从图像获取信息 用性质推理判断

文／陈梅珍

我们知道二次函数的图像是抛物线，在考查二次函数知识时，常常会出现一类由二次函数图像即抛物线提供信息，利用二次函数性质作推理判断的题目。解决这类问题，我们必须熟悉二次函数表达式中的字母系数与抛物线之间的关系，学会看二次函数y=ax2+bx+c的图像，具备从函数图像中获取信息的能力。

看抛物线与y轴的位置：由x=0时y=c，可知抛物线与y轴交于（0，c）。当抛物线与y轴的交点在x轴上方时，c＞0；当抛物线与y轴的交点在x轴下方时，c＜0；当抛物线经过原点时，c=0。

看抛物线与x轴有无公共点：抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac＞0；抛物线与x轴有一个公共点，则b2-4ac=0；抛物线与x轴没有公共点，则b2-4ac＜0。

还可以看看抛物线的对称性、抛物线的增减性、某些特殊点的位置等，以此进一步推理判断。

图1

【解析】看抛物线，开口向上，所以a＞0。

看抛物线的趋势，抛物线与y轴相交于负半轴，所以c＜0。

由此分析出abc＜0，故①错误。

因为二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于（-3，0），顶点是（-1，m），

根据抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）。

因为抛物线开口向上，所以横坐标为2的点在x轴上方，所以当x=2 时，y=4a+2b+c＞0，故②正确。

综合上述，正确的是②③。

例2 如图2，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）。结合图像分析下列结论：①8a+c＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n-1 有两个不相等实数根；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④m（am+b）≤a+b（m为实数）。正确的是（填序号）。

图2

因为点A（-1，0）关于直线x=1 的对称点为（3，0），所以9a+3b+c=0。

将b=-2a代入9a+3b+c=0，得3a+c=0，所以8a+c=5a＜0，故①正确。

因为顶点坐标为（1，n），所以抛物线ax2+bx+c=n有唯一解。

当y=n-1 时，与抛物线有两个交点，故②正确。

抛物线关于x=1 对称，x＜1 时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，

所以y1＞y2，故③正确。

因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），所以x=1时，函数值y取最大值。

因为x=1 时，函数值y=a+b+c；x=m时，函数值y=am2+bm+c，

所以am2+bm+c≤a+b+c，所以am2+bm≤a+b，即m（am+b）≤a+b（m为实数）成立，故④正确。

综合上述，正确的是①②③④。

利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像解决问题，我们需要仔细观察题目所给出的图像，认真解读图像所反映出来的重要信息，然后根据解读出来的图像信息，结合图像与性质，逐条分析并推理判断各个结论的正确性。