永磁直线同步电动机改进全局滑模变结构控制研究

刘春芳, 于 婷

(沈阳工业大学 电气工程学院，辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

精密化、高速化、智能化是数控机床等加工制造业发展的必然趋势[1]。永磁直线同步电动机(PMLSM)具有功率密度大、控制精度高、响应速度快、可重复性好等性能特点，其在高精尖直线进给系统中有着旋转电动机无可比拟的优势[2]。但是PMLSM直接驱动负载和结构上的端部效应等问题均限制了其控制系统的鲁棒性。

近些年，国内外学者对PMLSM采用自适应控制、反馈线性化、滑模控制(SMC)、反步法、模糊控制法等控制策略[3-4]。其中，SMC具有算法简单、鲁棒性好和可靠性高等优点，经常用于非线性系统的控制。在PMLSM的实际控制中，希望系统状态能够在控制器的作用下尽可能快地到达目标位置，实现系统的快速收敛。要实现系统状态的有限时间收敛，关键在于设计合适的滑模面[5]。文献[6]将动态面与反步控制相结合, 为实现PMLSM位移跟踪误差在固定时间内收敛，提出了一种基于固定时间干扰观测器的动态面反步控制方法，该方法通过构造固定时间收敛观测器对系统的非匹配不确定项和匹配不确定项进行观测估计。文献[7]提出了一种改进快速终端SMC方法，解决了线性SMC PMLSM不能实现有限时间控制以及终端SMC不能实现快速收敛的问题。文献[8]中提出了全局滑模控制(GSMC)方法，该方法通过设计一个动态非线性滑模面来消除SMC的趋近模态，使系统在响应的全过程中均具有鲁棒性、快速性。

GSMC中的动态滑模面是由线性滑模面方程和非线性函数项组成，非线性函数项一般设计为单调的指数衰减形式。当系统状态靠近零点时，收敛时间主要由线性滑模面决定;当系统状态远离零点时，收敛时间主要由非线性函数项决定。因此可通过调节指数衰减参数来改变滑模面演化速度，但参数的调节能力有限[9]。本文提出改进快速收敛的GSMC方法，该方法中非线性滑模面衰减函数由3个指数函数项组成一阶可导函数，动态滑模面可在有限时间内演化为线性滑模面, 从而加快系统的响应速度。最后，通过MATLAB/Simulink软件建立的仿真试验系统对PMLSM伺服系统进行试验验证，结果表明所提方法具有良好的控制性能。

1 PMLSM数学模型

假设PMLSM的反电动势是正弦的，不考虑磁饱和，忽略磁滞损耗、涡流损耗和阻尼作用等影响。在同步参考坐标系下，PMLSM的电压方程和磁链方程表示为[10]

(1)

(2)

式中:ud、uq、id、iq、Ψd、Ψq、Ld、Lq分别为d、q轴的电压、电流、磁链和电感；Rs为电阻；v为线速度；Ψf为永磁体磁链。

电磁推力方程表示为

(3)

式中:Fe为电磁推力；p为磁极对数。

在表贴式PMLSM中，有Ld=Lq，则Fe简化为

Fe=Kfiq

(4)

其中，电磁推力系数为

(5)

PMLSM的运动方程为

(6)

式中:M为动子总质量；F为系统总扰动，包括参数变化、外部扰动和摩擦力等；B为黏性摩擦因数。

由式(1)～式(6)整理得系统数学模型表达式为

(7)

PMLSM的控制系统结构图如1所示。

图1 PMLSM控制系统结构图

2 改进GSMC设计

2.1 GSMC设计

对于PMLSM伺服系统而言，所设计的速度控制器需要在系统不确定性因素存在的情况下，仍能实现对参考速度精准跟踪控制。为此定义vm为理想速度，v为实际速度，速度跟踪误差为e=vm-v。

PMLSM状态变量为[11]

(8)

(9)

(10)

(11)

为使系统在响应全过程均具有鲁棒性,全局滑模面函数设计为

(12)

其中c>0, 满足Hurwitz条件[12]。h(t)应满足的3个条件为

(2)t→∞时，h(t)→0；

(3)h(t)具有一阶导数。

根据上述条件,将h(t)设计为按指数单调衰减的函数形式,即:

(13)

式中:α>0。

由此可得系统的动态滑模面为

(14)

其中，c必须满足Hurwitz条件，即c>0。这样,当t=0时,s=0，即可保证所设计的动态非线性滑模面可通过系统的任意初始状态,由此消除了SMC中的趋近模态。只有当t→∞时，h(t)→0，系统的动态非线性滑模面才能最终演变为线性滑模面，并通过原点。

式(13)两边同时对时间t求导可得：

(15)

即有：

(16)

将式(9)代入式(15)得:

(17)

采用等速趋近律时，有：

(18)

式中：ε为等速趋近律的参数,ε>0。

综上求得等速趋近律GSMC的控制律为

(19)

PMLSM速度跟踪伺服系统的原理框图如图2所示。

图2 PMLSM速度跟踪伺服系统的原理框图

2.2 改进GSMC设计

为了进一步加快演变速度，实现系统快速响应，将h(t)改进为

(20)

式中:tz为动态滑模面演变为线性滑模面的时间。

由此可得系统的动态滑模面为

(21)

对式(21)求导得:

(22)

