多振子声子晶体的低频特性研究

李天杰，伍根生，袁志山，尹富强，顾云风

(1.南京林业大学机械电子工程学院，南京 210037；2.广东工业大学机电工程学院，广州 510006)

0 引 言

声子晶体是弹性常数和密度为周期性分布的材料组成的复合结构，由于其特殊的带隙特性，某些频率范围内的弹性波在声子晶体中传播时会被抑制，从而引起了研究人员的关注[1-2]。最先被提出的带隙形成机理是布拉格散射，研究表明布拉格散射型声子晶体第一带隙对应的波长与晶格常数处于同一量级，这就使得在较小尺寸下难以获得低频带隙。但局域共振型声子晶体[3]可以克服尺寸上的限制，刘正猷等首次得到一种晶格尺寸比禁带内声波波长小2个数量级的局域共振型声子晶体。

因为带隙频率较低，所以在减振降噪上研究人员往往基于局域共振机理设计声子晶体结构。通常20～200 Hz的噪声被称为低频噪声[4]。为了获得低频带隙，许多学者对声子晶体进行结构设计，如Helmholtz型声学结构[5-6]、连接板结构等[7-10]。短连接板的设计能够有效地减小声子晶体的等效刚度，从而使带隙下边界降低。Sun等[8]将传统的声子晶体板替换为窄连接板，在0～1 000 Hz内获得6条完全带隙，其中起始频率为98.3 Hz，与传输损失谱中的衰减频率范围相吻合，通过增加连接板宽度，发现第一带隙的下边界上升，主要是因为振动部分的等效刚度随着连接板宽度的增加而增加，从而使得频率增加。Dong等[9]将硅橡胶包覆的铅散射体嵌入到八边形塑料基体中，在0～3 000 Hz内带隙的占有率超过95%，其中第一带隙位于96～1 403 Hz，研究表明通过增加大质量振子的密度和减小轻质量振子的密度可以拓宽带隙宽度。Gao等[10]所设计的空心结构内部由矩形连接板连接两个振子和基体，研究表明，弹性波传播在空心结构声子晶体时，更容易产生散射和反射，因此可以获得特定频率范围内的带隙。进一步计算没有振子的空心结构与只有一个振子的空心结构的色散曲线，发现这两种结构在0～100 Hz范围内均没有带隙。Guo等[11]将散射体与环氧树脂框架相切接触，设计了一个阶梯式混合框架结构。该结构的第一带隙在22.6～406.7 Hz，是传统锥形声子晶体第一带隙宽度的2倍，起始频率的1/6。将散射体的边数增加，发现带隙下边界和上边界均降低，主要的原因是振子与基体之间的连接强度降低。刘威等[12]提出了包覆层有缺口的连接板式声子晶体结构，通过讨论包覆层缺口角度和连接板宽度，发现Bragg带隙宽度随角度的增大而增大，带隙下边界随连接板宽度的增加而上升。

多振子结构也易于获得低频带隙[13-17]。Zhou等[15]提出的声子晶体结构包含了两种不同类型的散射体,经过计算发现该结构的起始频率与单种散射体组成的声子晶体模型起始频率基本一致，进一步改变其中一种散射体的半径和高度，发现随着散射体半径的增加，弯曲波带隙和纵波带隙向高频移动，同时带隙宽度增加；当散射体高度增加时，带隙向低频移动，同时带隙宽度减小。Lei等[16]提出了一种复合型声子晶体模型,通过减小振子之间的距离直至接触，带隙数量从1条变为3条再变为1条，随之改变的带隙下边界也有所下降。为了优化带隙，通过改变基体的大小使得散射体和包覆层的填充率不会降低，发现带隙下边界保持不变而带隙上边界上升，从而增加了带隙宽度。Zhu等[17]设计的结构在硅橡胶基体上开有周期性孔,同时将铅作为散射体材料，通过增加散射体的高度改变结构的不对称性可以优化低频带隙。另外，有研究表明钨相比铅作为散射体材料能使起始频率更低[18]。

基于现有的声子晶体模型很少能够满足低频要求，本文设计了一种具有4个六边形振子的新型声子晶体结构，在该声子晶体结构的设计中采用钨作为散射体材料。运用有限元法计算声子晶体模型的带隙特性、传输损失谱和本征模态，并且利用传输损失谱频率衰减范围验证带隙的正确性，基于局域共振原理分析该结构带隙的产生机理。在此基础上切割环氧树脂声子晶体板并且改变振子之间纵向和横向间距，研究相关几何参数对带隙宽度的影响。

