪的重要前因变量，认知和活动情绪能够预测学生自我调节学习过程中所采用的认知加工策略类型，这些策略与问题解决绩效成正相关[11]．Honicke和Broadbent指出，自我效能感、学业表现、认知和动机变量之间的相互作用受到中间调节因素（努力调节、成就目标、深层次认知加工策略）的作用[12]．Ramirez及其同事的研究表明：数学焦虑和数学成绩之间呈负相关，高水平认知能力的学生处于数学焦虑状态时，会避免使用高阶问题解决策略，造成学业表现差于低水平的同伴[13]．Efklides认为，情绪在自我调节学习过程中与认知、元认知相互作用，认知情绪取决于认知状态，并与元认知体验密切相关[14]．

中国学者对数学学习中的情感因素也进行了不少研究．林炜和尹弘飚指出：积极的数学情感有助于降低认知负荷，减轻数学焦虑，实现数学情感与数学认知的整合[15]．熊俊梅等人对464名高中二年级学生的问卷调查表明：数学成绩与消极情绪呈显著负相关，与元认知学习策略、数学自我概念、积极情绪呈显著正相关；积极情绪与认知、元认知策略呈显著正相关，消极情绪则相反；情绪、学习策略、自我概念和环境因素可显著预测数学学业成就[16]．陈京军等通过问卷调查了370名初中生，发现数学学业情绪存在显著的年级差异（除消极高唤醒情绪外）和性别差异（除积极高唤醒情绪外）；数学学业成就通过个体对学业的主观评价（即数学学业能力自我概念）这一中介，显著影响着初中生的数学学业情绪[17]．徐速和魏秋羽调查了高中生的数学厌倦情绪，并通过访谈分析其所处的课堂环境，其结果表明：高中生数学厌倦情绪与数学学业成就呈显著相关，而影响高中生数学厌倦情绪的课堂环境变量有知识挑战性、教学风格、课堂氛围[18]．王宏和张守臣依据中国学生的特征修订了葡萄牙的小学数学学业情绪问卷．他们发现，小学生的数学情绪体验具有情境性．在课堂情境和测验情境中，消极数学学业情绪和积极数学学业情绪内部呈非常显著正相关，但这两种类型的数学学业情绪之间则存在显著的负相关（除放松学业情绪）；在测验情境中，愉悦与放松显著不相关，骄傲与放松显著相关，此外放松与各消极数学学业情绪正相关[19]．蒋舒阳等人调查了1 064名高中生，发现高中生数学能力实体观对数学学习投入具有显著影响．在这种关系中，学业自我效能感和厌倦发挥着显著的中介效应[20]．

已有关于数学学习情绪因素的研究大多采用量化的问卷调查法，聚焦在“数学学业情绪”问卷编制及其与数学学习成果、数学学业影响因子之间关系的探讨上，极少有通过质性研究方法，对具体解难情境中情绪因素的作用进行的深入、微观的分析．研究者拟在上述方面做出突破．具体来说，将回答以下3个问题：（1）高中生在数学问题解决过程中的情绪体验是怎样的？（2）情绪在数学问题解决过程中起到什么样的作用？（3）在数学问题解决过程中，情绪产生作用的原因是什么？相关发现有助于分析数学问题解决能力这一核心素养的内涵和特征，理解高中生数学解难行为，并为改进教师的数学教学和学生的数学学习提供理论依据．

2 理论基础

数学问题解决的过程既是认知过程，也是情绪过程，而情绪受个体认知评价的显著影响．研究者旨在聚焦数学解题的情绪因素．研究的理论框架（见图1）将认知过程和情绪过程相结合，以坐标轴的形式呈现：横坐标表示认知过程，以时间为计算单位，按照波利亚解题4个阶段进行划分；纵坐标则表示情绪过程，纵坐标的正方向表示积极情绪，负方向则表示消极情绪．

图1 理论框架

从认知理论出发，选择波利亚解题“四阶段理论”[21]来分析认知过程，将解题过程分为理解题目、拟定方案、执行方案和回顾4个阶段．早期的数学解题研究多在波利亚的认知框架下进行，后来关于自我调节学习过程、元认知过程的相关研究，也与波利亚数学解题四阶段理论相差甚小．