式中：A,B和C为常系数。

通过选取合适的参数,可使h(t)能够在有限时间内快速衰减至0,由此可使动态滑模面快速演化为线性滑模面。

所设计的动态滑模面仍然需要满足上述3个约束条件。根据条件(1), 衰减函数的初值应满足A+B+C=1。为使所设计的动态滑模面能够在有限时间tz内演化为线性滑模面可令h(tz)=0，由此求得

(23)

(24)

为了满足条件(3)，h(t)在点t=tz的左导数必须等于右导数，即h′-(tz)=h′+(tz)=0,由此可得:

h′-(tz)=h(0)[C(α2-α)e-(α+α2)tz+

C(α-α1)e-(α+α1)tz+

(1-C)(α2-α1)e-(α1+α2)tz]×

[e-α2tz-e-α1tz]-1=0

(25)

这样，式(25)中的参数应满足:

(1-C)(α2-α1)e-(α1+α2)tz+

C(α-α1)e-(α+α1)tz+

C(α2-α)e-(α+α2)tz=0

(26)

(Aα1e-α1t+Bα2e-α2t+Cαe-αt)]

(27)

选取Lyapunov函数为

(28)

对式(28)求导，并化简得:

s(-εsgn(s))≤-εs2<0

(29)

3 仿真研究

为了验证本文设计的改进GSMC的有效性，采用MATLAB/Simulink软件建立的仿真试验系统。将SMC、GSMC与改进GSMC的性能进行了对比。仿真采用美国Kollmorgen公司生产的IC11-050系列PMLSM，具体参数为,Ld=Lq=41.4 mH，M=16.4 kg，τ=32 mm，Rs=2.1 Ω，Kf=50.7 N/A，p=3，Ψf=0.09 Wb，B=8.0 N·s/m。滑模参数设置：c=30，ε=25，全局滑模参数设置：x1(0)=0.35，x2(0)=-9，c=25，α=1 000，ε=27。改进全局滑模参数设置：x1(0)=1.3，x2(0)=-10，α=1 300，α1=20，α2=10，c=7.5，ε=26，tz=0.004 5，A=1.026,B=-0.526，C=0.5。

PMLSM空载起动，初始线速度为0.3 m/s，d轴电流给定值为0 A。PMLSM动子质量为额定值，SMC、GSMC和改进GSMC方法下的速度响应曲线如图3所示，SMC上升时间为0.05 s,GSMC上升时间为0.04 s,改进GSMC上升时间为0.013 s，改进GSMC比SMC和GSMC上升时间短，说明改进GSMC具有更好的动态响应性能。

由图3中三种控制策略下加入扰动时系统速度响应曲线的局部放大图可知，在t=0.5 s时对系统突加阶跃负载阻力FL=200 N，与另外两种控制策略相比，改进GSMC的鲁棒性更强，系统跟踪误差波动更小，恢复稳态的时间更短，证明改进GSMC具有更强的抗干扰能力。因此，改进GSMC控制策略对负载干扰和系统参数变化的鲁棒性更强，系统能在更短时间内恢复稳定，且超调很小，满足了直接进给伺服系统对抗干扰能力的要求。

图3 阶跃信号下基于负载扰动的PMLSM速度响应曲线

图4是基于SMC的速度误差曲线，速度误差约在-40～30 μm/s之间；图5是基于GSMC的速度误差曲线，速度误差约在-20～20 μm/s之间；图6是基于改进GSMC速度误差曲线，速度误差约在-16～18 μm/s之间。对比以上三种控制方法策略，说明在只用SMC控制下有一定的控制效果，而GSMC的控制效果相对于SMC有明显提高，跟踪误差进一步减小。很明显可以看出在改进GSMC的控制下，速度跟踪误差的最大值以及达到稳态下的误差比SMC和GSMC均要小，且曲线更为平滑，说明改进GSMC在有限时间内，能更快速地收敛。

图4 基于SMC的PMLSM速度响应误差曲线

图5 基于GSMC的PMLSM速度响应误差曲线

图6 基于改进GSMC的PMLSM速度响应误差曲线

电动机给定变速信号起动，初始加速度为2 m/s2，在0.15 s时达到0.3 m/s后匀速，直到0.85 s,再次以2 m/s2匀减速直到速度变为0，观察系统的运行情况。系统的速度响应曲线的局部放大图如图7所示，三种控制策略速度响应曲线几乎重合，但改进GSMC曲线与给定信号更接近。并且，采用SMC控制的速度响应误差曲线如图8所示，系统速度的稳态误差在-60～80 μm/s范围内变化；采用GSMC控制的速度响应误差曲线如图9所示，速度的稳态误差在-40～30 μm/s范围内波动；采用改进GSMC控制的速度响应误差曲线如图10所示，产生的速度的稳态误差最小，范围是-20～20 μm/s ，说明无论给定信号是阶跃信号，还是变速信号，改进GSMC对PMLSM系统都有更为突出的跟踪精度和响应速度。

图7 基于变速信号的PMLSM速度响应曲线

图8 基于SMC的PMLSM速度响应误差曲线

图9 基于GSMC的PMLSM速度响应误差曲线

图10 基于改进GSMC的PMLSM速度响应误差曲线

4 结 语

针对PMLSM伺服系统受不确定因素影响，而不能快速收敛问题，采用一种改进GSMC方法，动态滑模面中的非线性滑模面的衰减函数由三个指数函数项组成一阶可导函数代替传统一个指数函数项, 并能在有限时间内衰减为零。仿真结果表明，与传统GSMC相比，改进全局控制方法明显提高了系统的动态响应速度并保证了系统全局鲁棒性，可满足高精度快响应的伺服加工性能要求。