周期结构带阻尼项椭圆边值问题的双尺度渐近误差分析

李志青，李远飞，张文彬

（广州华商学院，广东 广州 511300）

近年来，随着复合材料生产技术的发展，数值分析在椭圆边值问题下的数值模拟和计算广泛应用，双尺度方法和均匀化方法得到了发展.这方面产生了大量的研究成果，参考文献［1-8］.上述文献大多对复合材料进行了多尺度分析、渐近分析、误差估计以及均匀化分析.笔者在以上文献的基础上进一步研究周期结构带阻尼项椭圆边值问题，就其有效算法和近似算法展开讨论，并利用均匀化方法及高阶双尺度方法，给出这类方程的双尺度渐近展开式并分析了双尺度解的渐近误差估计.

周期结构带阻尼项椭圆边值问题可表述为偏微分方程组

1 θε(x)的双尺度渐近展开式及均匀化方程

假设问题(2)有如下的双尺度形式渐近展开式

联合式(4)和(2)，再由ε的任意性，通过计算并比较ε-1，ε0，ε1，…的两边系数及边界条件可知

θ0(x)是对应问题(2)的均匀化解，满足如下均匀化方程

其中，

2 uε(x)的双尺度渐近展开式及均匀化方程

问题(3)的解uε(x)是x，ξ和ε有关的函数，假设uε(x)有如下的形式渐近展开式

联合式(9)，(3)和(4)，再由ε的任意性，通过计算并比较ε-1，ε0，ε1，…的两边系数及边界条件可知

其中，

u0(x)是对应问题(3)的均匀化解，满足如下均匀化方程

其中，

3 二阶双尺度解的渐近误差估计

在实际计算中运用如下的二阶近似计算公式

对式（16）和（17）的二阶近似解，有如下的近似渐近误差估计.

证明将算子L1ε作用于θε(x)-θ(2，ε)(x)，在平均意义下，有下面等式成立

其中，

g(x，ξ)=g1(x，ξ)+g2(x，ξ)，

因此

再考虑θε(x)-θ()2，ε(x)的边界条件

由Ωε的周期性及单胞函数定义得：Φε(x)=0.

因此，θε(x)-θ(2，ε)(x)是下面边值问题的弱解

且由偏微分方程(6)的先验估计和方程(19)和正则性可以得到

故定理1得证.

证明将算子L i，2ε作用于uε(x)-u(2，ε)(x)，在平均意义下，有下面等式成立

其中，

再考虑uε(x)-u(2，ε)(x)的边界条件

由于Ωε的周期性及单胞函数定义得Ψε(x)=0.

因此，uε(x)-u(2，ε)(x)是下面边值问题的弱解

且由偏微分方程(14)的先验估计和方程(21)和正则性可以得到

故定理2得证.

4 小结

所研究的周期结构带阻尼项椭圆边值问题涉及了一些比较复杂的扰动量，利用双尺度渐近解逼近，实现了该问题的简化，从而得到了此类问题的双尺度渐近误差估计式，提高了误差精度.本文的研究成果对分析复合材料的有效物理力学性能提供了参考价值，并对计算问题的数值解提供了相应理论支持.