广义算子下约束Hamilton 系统的Noether 定理*

沈世磊， 宋传静

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

引 言

用奇异Lagrange 函数描述的系统称为奇异系统，在过渡到相空间描述时，其正则变量之间存在固有约束，称为约束Hamilton 系统.奇异系统长期活跃在物理学的众多领域，如杨-Mills 场、旋量场、电磁场、超引力、超弦等理论都与其息息相关.因此奇异系统的基本理论在物理学中，特别是在现代量子场论中有着不可或缺的作用[1-2].Nambu[3]率先研究了奇异Lagrange 系统的正则形式，此后Bergmann 等[4]也奠定了该系统动力学与量子化的基础.

Noether 定理是德国数学家Noether[5]在1918 年提出的，该定理首次揭示了对称性与守恒量之间的关系.众所周知，Noether 对称性是指Hamilton 作用量在无限小变换下的不变性.通过Noether 定理可以找到不同力学系统的守恒量，而力学系统的守恒量对研究力学系统的动力学行为及稳定性都有指导意义，因此Noether 理论的研究一直以来是诸多学者关注的热门课题，并且也取得了丰硕的成果[6-11].特别地，李子平[12]提出了奇异系统在相空间中的Noether 定理.

分数阶模型相比于整数阶模型，能够更好地描述复杂动力学及物理行为.由于分数阶微积分具有记忆性和非局域性，因此被广泛应用于流体力学、光学、经济学、信号图像处理以及生物医学工程等众多领域[13-15].分数阶算子中应用最为广泛的是Riemann-Liouville 分数阶算子[16]、Caputo 分数阶算子[17]、Riesz-Riemann-Liouville 分数阶算子[18]以及Riesz-Caputo 分数阶算子[19].2010 年，Agrawal[20]提出了一种新的分数阶算子，称其为广义分数阶算子.在特殊情形下，广义分数阶算子可以退化为上述四种算子.

1996 年，Riewe[21-22]首次将分数阶微积分纳入非保守力学系统，提出并初步研究了分数阶变分问题，Frederico 等[23-24]、Agrawal[20]也进一步研究了分数阶变分问题.2007 年，Frederico 等[23-24]首次研究了分数阶Noether 对称性与守恒量并建立了Noether 定理.之后，分数阶Noether 对称性与守恒量的研究也取得了重大进展[25-31].特别地，Song 等[32-33]利用Agrawal 提出的广义分数阶算子给出了Birkhoff 系统以及Hamilton 系统的Noether 对称性与守恒量，然而在广义分数阶算子下，对奇异系统的Noether 对称性与守恒量的研究还未涉及.因此本文进一步研究了广义分数阶算子下奇异系统的Noether 对称性，建立并证明了该系统的Noether 定理，同时给出了广义算子下相应的守恒量.

1 预 备 知 识

2 广义算子下奇异Lagrange 系统和初级约束

2.1 算子 AαM 下奇异Lagrange 系统和初级约束

注1 令κα(t,τ)=(t−τ)α−1/Γ(α)， 当M=M1，M=M2以 及M=M3时，由式（17）、（26）分别得到左Riemann-Liouville 分数阶导数、右Riemann-Liouville 分数阶导数以及Riesz-Riemann-Liouville 分数阶导数下的Lagrange 方程和初级约束.

2.2 算子 BαM 下奇异Lagrange 系统和初级约束

其中

3 广义算子下约束Hamilton 方程及相容性条件

3.1 算子 AαM 下约束Hamilton 方程

3.2 算子 BαM 下约束Hamilton 方程

3.3 广义算子下约束Hamilton 系统的相容性条件

注5 令κα(t,τ)=(t−τ)α−1/Γ(α)， 当M=M1，M=M2以及M=M3时，由式（54）和（55）分别得到左Riemann-Liouville 分数阶导数、左Caputo 分数阶导数、右Riemann-Liouville 分数阶导数、右Caputo 分数阶导数、Riesz-Riemann-Liouville 分数阶导数以及Riesz-Caputo 分数阶导数下初级约束的相容性条件.

4 广义算子下约束Hamilton 系统的Noether 定理

4.1 算子 AαM 下约束Hamilton 系统的Noether 定理

4.2 算子下约束Hamilton 系统的Noether 定理

注7 令 κα(t,τ)=(t−τ)α−1/Γ(α)， 当M=M1，M=M2以 及M=M3时，由式（68）、（69）和定理3、定理4 分 别得到左Caputo 分数阶导数、右Caputo 分数阶导数、Riesz-Caputo 分数阶导数下分数阶约束Hamilton 系统的Noether 对称性与Noether 准对称性以及导致的守恒量.