1 声子晶体结构和验证

为了在20～200 Hz范围内获得带隙，本文设计了一种由硅橡胶包覆层包裹4个钨振子的新型声子晶体结构，如图1所示。其中图1(a)为结构的立体图，图1(b)为结构的平面图，图1(c)为第一布里渊区。声子晶体结构的材料参数及几何参数如表1和表2所示。

图1 新型声子晶体结构与第一布里渊区Fig.1 New phononic crystal model and the first Brillouin zone

表1 计算参数Table 1 Parameters for calculation

表2 声子晶体的几何参数Table 2 Geometric parameters of the phononic crystal

图2 对比模型1Fig.2 Comparative model 1

图3 对比模型2Fig.3 Comparative model 2

表3 对比模型1的几何参数Table 3 Geometric parameters of comparative model 1

表4 对比模型2的几何参数Table 4 Geometric parameters of comparative model 2

在两个正交方向上具有无限多周期而轴向方向上无限大的声子晶体称为理想的二维声子晶体。通常将晶格平面取为xoy平面，轴向方向取为z向。然而在应用中，非周期方向具有有限尺寸的声子晶体更具有实际意义，本文的声子晶体结构在x，y方向上为无限多周期，在轴向方向为有限尺寸。三维空间中对于弹性波在固体中的传播，控制方程可写为：

(1)

式中：μ，λ是与空间坐标相关的拉梅常数；ρ是与空间坐标相关的密度；t是时间；i,j=1,2,3；x1，x2，x3分别表示坐标变量x,y,z；u1，u2，u3分别表示x,y,z方向位移。

本文使用有限元软件COMSOL Multiphysics 5.6计算声子晶体的色散曲线，因为声子晶体的周期性，计算可以在一个原胞内进行，本征方程可以写成：

(K-ωM)U=0

(2)

式中：K为原胞的刚度矩阵；M为原胞的质量矩阵；U为位移特征向量；ω是特征频率。

为了验证色散曲线的准确性，本文计算了传输损失谱[15]，模型如图4(a)所示。在x，y方向上分别是6个原胞组成的周期性结构。位移激励分别从周期性结构的x方向和z方向入射，如图4黑色箭头所示。传输损失T可定义为：

(3)

式中：X为输出的位移响应；X0为输入的位移激励。

为了更好地呈现本文的声子晶体结构对波传播的抑制作用，图4(b)给出了带隙内频率为20 Hz时纵波传输过程的云图。

图4 传输损失模型和20 Hz时纵波传输云图Fig.4 Model of transmission spectra and cloud image of longitudinal wave transmission at 20 Hz

2 结果与讨论

2.1 带隙的计算

新型结构的色散曲线和传输损失谱如图5所示。图5(a)中可以看到在0～400 Hz存在一条完全带隙，位于18.85～225.28 Hz。传输损失谱的声衰减频率范围与色散曲线的带隙范围相吻合，其中图5(b)为纵波的传输损失谱，图5(c)为横波的传输损失谱。

图5 色散曲线和传输损失谱Fig.5 Dispersion curve and transmission loss spectra

图6(a)和6(b)所示分别为有限元法计算出的对比模型1和对比模型2的色散曲线，其带隙分别位于33.85～321.95 Hz和18.48～188.5 Hz。通过图5(a)以及图6对比发现，只有新型声子晶体结构能够满足抑制20～200 Hz的弹性波在声子晶体中传播的要求。

图6 模型1和模型2的色散曲线Fig.6 Dispersion curves of model 1 and model 2

2.2 带隙的形成机理

局域共振带隙产生的主要因素是基体中的长波行波与局域共振单元的耦合作用。二维声子晶体板的长波行波一般指的是兰姆波和剪切波，其中前者可分为对称和反对称兰姆波。在低频时对应的弹性波波长会很大，局域共振单元不起作用，此时弹性波相当于在均匀的板中传播[19-20]，选取频率靠近0的振动模态为声子晶体板的模态，如图(7)中A～C所示。当频率增大到达局域共振模态时就会产生平直带，因此对平直带上的点进行分析是有必要的，如图7中A′～F′所示。

图7 色散曲线上选取的标记点Fig.7 Selected mark points on dispersion curves

图8所示为所选取的各个点的模态，图8(a)中声子晶体板与散射体都沿着z方向运动，是反对称兰姆波模态，图8(b)中声子晶体板与散射体都沿着y方向运动，是水平剪切模态，图8(c)中声子晶体板和散射体沿x方向运动，是对称兰姆波模态，图8(d)中声子晶体板沿z方向运动。