就情绪分析而言，Op’t Eynde和Hannula对被试学生情绪变化的图示分析虽然清晰明了，但问题在于情绪是一种瞬间的、变化性的情感状态[9]，难以量化．参考Johnstone、van Reekem和Scherer[22]的研究，通过观察、聆听和记录被试学生语言、声音和表情的状态、变化及其持续时间，通过“情绪柱”的方式呈现被试学生在数学解题过程中的情绪体验（详情见3.5）．

在分析相关文献的基础上，归纳整理了数学解题过程中情绪的影响因素，包括数学动机、成就目标、成败归因、自我效能感[12，17，20]、数学焦虑[13]和元认知[10，14，16]，并将从以上影响因素的角度，探讨情绪对各个解题阶段产生相应作用的原因．

3 研究设计

3.1 研究方法

采用质性为主的混合研究设计，主要运用观察法和访谈法，辅以问卷调查，选样时则遵循目的性抽样原则[23]．作为一项质性为主的小规模研究，旨在对参与者的解题过程进行深入、细致、整全的解释性诠释，而不是在量化研究的意义上进行推广[24]．相关发现和结论可以为后续大规模量化研究的设计与实施提供启示．

3.2 研究对象

研究者挑选了6位上海往届高考生作为研究样本，突显参与者的典型性和差异性．往届高考生经历过高强度、系统性的数学知识复习，也参加过激烈的高考，数学认知能力稳定固化，数学情绪体验丰富饱满；另一方面，与应届的高三学生相比，他们的自由时间更多，更愿意配合研究．此外，这6位参与者来自于研究者曾经课外辅导过1～3年的学生，寻求课外辅导的学生往往遇到过自己无法克服的学习障碍，数学情绪体验复杂深刻．

研究者将参与学生的高考学业成绩，及其所在学校的类别进行了差异化设定，以此来尽可能覆盖研究现象中的不同情况．6位参与学生的基本情况如下：90分段以下的学生1位，来自区重点高中；90～110分段的学生2位，分别来自市重点高中和普通高中；110～120分段的学生2位，都来自市重点高中；120以上分段的学生1位，来自市重点高中．

3.3 研究工具

3.3.1 解题动机问卷

动机问卷（on-line motivation questionnaire）[25-27]是个体对特定任务的评价，比如能力、吸引力、学习意向和情绪状态，这与传统的成就动机将情境定向排斥在外相区别，能够获取个体在实际操作过程中的判断．问卷共7个项目，问题解决者需要从7个维度判断描述评估过程的结果：（1）觉得自己多能胜任这项任务；（2）这项任务的学习相关性如何；（3）对成功的预期程度；（4）认为教师对该任务相关性的评价；（5）对其他同学成功解题的预期程度；（6）认为任务是否具有吸引力；（7）认为任务的难度．问卷计分利用李克特5点量表赋值，选项分为“非常同意”“同意”“不一定”“不同意”和“非常不同意”，依次记5～1分．

3.3.2 测试问题

数学测试题共4道，是从上海高三数学第一次模考和高考真题试卷中挑选出来的．前3道是排列组合的常规题，排列组合的公式应用灵活，知识点与问题解决联系紧密[28]，这3道题的考点相关联，难易程度依次递增．第四道是数列新定义的探究题型，需要学生的高阶思维，是非常规题型．

4道测试题：（1）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有；（2）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是；（3）将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是；（4）在由正整数构成的无穷数列{a}中，对任意的ÎN*都有a≤+1，且对任意的ÎN*，数列{a}中恰有个，则2016=．

3.4 研究程序

数学题测试过程如下：学生浏览数学测试题并填写解题动机问卷，紧接着开始解题，学生被要求出声思维（think aloud），研究者对整个过程进行录音，并观察参与学生的表情、声音、语言和情绪及其变化．解题完毕，研究者对参与学生进行访谈，围绕参与者在做题停顿、情绪波动时的想法和感受及其填写的问卷情况进行．

