辩证法在解题中的应用

崔荣芳

具体科学培养了我们的定势思维，很显然有其优势的一面，她有助于我们快速解决问题，但是有其局限性。而哲学的思维方式，为我们提供了一个新的视角去看待问题，有助于我们辩证而全面的、连续而发展的看待事物，尊重现实并客观反映现实，实现快速解题。这也正是我们课题组[河北省教育科学研究“十三五”规劃2020年度立项课题：自然辩证法在理科解题教学中的应用与研究（编号2004191）]所要研究的。我们课题组的主持人高保国老师在其研究成果，也就是他的专著《高中数学解题方法——导数解题讲义》当中，处处渗透着辩证法在解题中的应用，下面是我读这本书的一点儿体会，请大家批评指正。

我们以第42页例8为例进行说明，本例的第二问的证明提供了三种方法：

我问高老师：“学生们不知道麦克劳林公式，那第一种方法是怎么想到的呢？”高老师说，我们构造函数h（x）=ex-1-x时，不只想它的导数是什么，还应该想想谁的导数是它，即函数f（x）=ex-1-x-    x2，再通过我们熟悉的不等式ex-1-x≥0，立知当x>0时f（x）>0，即ex-1>x+    x2，后面的证明也就不难了。正如唯物辩证法所指出：联系具有客观性、普遍性和多样性，联系的客观性指联系是事物本身所固有、不以人的主观意志为转移的，既不能被创造，也不能被消灭。联系的普遍性指联系包括横向的与周围事物的联系，也包括纵向的与历史未来的联系。一切事物、现象和过程，及其内部各要素、部分、环节，都不是孤立存在的，它们相互作用、相互影响、相互制约。但另一方面事物又存在着相对独立性，即任何事物都同其他事物相区别而相对独立地存在。事物的普遍联系和事物的相对独立存在是互为前提的。我们看到本题第二问即证当x>0时          >                 ，如果我们发现不等式左右两边的这种联系，即把右边式子中x的的换成ex-1，则右边式子变成左边的式子，把左边式子中的x的换成ln（x+1），则右边式子变成左边的式子，那么第二、三种方法也就不难想到了。”

哲学是世界观的学说，是人们对整个世界的根本观点和看法，哲学既是世界观，又是方法论，它是我们认识世界、改造世界的强大的思想武器，同时也给我们以方法论的指导。

一、对立统一

唯物辩证法指出：一切存在的事物都由既相互对立、又相互统一的一对矛盾组合而成。正所谓“物无非彼，物无非是”，矛盾着的双方既对立又统一，从而推动着事物的发展。因此对立统一规律揭示了事物发展的源泉和动力。在解题中，我们既要往下看，也要往上看，既要往左看，也要往右看。就像前面说的解法1——3一样。毛泽东主席强调：矛盾存在于一切事物的发展过程中;矛盾存在于一切事物的发展过程的始终。换言之，矛盾无处不在，无时不有。矛盾是事物存在的深刻基础，也是事物发展的内在根据。从一定意义上说，事物就是矛盾，世界就是矛盾的集合体;没有矛盾就没有事物或世界，没有矛盾就没有事物或世界的发展。抓住矛盾，就抓住了问题得以解决的关键。

二、质量互变

质量互变规律，即从量变到质变，是说处在不断的变化之中的事物，在其每次由一种性质变化到另一种性质的过程中，总是由微小的变化（即量变）慢慢积累开始，当这种积累达到一定程度就会导致事物由一个性质变化到另一个性质（即质变）。量变是质变的准备，没有量变就不会发生质变;经过质变，在新质基础上又开始新的量变……如此循环往复，推动事物无限地发展下去。因此说质量互变规律揭示了事物发展的状态。比如在立体几何当中，我们经常运用的数量关系决定位置关系，位置关系决定数量关系就是这一规律的具体体现。

三、辩证否定

马克思和恩格斯的否定之否定原理来自黑格尔的“正——反——合”三阶段论：“正”态事物由于内部矛盾的发展，会过渡到反面，成为“反”阶段，这是第一个否定;由反阶段再过渡到它的反面，是为否定之否定。经过否定之否定后，事物显然回到“正”态。唯物辩证法指出：事物的发展是一个过程连着一个过程的，过程的更替要通过否定来实现。在事物发展的长链条中，经过两次否定，三个阶段：即肯定、否定、否定之否定——就表现为一个周期。因此说，否定之否定规律揭示了事物发展的趋势和道路。需要特别指出的是：否定之否定后的状态并不是原有的肯定的状态，而是一种更上层楼后的“扬弃”。用列宁的话说就是：仿佛是旧东西在高级基础上的回复，是“内容的前进、形式的复归”。就像上面题目解答，并不是得到一种解法解题就结束了，而是继续探索，深入挖掘题目已知之间、未知之间、已知与未知之间的种种联系，分析、发现问题的具体特征，进而进行具体分析，使问题得以圆满解决。

唯物辩证法是人类认识世界的最高度的概括，但它并不能自动地解决具体的数学问题，这里关键是要真正理解唯物辩证法，勇于实践、善于探索，以便解决数学中的疑难问题。只有这样，才能确保数学研究方向的正确性。