一种改进的VMD及其在轴承故障诊断中的应用

金志浩，穆鹏丞，张义民，张 凯

（沈阳化工大学装备可靠性研究所，辽宁 沈阳 110142）

1 引言

滚动轴承在旋转机械设备中扮演着不可或缺的角色，其健康状况决定整个机械系统的运转水平和安全性能，因此对滚动轴承的健康状态的监测和诊断是至关重要的［1］。当轴承运转时出现缺陷时，从实际工作的机械系统中采集的振动信号多数具有非线性、非平稳的特征，这样包含大量窄带的脉冲信号会掩盖原信号中明显的故障特征严重阻碍了之后的故障分析，进而延误了设备运转的安全性能评估以及提高了维修成本等连锁效应［2］。

在对滚动轴承的故障诊断领域中，大多数诊断方法都是通过传感器获取振动信号，然后通过一种或者融合多种信号处理方法剥离出调幅-调频信号后提取信号的特征向量，最后通过比对故障特征频率或者通过神经网络对轴承的故障类型进行分类。如：文献［3］提出了一种基于小波包变换结合优化的RBF神经网的轴承故障方法；文献［4］将EMD及人工神经网络相结合用于轴承故障诊断。这些滚动轴承故障诊断模型中的技术难点在于如何从非平稳、非线性且夹杂噪音信号中获取明显的故障特征［5］。近些年来，一些针对非线性、非平稳信号的处理方法在轴承故障诊断中得到了很好的应用，如：小波变换、小波包变换、奇异值分解（SVD）、经验模式分解（EMD）、局部均值分解（LMD）［6］。但是这些信号处理方法都存在一定的局限性，如EMD分解过分依赖于载波包络线的插值过程，且其自身存在很强的模态混叠和端点效应；LMD在迭代过程中的计算量大且包含模态混叠现象；小波变换在抑制载波中脉冲的影响效果不佳，并且小波的阈值选取对信号分解、降噪也有严重的影响。针对于上述众多信号处理方法存在的局限性，文献［7］提出了一种完全非递归，且具有完备数学理论支撑的变分模态分解信号处理方法（VMD）。由于VMD自身不存在端点效应，而且可以自适应的将复合信号中两个频率相似的谐波信号分隔开，因此该方法已经广泛应用于机械和图像处理领域。

在实际工程中为了达到故障的快速识别，往往将信号处理方法与一些神经网络、机器学习等方法相结合。由于采集的故障时域信号复杂且不能轻易看出信号特征，直接作为分类模型的输入特征效果不佳，然而多尺度排列熵能够检测时间序列随机性和动力突变特点，因此用于分析轴承运行状态具有良好的效果。

针对变分模态分解的模态分量个数需要人为多次试验后确定最佳个数的局限性，提出了一种利用频谱极值点与自适应阈值之间的关系来确定VMD分解的最佳本征模态分量（IMF）个数的方法，称作自适应变分模态分解（AVMD），并将其结合最小二乘支持向量机用于滚动轴承的故障诊断。首先通过AVMD对轴承信号进行预处理得到最佳数量的IMF分量，然后将得到的IMF分量信号根据峭度准则进行重构，最后利用提取重构信号中的多尺度排列熵作为训练LSSVM模型的特征向量，进而识别滚动轴承的故障类型。

2 理论基础

2.1 变分模态分解

变分模态分解（Variational Modal Decomposition，VMD）是一种将采集到的复杂数字信号通过频域迭代方式自适应的分解为由多个有效的调幅-调频信号（AM-FM）组合的形式，且VMD是一种基于维纳滤波的完全非递归自适应信号处理的手段［8］。VMD可以能够将给定的复杂信号通过最优变分模型的迭代计算得到一系列分量信号的中心频率和带宽，进而计算获得一定数量的调幅-调频的本征模态函数（IMF），其表达式如下：

式中：Ak（t）—第K个IMF分量的振幅；

ωk=φk’（t）—uk（t）的瞬时频率。

在求解信号的中心频率和带宽的过程中，假设原多频带信号可分解为多个窄带IMF分量，然后需要建立如下约束变分模型表达式：

式中：ωk—各模态分量的频率中心；uk—第K个IMF分量；f—原始信号。

在该变分模型中，对uk（t）进行Hilbert变换得到单边谱，然后通过乘以指数项e-jωt来调节预估的中心频率，并将其频谱调整到相应的基带上。为了将原变分约束模型转换为非变分约束模型引入如下增广Lagrange函数：