3.5 数据分析程序

如前所述，情绪是一种瞬间的、变化性的情感状态，很难进行测量和判断．为了解决这个问题，研究者将通过参与学生的语言、声音和表情对其解题过程中的情绪状态进行解释．声音模式（如停顿、语调、语言信息等）可以表达特定的情绪，是观察情绪过程的指标[22]．同时，面部表情、身体动作也是情绪过程的可观察指标[29]．

研究者使用情绪柱呈现学生解难过程中综合的情绪反应，因为它能够直观地展示学生解难过程中那些外显、可察觉的情绪变化．以学生5在题4计划阶段中的情绪表现为例（见图2），该生先双手摸头、揉头发，眉头紧皱、语气低沉地说出“好烦啊！”这很明显地表现出他此刻的焦虑情绪，但该生的语气较弱、语调下压，由此判断该生的焦虑情绪并不强烈，故图中的情绪柱略短．紧接着，他的表情有所舒缓，且根据研究者记录的时间表明延续时间较短，从而确定了情绪柱的宽度．此外，研究者会依据情绪本身的属性（积极或消极），确定情绪柱在正、负两个区域的位置．为了最大程度地保证情绪观察的客观性，两位作者分别判断，对比讨论后取得共识．

图2 数学情感的理解阶段和计划阶段

4 研究结果与分析

4.1 数学解题理解阶段情绪因素

在数学问题解决的理解阶段，常规题让参与学生产生积极情绪，然而在接下来的解题过程中依旧会体验到消极情绪（如焦虑等），但理解阶段的积极情绪通常预示着参与学生能够完成解题过程．学生2、学生4都在常规题1的理解阶段出现积极情绪，并完成解题过程得到正确答案．在此阶段，非常规题使参与学生产生消极情绪，然而消极情绪对参与学生能否完成解题没有必然影响．图2显示，学生1、学生5在非常规题4的理解阶段都产生了焦虑情绪，解题结果却截然不同，因此表现出的情绪过程也大相径庭．

在理解阶段，参与学生的情感（如情绪等）受常规题和非常规题的影响，这是因为常规题的知识点和解题方法是学生熟知的．即使对常规题没有很好的理解，也能够机械地完成解题，然而非常规题需要高阶思维等深层次的认知策略，会出现无法完成解题过程的情况．在高考的大环境下，参与学生都是以成绩目标、掌握回避目标为导向，常规题使他们产生能够完成、可以得分的积极情感体验，增强自我效能感，非常规题则相反．此外，数学问题解决的情绪过程还受很多因素的影响．例如，学生1和学生5都产生了焦虑情绪，然而解决非常规题4的结果却不一样．这也体现了数学问题解决过程中情绪因素的复杂性．

4.2 数学解题计划阶段的情绪因素

在计划阶段，高强度的焦虑可能会导致参与者放弃解题，然而，低强度的适度焦虑促进问题解决．根据图2，学生1、学生5的焦虑情绪在题4的理解阶段出现，在计划阶段增强，学生1在产生高强度焦虑后，没有解题认知思路而放弃；相反，学生5则在低强度焦虑状态下继续思考．这是因为焦虑情绪破坏认知记忆能力，认知超负荷会造成解题困难[30]，所以学生1和学生5都在计划阶段遇到解题障碍．然而，认知能力同时可以调节压力以及压力事件[31]，学生5的深层次认知能力优于学生1，所以该学生控制和管理压力及情绪的能力也优于学生1，在此题的理解、计划阶段花费的时间更长，接近学生1的3倍，最后得到正解．

4.3 数学解题执行阶段的情绪因素

在数学解题的执行阶段，消极情绪（如焦虑等）不会使参与者立刻放弃解题，相反，参与者会继续尝试，转变解题阶段．根据图3，解题阶段的转变是从首次执行阶段尝试的失败开始，可能的情况是：（1）转变到计划阶段，紧接着再到执行阶段，如果没有得到正解，会在两个阶段之间转换，如果想出解题思路，则会完成解题；（2）由执行阶段转变到理解阶段，接着继续完成解题过程．

高考影响下的参与学生以成绩目标为导向，有很强的外部动机．同时，参与学生将学业成绩既归因于努力，又归因于能力，在遇到困难时，愿意付出努力[32]，愿意不断尝试解题阶段的转变，以求正解．此外，学生坚持解题的意愿也有可能来自于内部动机，比如兴趣、挑战等．毋庸置疑，此处结论在一定程度上揭示了共性的现象．