5 算 例

6 结 论

分数阶微积分作为各个领域的重要工具，能够更好地解决一些在整数阶导数下无法解决的问题，同时奇异系统也一直备受关注，如相对论运动粒子，杨-Mills 场等都是由奇异Lagrange 量所描述.本文提出并证明了广义算子下约束 Hamilton 系统的Noether 定理.主要贡献如下：

1） 给出了广义算子下奇异Lagrange 方程以及初级约束.

2） 建立了广义算子下约束Hamilton 系统，并由Poisson 括号导出该系统的相容性条件.

3） 建立并证明了广义算子下约束Hamilton 系统的Noether 定理.

4） 若令 κα(t,τ)=(t−τ)α−1/Γ(α)， 且当M=M1，M=M2以及M=M3时，可得到基于左（右）Riemann-Liouville分数阶导数、左（右）Caputo 分数阶导数、Riesz-Riemann-Liouville 分数阶导数和Riesz-Caputo 分数阶导数的分数阶约束Hamilton 系统的对称性与守恒量.当α →1时，广义算子下的约束Hamilton 方程退化为经典整数阶情况，这与文献[2]中的结果一致.

广义算子下奇异系统还有很多问题值得研究，如Lie 对称性、Mei 对称性等.此外，时间尺度微积分提供了一种可以同时研究离散系统和连续系统的有效方法，所以时间尺度上广义算子奇异系统的对称性与守恒量也是值得研究的.

参考文献（ References ） ：

［1］ 李子平. 经典和量子约束系统及其对称性质[M]. 北京: 北京工业大学出版社, 1993. （LI Ziping.Classical and Quantal Dynamics of Constrained Systems and Their Symmetrical Properties[M]. Beijing: Beijing Polytechnic University Press, 1993. （in Chinese））

［2］ 李子平. 约束哈密顿系统及其对称性质[M]. 北京: 北京工业大学出版社, 1999. （LI Ziping.Constrained Hamiltonian Systems and Their Symmetrical Properties[M]. Beijing: Beijing Polytechnic University Press, 1999. （in Chinese））

［3］NAMBU Y. Generalized Hamiltonian dynamics[J].Physical Reviewed, 1973, 7（8）: 2405-2412.

［4］BERGMANN P G, GOLDBERG J. Dirac bracket transformations in phase space[J].Physical Review, 1955,98（2）: 531-538.

［5］NOETHER E. Invariant variations problems[C]//Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaftenzu Göttingen.1918: 235-257.

［6］DJUKIC D S, VUJANOVIC B D. Noether’s theory in classical nonconservative mechanics[J].Acta Mechanica,1975, 23（1）: 17-27.

［7］ 梅凤翔. 约束力学系统的对称性与守恒量[M]. 北京: 北京理工大学出版社, 2004. （MEI Fengxiang.Symmetry and Conserved Quantities of Constrained Mechanical Systems[M]. Beijing: Beijing University of Technology Press,2004. （in Chinese））

［8］ 郑明亮, 刘洁, 邓斌. 覆冰输电导线舞动的Noether对称性和守恒量[J]. 应用数学和力学, 2021, 42（3）: 275-281.（ZHENG Mingliang, LIU Jie, DENG Bin. The Noether symmetry and conserved quantity of galloping iced power transmission lines[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42（3）: 275-281.（in Chinese））

［9］ 张毅. 弱非线性动力学方程的Noether准对称性与近似Noether守恒量[J]. 力学学报, 2020, 52（6）: 1765-1773.（ZHANG Yi. Noether quasi-symmetry and approximate Noether conservation laws for weakly nonlinear dynamical equations[J].Chinese Journal of Applied Mechanics, 2020, 52（6）: 1765-1773.（in Chinese））

［10］ 罗绍凯. 相对论Birkhoff系统的形式不变性与Noether守恒量[J]. 应用数学和力学, 2003, 24（4）: 414-422. （LUO Shaokai. Form invariance and Noether symmetrical conserved quantity of relativistic Birkhoffian systems[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24（4）: 414-422.（in Chinese））

［11］ZHAI X H, ZHANG Y. Noether symmetries and conserved quantities for Birkhoffian systems with time delay[J].Nonlinear Dynamics, 2014, 77: 73-86.