式中：α—二次惩罚因子；λ—Lagrange因子。

最后利用交替方向乘子算法不断迭代求解出如下自适应中心频率及各IMF分量表达式：

VMD算法分解过程如下：

（1）初始化uk、ωk、λ和N；

（2）N=N+1，进入算法的循环更新过程；

（3）Fork=1：K由式（4）和式（5）更新uk及ωk，K—假设分解的IMF的数量；

（4）由下式更新λ：

（5）重复步骤（3）和（4）直到满足迭代终止条件：

2.2 最小二乘支持向量机

最小二乘支持向量机（Least Squares Support Vector Machine，LSSVM）是对支持向量机的拓展，LSSVM将传统SVM决策函数的不等式约束转化为等式约束，此外采用二次损失函数作为最优化指标［9］。这使得LSSVM在处理大数据的测试样本时具备更快的求解精度及运算速度，LSSVM的约束优化模型定义如下：

式中：ω—权值向量；γ—二次惩罚因子；ξi—松弛因子；b—偏置向量。

根据Mercer定理，核函数定义如下：

为解决以上优化模型引入拉格朗日函数及KTT条件得到如下LSSVM模型：

LSSVM中的核函数选取径向基函数，如下所示：

式中：σ—核函数的宽度。

2.3 多尺度排列熵

多尺度排列熵（Multi-scale Permutation Entropy，MPE）机理是将原始时间序列粗粒化处理后计算各尺度序列内的排列熵。假设原始时间序列定义为X=｛x（i），i=1，2，…，n｝，进行粗粒化预处理后得到粗粒化序列ys（j）［10］：

式中：s—尺度因子；［N/s］—N/s取整。

当S=1时，粗粒化序列为原序列。将预处理得到的粗粒化序列ys（j）进行重构得到：

式中：τ—延迟时间；m—嵌入维数。

嵌入维数m可获得m种重构时间序列。将所得的Yl（s）按升序排列，然后通过任意粗粒化序列ys（j）都将获得一组符号序列S（r）=（l1，l2，…，lm），其中r=1，2，…，R且R≤m！，计算每一种符号序列出现的概率Pr=（r=1，2，…，R）并通过信息熵的定义符号序列的排列熵如下：

当Pr=1/m！时，排列熵获得最大值ln（m！）。为体现时间序列的明显规则，将排列熵进行归一化处理后获得的0≤Hp≤1排列熵值如下：

归一化后的多尺度排列熵表明Hp值越小时间序列的规则性越强，反之则具有较强的随机性。

3 自适应变分模态分解

3.1 自适应变分模态分解模态确定准则

尽管VMD采用完全非递归的计算准则自适应的将复杂信号分割成由多个IMF分量组合的形式。但针对其模态数的选取必须在信号分解之前根据实验者的经验来判定，这里总结了大量不同的信号经过VMD的分解结果，提出了一种基于频谱极值点与自适应阈值之间的大小关系来确定信号的最佳分解IMF数量的准则。这种预先判定分解层数的核心思想是在信号的频谱图基础上，判定频谱的极大值点、极小值点与设定的自适应阈值大小关系来确定频谱中有多少个中心频率，进而确定最佳IMF个数。AVMD分解的具体过程如下：

（1）将信号进行傅里叶变换，截取信号频谱的一半；

（2）在连续的频谱中，确定局部极大值点Max以及局部极小值点Min，如下式所示：

式中：f（i）和g（i）—第i个频谱值。

（3）连接所有极大值、极小值组成的上下包络线，并通过式（16）、式（17）进一步寻找上下包络线的中极大值点Lmax与极小值点Lmin；

（4）Fork=1：k，为了能够抵抗强噪声干扰的影响，设定随着频谱极值点数量k的变化而自适应浮动的阈值，如下式所示：

式中：k—上包络线中第k个极大值点，max（Lmax（1：k））—由Lmax组成的上包络线中的最大值。

（5）在上包络线中，寻找连续两个极大值点Lmax之间存在的极小值点Lmin，这样的极小值点Lmin所在位置记为P；

（6）寻找位置P分别在上下包络线中所对应最小值S及极大值B，判别S大于阈值且同时B小于阈值T的位置，这样的位置记为不同中心频率的分界线，分界线个数K即为模态函数的数量Num=K；

（7）执行前文中的VMD分解过程。

3.2 仿真分析

为了说明AVMD分解方法能够自适应的将复杂信号分解为多个有效的IMF分量，现构建仿真信号如下：

式中：η～N（0，σ）—高斯白噪声，标准偏差取0.1。

本次实验的仿真信号采样频率设定为1000Hz，采样点数为1000，含噪仿真信号在时域中的各组分波形，如图1所示。使用AVMD方法对仿真信号进行分解，并对比其与仿真信号的组成分量之间的分解效果。AVMD得到时域波形，如图2所示。对比图1、图2可知，经由AVMD分解获得的IMF模态信号与原分量信号近似一致，可以得出AVMD方法能较为准确的将分量信号分离出，具有良好的抗模态混叠效果，且噪声得到了一定的抑制。为了进一步证明AVMD分解获得模态分量的有效性，将AVMD分解后的IMF信号进行Hilbertb-Huang变换得到图3Hilbert谱。由图3可知，AVMD能够将能较好地把频率接近的200Hz、220Hz调频分量以及频率突变分量进行有效分离，因此AVMD判定最佳IMF数量是有效的。