如果多次数学解题阶段转变失败，个体的焦虑情绪会到达峰值（见图2情感柱），并寻求解题策略的转变，转向更低层次的认知策略（如数数等）或低频率的解题方法，消极情绪开始缓解．图3中，学生5解决题4表明，如果焦虑情绪出现在执行计算的过程中，个体则会转变计算策略．这是因为高水平数学焦虑状态的出现，会使问题解决者避免使用高阶问题解决策略[13]．此外，相比于解题阶段的转变，解题策略的转变能更好地缓解个体的消极情绪．

在经历过解题阶段或策略的转变后，如果个体仍无解题思路而选择放弃，放弃前会产生高水平的焦虑情绪，放弃后焦虑情绪会持续并减弱．

此外，一道题被视为常规题或非常规题是因人而异的．与学生2解题2相比，学生3做较简单的题1，所用时间更多、情绪体验更复杂，显然常规题和非常规题与个体对题型的掌握、熟悉程度密切相关．

图3 数学情感的执行阶段

4.4 数学解题回顾阶段的情绪因素

参与研究的学生往往不会进入问题解决的回顾阶段，然而一旦进入此阶段，会体验到积极情绪，这种情绪会促进相似数学问题的解决，获得认知层面的进步．

如图4，学生4解决问题2时，因遗忘公式而在计划和执行阶段情绪焦虑，而后忆起公式，完成解题过程，收获积极情绪．接着，该生进入回顾阶段，思考前3个阶段的数据和决策，吸收解题路径[33]，表现喜悦．完成题2能为解决题3做准备，在题2回顾阶段的助力下，该生在题3的理解阶段便对题2和题3的联系和区别进行了分析，并在后续的解题阶段中很顺利地得到正确答案．解题动机问卷显示，与解答题2相比，学生4表现出更强烈的自信和动机能够成功地完成题3．然而，题3比题2的难度要大，考点和解题步骤要多．由此可见，问题解决过程中的回顾阶段不仅能够使参与者获得积极情绪，也能够增强参与者的认知．

回顾阶段的进入需要学生具备必要的知识、技能、认知能力等特质．图3表明，学生2在解决题2时，随着情绪体验逐渐趋向消极，重复了计划和执行的解题阶段，最后转变解题策略，得到正确答案，体验到积极情绪，接着开始解决题3，并没有进入题2的回顾阶段．在题3的理解阶段，学生2没有发现题2和题3之间的异同．解题动机问卷显示，该学生对题2和题3的动机情感没有发生任何的变化．在接下来的解题中，学生2持续了高强度的焦虑情绪，多次尝试后无果，最终放弃了解决题3．

图4 数学情感的回顾阶段

与学生4不同，学生2在完成题2是采用低层次的认知策略（如画图等），他的知识掌握程度、解题技巧低于学业表现，没有意识和能力使用深层次认知策略[34]，在这种情况下，期望学生2能够进入解题回顾阶段是不可能的．学生2受“大鱼小塘效应”[35]的影响，自我效能感很高，然而缺乏必要的知识和技能，使其学业表现受到影响[36]．学生4有着高强度的数学焦虑、考试焦虑，进入回顾阶段也是该学生减轻消极情绪的途径．研究如实描述学生2和学生4在回顾阶段的情绪过程及其解题状况，揭示情绪过程中的某些影响因素（如认知能力等）起作用的复杂性，为大规模量化研究提供启示．

5 讨论与结论

研究者将数学问题解决的认知过程和情绪过程相结合，聚焦于高中生解题过程中的情绪因素．研究结果表明：参与者在数学问题解决过程中有着复杂的情绪体验；包括情绪、动机、归因及效能感等在内的情感因素在参与者解题过程中扮演着重要作用，对数学问题解决具有预测性[16，20，37]．

