有界线性算子及其函数的(R)性质

赵小鹏，戴 磊，曹小红

(1.渭南师范学院 数学与统计学院，陕西 渭南 714099；2.陕西师范大学 数学与统计学院，陕西 西安 710119)

1909 年,H.Weyl[1]在检查Hermitian 算子T的谱结构时发现，T的所有紧扰动谱集的交集在其谱集中的余集恰好等于它的谱集中孤立点的有限重特征值.这一性质后来被称为“Weyl 定理”.之后，许多数学工作者将Weyl 定理进行了变型和推广，定义了Browder 定理，a-Browder 定理，a-Weyl 定理，(ω)性质等，并进行了广泛的研究[2-6].(R)性质是Weyl 型定理一种新的变型，近年来得到了极大的关注[7-9].在本文中，我们继 续讨论有界线性算子的(R)性质，运用新的谱集刻画算子及算子函数的(R1)性质与(R)性质.

1 预备知识

在本文中，H表示无限维可分的复Hilbert 空间，B(H)表示H上的有界线性算子的全体.算子T∈B(H)称为是上半Fredholm 算子，若T的值域R(T)闭且其零空间N(T)为有限维的；若值域R(T)有有限的余维数，则称T∈B(H)为下半Fredholm 算子.T∈B(H)称为是Fredholm 算子，若T既为上半Fredholm 算子又为下半Fredholm 算子.对一个半Fredholm 算子T(上半或者下半Fredholm 算子)，令n(T)=dimN(T)，d(T)=dim(H/R(T))=codimR(T).半Fredholm 算子T∈B(H)的指标定义为 i nd(T)=n(T)−d(T).算子T∈B(H)称为是Weyl 算子，若T为指标为零的Fredholm 算子.称T∈B(H)为下有界算子，若T单且R(T)闭.算子T的升标和降标分别定义为 asc(T)=inf{n∈N:N(Tn)=N(Tn+1)}，desc(T)=inf{n∈N:R(Tn)=R(Tn+1)}(N 表示非负整数集)，若这样的下确界不存在，则记 a sc(T)=+∞(或者 desc(T)=+∞).有有限升降标的Fredholm算子称为是Browder 算子.可以证明，T是Browder 算子当且仅当T是Weyl 算子且 asc(T)<∞(或desc(T)<∞).同样也可以证明，T是Browder 算子当且仅当T为半Fredholm 算子且当 0<|λ| 充分小时，T−λI可逆.由定义可以看出Browder 算子一定为Weyl 算子.对T∈B(H)，其谱集 σ(T)，逼近点谱集 σa(T)，本质逼近点谱 σea(T),Weyl 谱 σw(T)和Browder 谱 σb(T)分别定义为：σ(T)={λ ∈C:T−λI不为可逆算子}(C 为复数域)，σa(T)={λ ∈C:T−λI不是下有界算子}，σea(T)={λ ∈C:T−λI不为上半Fredholm 算子或者ind(T−λI)>0}，σw(T)={λ ∈C:T−λI不是Weyl 算子}，σb(T)={λ ∈C:T−λI不是Browder 算子}.将 σ(T)，σa(T)，σea(T)，σw(T)和 σb(T)的余集分别记作：ρ(T)=Cσ(T)，ρa(T)=Cσa(T)，ρea(T)=Cσea(T)，ρw(T)=C σw(T)，ρb(T)=Cσb(T).

可以看出算子值域的闭性在算子理论中是重要的，记 σc(T)={λ ∈C:R(T−λI)不闭}，令 ρc(T)=Cσc(T).另外，记 σ0(T)为算子T的所有正规特征值组成的集合，即 σ0(T)=σ(T)σb(T).若集合E为复数集 C 的子集，用 i soE和 a ccE分别表示集合E的孤立点的全体和聚点的全体，用 i ntE表示E中内点的全体.

令 ρab(T)={λ ∈C:T−λI为上半Fredholm 算子且 asc(T−λI)<∞}.用 σab(T)=Cρab(T)表示算子T的Browder 本质逼近点谱.显然 σea(T)⊆σab(T).容易证明，λ ∉σab(T)当且仅当T−λI为半Fredholm 且λ ∈[isoσa(T)∪ρa(T)].

则称T满足(R1)性质.显然，(R1)性质是(R)性质成立的前提.

本文的安排如下：在第2 节，利用Weyl 谱的一种变型，给出了有界线性算子及其函数满足(R1)或者(R)性质的充要条件；在第3 节，再次利用该谱集，研究了a-Weyl 定理和(R)性质的关系.

2 算子及其函数的(R)性质的判定

3 a-Weyl 定理与(R)性质的关系