“额温枪”中的锐角三角函数

夏乾冬

生活中处处有数学。新冠疫情暴发期间，用“额温枪”进行测温大家一定不会陌生，其中也蕴含着很多数学知识。下面我们来看2021年江西省中考数学中一道以“用额温枪测温”为背景的锐角三角函数问题。

图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直。量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA=8.5cm。（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，[2]≈1.414，[3]≈1.732）

问题1：根据题目所给的信息，你能求出图2中哪些角的度数呢？试一试。

【思路分析】图中有7个角，分别是：∠FNM、∠GNM、∠BMN、∠BMP、∠ABC、∠BAP、∠APM，题目中没有给出具体的度数，但由题意可知MP∥AB，MP⊥AP，可以得到∠BAP=∠APM=90°。结合条件，虽然给出了MN=28cm，但不知道M点到FG的距离，故求不出∠GNM的度数，自然也求不出∠FNM的度数。根据MN=28cm，MB=42cm，也求不出∠BMN的度数，但在四边形ABMP中，MP=25.3cm，BA=8.5cm，MB=42cm，在图3中，我们可以过点B作BH⊥MP构造Rt△BMH，得到MH=25.3-8.5=16.8（cm），由MB=42cm可以求出cos∠BMH=[MHBM]=[16.842]=0.4，由cos66.4°≈0.40可以得到∠BMH=66.4°，由MP∥AB得到∠BMH+∠ABC=180°，所以∠ABC=180°-66.4°=113.6°。

问题2：测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm。在图2中，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm。问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由。（结果保留小数点后一位）

【思路分析】要说明“是否在规定范围内”，就要求出点A到DE的距离。如图4，作AK⊥DE于点K，即需要求出AK的长度，然后，判断AK的长度是否在3～5cm，如果在，就符合;如果不在，就不符合。但是，根据所给条件，AK无法直接求。我们可以过点P作PQ⊥DE于点Q，易证AK=PQ，这样就把求AK的长度转化成求PQ的长度。如何求PQ的长度呢？根据小红与测温员之间距离为50cm，自然想到过点M作MR⊥FG于R，可知RQ=50cm，由MP=25.3cm得到RM+PQ=50-25.3=24.7（cm），所以，要求PQ，只要求出RM即可。根據题目所给条件∠BMN=68.6°以及问题1中所得到的∠BMH=66.4°，可以得到∠NMR=45°。在Rt△MRN中，∠NMR=45°，NM=28，可以求得RM=[142]≈19.80（cm），由RM+PQ=24.7cm得到PQ≈4.9cm，即AK≈4.9cm。因为AK的长度在3～5cm，所以距离在规定范围内。

问题3：当测温员用“额温枪”对比小红高的小丽测温时，图5中折线N—M'—B'—A'是其测量时的侧面示意图，此时，肘关节M'与枪身端点A'之间的水平宽度为29.5cm（即M'P'的长度），测得∠B'M'N=96.4°，如果我们把身高差值近似地看成额头距离地面的高度差，那么小丽比小红高多少？（结果保留小数点后一位）

【思路分析】如图6，过A'点作A'K'⊥DE于点K'，求小丽比小红高多少，就是求KK'的长度。如何求KK'的长度？过点P'作P'Q'⊥DE于点Q'，过点M'作M'R'⊥FG于点R'，因此，KK'=K'Q'+Q'Q-KQ。其中，KQ可以转化成求BH，Q'Q可以转化成求R'R。过点B'作B'H'⊥M'P'于点H'，K'Q'可以转化成求B'H'，要求B'H'，可以类比问题1，先求出∠B'M'H'=60°，再根据M'B'=42cm，可以求出B'H'。要求R'R，就要求出NR'和NR。NR在问题2中利用得到的数据可以求出。如何求NR'的长度？可以利用∠B'M'H'=60°和∠B'M'N=96.4°，求得∠NM'R'=23.6°，再根据NM'=NM=28cm，即可求出NR'，这样即可求出R'R。求出了K'Q'、Q'Q、KQ，再利用KK'=K'Q'+Q'Q-KQ，就可以求出KK'的长度。

锐角三角函数刻画了直角三角形中的边角关系。我们在解决这几个问题的过程中，不难发现需要经历以下过程：首先，需要弄清楚要求什么。其次，再根据所给条件能求出什么。同时，需要弄清楚已知量与未知量之间的关系，将要求的边和角放到合适的直角三角形中，这里常常需要添加辅助线（一般为垂线和平行线），将原图分割成一些直角三角形和矩形。再次，选用合适的数据来解这个直角三角形，如果不能直接求，还可以设未知数建立方程来求。最后，根据求得的结果，联系与要求的量之间的关系，进行求解与判断。

（作者单位：江苏省南京市竹山中学）