图1 仿真信号的各组分时域图Fig.1 The Waveforms of Each Component of Simulation Signals

图2 仿真信号AVMD分解结果Fig.2 AVMD Decomposition Results of Simulation Signals

图3 AVMD分解仿真信号得到的Hilbert谱Fig.3 Hilbert Spectrum Obtained by AVMD Decomposition Simulation Signal

4 AVMD-LSSVM轴承故障诊断模型

本故障诊断系统融合AVMD对信号分解的优点及多尺度排列熵能够检测出时间序列随机性和动力突变特点，最后结合LSSVM作为故障类别分类器，具体流程图，如图4所示。

图4 故障诊断模型的流程图Fig.4 Flow Chart of the Fault Diagnosis Model

图4具体步骤如下：

（1）通过振动实验按一定的采样频率采集滚动轴承正常状态、内圈故障、外圈故障、滚动体故障等加速度信号数据；

（2）利用改进的AVMD对信号进行分解，得到轴承不同状态下最佳数量的IMF分量；

（3）计算IMF分量信号的峭度，将峭度较大的前4个分量中即故障信息多的分量进行重构；

（4）通过多尺度排列熵准则（MPE）构建重构信号的归一化高维特征向量Hp；

（5）将得到的高维特征参数集σ输入LSSVM进行训练后获得LSSVM预测模型。

（6）采集测试信号，按照步骤1-5后输入训练好的LSSVM预测模型中判断其轴承故障类别。

5 实验验证

本实验所使用滚动轴承的信号数据源自Case Western Reserve University轴承数据库。为证明这里提出的AVMD在处理实测信号时的有效性且AVMD结合LSSVM在工程故障诊断中具备极高的故障诊断率，设置如下实验。本次实验所用的信号样本采自驱动端转速为1772r/min工况下，轴承正常状态振动信号及故障尺寸为0.1778mm、0.3556mm下的内圈故障、外圈故障、滚动体故障等7类振动信号，对这些不同故障原因的轴承振动信号进行识别。其中实验参数设置如下：信号的采样频率为12000Hz、采样点数4096，每种类别的轴承信号取100组做训练样本，另外取20组作为测试样本。

首先使用AVMD处理这7类轴承信号，为了节省篇幅，这里仅绘制了故障尺寸为0.3556mm的外圈故障的时域图及频谱图，如图5所示。从时域图中可看出原始信号被分解为6个从低频到高频信号组合的形式且在相同时刻各IMFs波形不重叠，从频谱可看出各模态分量围绕的中心频率皆不相同，即AVMD分解对实际工程信号得到的最佳模态个数也是有效的，可以将频率相近的成分分离开且不存在混态混叠及信号失真等缺陷，表明AVMD对实际振动信号处理具有较强的鲁棒性。

图5 AVMD的IMF分量的时域波形及频谱图Fig.5 IMF Component Waveform and Spectrum of AVMD

计算AVMD分解得到的最佳个数IMF分量信号的峭度值，将峭度值较大的前4个分量信号进行重构，并提取多尺度排列熵作为训练LSSVM输入的特征向量。由于MPE中前几个尺度熵值能够表征振动信号的主要信息，因此这里采取前5个归一化排列熵值作为LSSVM输入的特征向量，另外算法中参数选取如下：尺度因子τ=12，嵌入维数m=5，延迟时间因子λ=1［10］；LSSVM中的罚因子γ=10及核函数σ=0.5。轴承信号的类别标签及多尺度排列熵特征向量，如表1所示。利用训练好LSSVM，对7类轴承信号共140组测试样本的轴承进行识别结果，如图6所示，从图中可看出只有对第7类滚动体故障识别时误识别1个，故该诊断方法很精准。

表1 基于AVMD、多尺度排列熵的特征向量集Tab.1 Feature Vector Based on AVMD and MPE

图6 AVMD-MPE结合LSSVM分类结果示意图Fig.6 AVMD-MPE Combined with LSSVM Classification Schematic

将AVMD多尺度排列熵结合LSSVM与目前常用的故障诊断模型进行比较结果，如表2所示。从表2中可以看出AVMD多尺度排列熵、LSSVM方法的诊断率远高于其它方法，准确率高达99.3%。

表2 不同诊断模型的识别率Tab.2 Different Diagnostic Model Recognition Rate

6 结论

（1）利用信号频谱极值点与设定的自适应阈值之间关系改进的VMD方法能够自适应的确定模态分量个数，并且能够避免人工选取IMF数量的局限性，改善了信号分解的不足或过分解，提高了VMD方法在轴承故障诊断中的实际应用性。

（2）通过AVMD对信号降噪并分解得到多个调幅-调频的IMF信号后通过峭度准则重构分量信号，然后提取信号的多尺度排列熵特征作为LSSVM故障识别的特征向量集，结果表明AVMD多尺度排列熵结合LSSVM模型可以精确的实现滚动轴承的故障诊断。