在数学解题理解阶段，常规题使参与学生产生积极情绪（如喜悦），非常规题产生消极情绪（如焦虑）．高考学生是成绩目标导向、掌握回避目标导向的，常规题比非常规题更易完成，知识挑战性较小，更易获得自我效能感，这与徐速和魏秋羽的研究结果一致[18]．然而，数学问题解决中的情绪过程具有复杂性，且数学解题理解阶段的积极或消极情绪与参与者能否最后完成解题没有必然的联系．此处结论在一定程度上揭示了共性的现象．

在数学解题计划阶段，高强度的焦虑使参与学生放弃解题，这与McMillian关于高强度焦虑因破坏认知而造成个体放弃解题的研究结论相一致[30]．不过，适度的焦虑促进数学问题的解决．参与者的认知能力、认知策略、情绪控制和管理等都能够调节焦虑情绪，从而作用于认知，问题最终能否解决取决于认知和元认知．

数学解题的执行阶段，消极情绪（如焦虑等）使参与学生转变解题阶段，可能是由执行阶段转变到计划阶段，并在两个阶段之间转换，也可能由执行阶段转变到理解阶段．高考影响下的被试学生以成绩目标为导向，有很强的外部动机，同时将学业成绩归因于努力和能力，在解题受挫的情况下能够继续坚持，多次尝试，这符合成败归因和成就目标理论．解题转变的失败会带来消极情绪的增强，最后转变解题策略，转向低层次的认知策略（如数数等）或者其它计算策略，这与Muis关于高强度数学焦虑导致个体避免使用高阶问题解决策略的研究结论相一致[11]．同时，相比转变解题阶段，解题策略的转变更有效地缓解个体的消极情绪．常规题与非常规题因参与学生对知识点的掌握熟悉程度而异．

回顾阶段能够使参与学生产生积极情绪，并促进相似数学问题的解决，使参与学生获得信心和满足感[38]．然而，有意义的回顾阶段源于参与学生具备必要的知识、技能、认知和元认知能力等特质，相反，参与学生往往不会进入解题回顾阶段．

研究者旨在对参与者的解题情绪过程进行深入、细致、整全地解释性诠释，不在量化意义上进行推广．研究的相关发现和结论可为量化研究提供借鉴．若把多种情绪因素放在一起综合分析，不难发现：影响个体数学问题解决的原因可能大相径庭，个体之间存在明显差异，但有一点是共同的，即情绪因素显著地影响学生的数学问题解决．之所以如此，原因在于，认知与情绪均是整体心理机制的组成部分，二者融为一体，在问题解决过程中相互影响、密不可分[10]．因此，情绪、动机、效能感等情感因素会积极参与到学生的数学问题解决过程之中，同时又扮演着认知处理的风向标、阻碍物以及助推器的角色．

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Senior High School Students’ Affects in Their Mathematics Problem-Solving

FU Wan-di, YIN Hong-biao

(Faculty of Education, Chinese University of Hong Kong, Hong Kong 999077, China)

This study aims to investigate the role of affect in mathematics problem-solving processes, which are divided by Polya into four stages, thereby incorporating cognitive and affective processes. The results showed some complicated patterns. In the understanding stage, routine problems caused positive emotions in the students, but nonroutine problems generated negative emotions. In the planning stage, an appropriate level of anxiety could promote mathematical problem solving. Whether mathematical problems could be solved depended on both cognitive and metacognitive factors. In the enactment stage, negative emotions aroused students to change their problem-solving tracks, from the enactment to the planning or the understanding stage, finally transforming problem-solving strategies to low-level cognitive strategies. In the evaluation stage, students usually felt positive emotions, which facilitated their use of similar mathematical problem-solving strategies in the future. Nevertheless, meaningful evaluation entailed students’ characteristics such as knowledge, skills, and metacognition.

affects; mathematics problem-solving; senior high school students

G632.4

A

1004–9894（2021）06–0001–07

付婉迪，尹弘飚．高中生数学问题解决过程中的情绪因素[J]．数学教育学报，2021，30（6）：1-7．

2021–07–01

香港研究资助局一般项目资助——多元视角下中国大学生数学学习投入追踪研究（CUHK 14618118）

付婉迪（1990—），女，湖北荆门人，硕士生，主要从事数学教育研究．

[责任编校：陈汉君、陈隽]