［12］ 李子平. 非完整非保守奇异系统正则形式的Noether定理及其逆定理[J]. 科学通报, 1992, 23: 2204-2205. （LI Ziping.Noether theorem and its inverse theorem of regular form for nonholonomic nonconservative singular systems[J].Chinese Science Bulletin, 1992, 23: 2204-2205.（in Chinese））

［13］OLDHAM K B, SPANIER J.The Fractional Calculus[M]. San Diego: Academic Press, 1974.

［14］SUN Y, YANG X, ZHENG C, et al. Modelling long-term deformation of granular soils incorporating the concept of fractional calculus[J].Acta Mechanica Sinica, 2016, 32: 112-124.

［15］ 黄飞, 马永斌. 移动热源作用下基于分数阶应变的三维弹性体热-机响应[J]. 应用数学和力学, 2021, 42（4）: 373-384.（HUANG Fei, MA Yongbin. Thermomechanical responses of 3D media under moving heat sources based on fractional-order strains[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42（4）: 373-384.（in Chinese））

［16］GU Y J, WANG H, YU Y G. Stability and synchronization for Riemann-Liouville fractional-order time-delayed inertial neural networks[J].Neurocomputing, 2019, 340: 270-280.

［17］VELLAPPANDI M, KUMAR P, GOVINDARAJ V, et al. An optimal control problem for mosaic disease via Caputo fractional derivative[J].Alexandria Engineering Journal, 2022, 61（10）: 8027-8037.

［18］SONG C J, ZHANG Y. Noether symmetry and conserved quantity for fractional Birkhoffian mechanics and its applications[J].Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018, 21（2）: 509-526.

［19］ALMEIDA R. Fractional variational problems with the Riesz-Caputo derivative[J].Applied Mathematics Letters,2012, 25（2）: 142-148.

［20］AGRAWAL O P. Generalized variational problems and Euler-Lagrange equations[J].Computers & MathematicsWith Applications, 2010, 59（5）: 1852-1864.

［21］RIEWE F. Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics[J].Physical Review E, 1996, 53（2）: 1890-1899.

［22］RIEWE F. Mechanics with fractional derivatives[J].Physical Review E, 1997, 55（3）: 3581-3592.

［23］FREDERICO G S F, TORRES D F M. A formulation of Noether’s theorem for fractional problems of the calculus of variations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 334（2）: 834-846.

［24］FREDERICO G S F, TORRES D F M. Fractional optimal control in the sense of Caputo and the fractional Noether’s theorem[J].International Mathematical Forum, 2008, 3（10）: 479-493.

［25］ZHOU Y, ZHANG Y. Noether’s theorems of a fractional Birkhoffian system within Riemann-Liouville derivatives[J].Chinese Physics B, 2014, 23（12）: 285-292.

［26］SONG C J. Noether symmetry for fractional Hamiltonian system[J].Physics Letters A, 2019, 383（29）: 125914.

［27］ZHAI X H, ZHANG Y. Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2016, 36: 81-97.

［28］ 田雪, 张毅. Caputo Δ型分数阶时间尺度Noether定理[J]. 力学学报, 2021, 53（7）: 2010-2022. （TIAN Xue, ZHANG Yi. Caputo Δ-type fractional time-scales Noether theorem[J].Chinese Journal of Applied Mechanics, 2021,53（7）: 2010-2022.（in Chinese））

［29］ZHOU S, FU H, FU J L. Symmetry theories of Hamiltonian systems with fractional derivatives[J].Science China:Physics,Mechanics & Astronomy, 2011, 54（10）: 1847-1853.

［30］LUO S K, LI L. Fractional generalized Hamiltonian equations and its integral invariants[J].Nonlinear Dynamics, 2013, 73（1）: 339-346.

［31］ 张宏彬. 基于广义分数阶算子Birkhoff系统Noether定理[J]. 动力学与控制学报, 2019, 17（5）: 458-462. （ZHANG Hongbin. Noether’s theorem of Birkhoffian systems with generalized fractional operators[J].Journal of Dynamics and Control, 2019, 17（5）: 458-462.（in Chinese））

［32］SONG C J, SHEN S L. Noether symmetry method for Birkhoffian systems in terms of generalized fractional operators[J].Theoretical & Applied Mechanics Letters, 2021, 11（6）: 330-335.

［33］SONG C J, CHENG Y. Noethersymmetry method for Hamiltonian mechanics involving generalized operators[J].Advances in Mathematical Physics, 2021, 2021: 1959643.