除了3种传统的声子晶体板模态，还有许多局域共振模态。从图8(e)A′点的振动模态可以看出，散射体以摆动为主，声子晶体板保持不动；B′点的振动模态与A′点类似，也是散射体做摆动；C′点以散射体沿z方向位移为主；D′点以散射体沿x方向位移为主；E′点以散射体沿y方向位移为主；F′点以散射体绕z轴做旋转运动为主，没有x和y方向位移，也没有z方向位移，弹性波在传播时不会激发此模态。

当声子晶体板受到xoy方向的弹性波激励时，弹性波以对称兰姆波模态和水平剪切波模态在声子晶体板中传播，随着频率的升高接近B′和C′点时，B′模态被激发，但是B′模态与对称兰姆波模态和水平剪切模态耦合不强烈，没有产生带隙。频率继续升高至D′点时，D′模态被激发，散射体沿x方向的平移振动会抑制声子晶体板原有的振动模式。当频率升高至E′点时，E′模态被激发，散射体沿y方向的平移振动会对声子晶体板产生反作用力。此时声子晶体板几乎不动，从而打开面内带隙。随着频率的继续升高，散射体对声子晶体板的抑制作用降低，直到消失时带隙才会关闭。在带隙关闭后，高阶对称兰姆波模态和水平剪切波模态会在声子晶体板继续传播，但在0～400 Hz没有出现这两种模态的高阶模态，因此在0～400 Hz散射体对声子晶体板仍有抑制作用。

当声子晶体板受到z方向的弹性波激励时，在低频范围内弹性波以反对称兰姆波模态在声子晶体板中传播，随着频率的升高到A′点时，A′模态被激发，散射体产生一个抑制反对称兰姆波传递的反作用力，使声子晶体板不沿z方向运动，从而打开面外带隙。随着频率的升高到B′和C′点时，B′和C′模态被激发。随着频率的继续升高，散射体对声子晶体板的抑制作用减小直至消失。弹性波以D模态继续在声子晶体板中传播，此时面外带隙关闭。

2.3 几何参数对带隙的影响

为了研究结构参数对低频带隙的影响，选取了图1(b)所示的声子晶体结构中影响较大的几个参数如缺口角度θ，散射体纵向间距d和横向间距g进行研究。

保持其他的参数都不变，计算缺口角度θ对带隙影响时，带隙的变化趋势如图9所示。缺口角度从55°增加到90°，带隙下边界几乎不变，保持在18.85 Hz附近，带隙上边界从236.89 Hz逐渐下降到188.5 Hz。这是因为随着缺口角度的增大，声子晶体板的等效质量逐渐增加，从而导致带隙上边界降低。

图8 各点模态Fig.8 Modes of each point

图9 缺口角度对带隙的影响Fig.9 Effect of notch angle on bandgap

计算散射体纵向间距d对带隙的影响时，保持其他的参数都不变，带隙的变化趋势如图10所示。纵向间距从14 mm增加到20 mm，带隙下边界从18.59 Hz升高至23.79 Hz，带隙上边界从194.3 Hz升高至285.21 Hz。计算散射体横向间距g对带隙的影响时，保持其他的参数都不变，带隙的变化趋势如图11所示。横向间距从16 mm增加到24 mm，带隙下边界从17.01 Hz上升到31.22 Hz，带隙上边界从184.61 Hz上升到331.93 Hz。这是因为散射体之间的相互重叠形成了一个整体，使得等效振子质量增加，最终导致带隙下边界降低[16]。

图10 纵向间距对带隙的影响Fig.10 Effect of longitudinal spacing on bandgap

图11 横向间距对带隙的影响Fig.11 Effect of transverse spacing on bandgap

3 结 论

本文设计了一种原胞中由硅橡胶包覆层包裹钨散射体的新型声子晶体结构，通过有限元法计算了该结构的色散曲线、振动模态以及传输损失谱。结果表明新型结构能够获得一条18.85～225.28 Hz的带隙，从而能够抑制20～200 Hz的弹性波在声子晶体中传播，与传输损失谱的声衰减频率范围吻合。通过分析各点的振动模态说明了带隙产生的原因。在此基础上，分析声子晶体板的缺口角度、散射体之间的横向与纵向距离对带隙的影响。研究表明，缺口角度的减小能够使带隙上边界升高，从而使带隙宽度增加。散射体之间的距离减小能够降低带隙的下边界，但同时也使得带隙上边界降低，最终使带隙宽度变窄，说明减小钨散射体的横向和纵向距离能够有效降低带隙的下边界，从而获得较好的低频特性。