河蟹养殖水质检测船有限时间航向控制

石子坚，赵德安，孙月平

（江苏大学电气信息工程学院，江苏 镇江 212013）

0 引言

在养殖作业过程中，水质的好坏直接关系到河蟹的健康状况，为保证产量与效益，必须每日对蟹塘水质进行检测。传统方法的检测效率低下，随着物联网技术的发展，远程监测的应用越来越广泛。面对日益扩大的养殖面积，多点自动监测的成本也不断增加，因此移动式检测船的研究是十分必要的。为了保证检测面积的覆盖率，关键在于如何精确地沿着既定路径前进［1］。

结合中外研究文献，针对航迹跟踪控制的研究有很多，包括滑模控制、反步法控制及自抗扰控制等。如文献［2］设计模型预测MPC 控制律，解决了模型约束问题，但计算过程复杂；文献［3］根据速度变化设计滑模控制器，提高了系统鲁棒性；文献［4］结合神经网络优化反步法控制器，使曲线路径也能获得很好的跟踪效果；文献［5］考虑到静态舵角约束、执行器饱和等问题，在滑模控制基础上结合增量反馈，以实现稳定的动态控制；文献［6］采用最小参数法逼近不确定参数，通过指令滤波避免反步法的微分爆炸，实现船舶路径跟踪；文献［7］引入无稳态振荡极值搜索算法对基于自抗扰控制器的设计参数进行整定，以获得更好的船舶航向跟踪控制性能。然而，上述研究方法没有考虑收敛速度，并且依靠严格的数学模型，计算过程繁琐，不易于工程实现。

本文结合检测船低速的运动特点，将复杂直线路径跟踪问题简化为航向保持控制，提出一种基于有限时间控制算法的航向控制律，通过分数幂项提高收敛速度、简化控制律格式，使收敛过程快速、平滑，实现高精度的航向控制，并结合扩展观测器对时变扰动与不确定的模型参数进行估计与补偿，增强了系统鲁棒性，提高了系统的控制性能与动态品质。

1 水质检测船结构及工作原理

1.1 水质检测船结构

水质检测船船体主要包括：船身、左右两个浮体、两个明轮（浮体外侧对称分布）、电控箱（用于存放控制电路板、GPS 等）、工作台（用于固定GPS 天线、远程通信天线等）、驻泊电机（左右各两个）、驱动电机（左右各两个）、多参数水质传感器等，如图1 所示。图中1 是明轮，2 是驻泊电机，3是电控箱，4 是船身，5 是浮体，6 是多参数水质传感器，7 是GPS、GPRS 的天线。

Fig.1 Water quality inspection ship图1 水质检测船

1.2 水质检测船工作原理

自主移动式水质检测船以蓄电池作为电源，以浮体两侧明轮作为驱动装置，调节两侧的转速差产生扭矩，从而实现船体转向［8］；通过直流推杆电机构成的驻泊结构，保证定点采样时水体稳定且检测准确；利用GPRS 网络与手机APP 建立通信，养殖人员根据需求选择手动控制与自动巡航两种模式，检测船根据相应信息产生控制信号，实现对路径的高精度跟踪以及航向控制。

2 航向保持误差动力学模型

为提高检测效率，一般采用全覆盖式路径［9］。考虑到检测船基于明轮驱动、航速较慢的运动特性，转弯部分可近似为若干转向点组成的直线运动，因此本文主要研究直线航向保持。为了方便设计，在Serret-Frenet 坐标系下研究航迹跟踪问题［10-11］，如图2 所示。

Fig.2 Serret Frenet coordinate system图2 Serret-Frenet 坐标系

图中，Ω为规划好的目标航迹，e为检测船与目标航迹距离，ψSF为目标航向，ψ为检测船航向角［12］。在直线航向保持方面，仅考虑纵荡、横荡和艏摇3 个方向，忽略影响很小的垂荡、横摇和纵摇。与纵荡速度相比，横荡速度很小，合速度近似于纵荡速度，即前进速度［13-14］。航向保持模型如下：

式（2）是典型的欠驱动误差动力学模型，满足严格的反馈形式。

下面给出有限时间控制证明相关知识。

定义1［15］考虑如下n维系统：

选取2017年6月～2018年6月我院收治的晚期非小细胞肺癌患者110例作为研究对象，将其随机分为观察组和对照组，各55例。110例患者中有70例为男性，有40例为女性；年龄为28～70岁，平均年龄为（48.7±12.3）岁；病例类型：鳞癌患者50例，腺癌患者60例；排除标准：患有严重心系统、肾系统疾病、妊娠期和精神疾病等患者，所有患者的一般资料，均具有可比性无统计学意义（P＞0.05）。

其中，f:D→Rn是定义在区域D上的连续函数。有限时间收敛可定义为存在一个有限时间T(x0)，对于任意的t≥T(x0)，有如果系统是Lyapunov 稳定且是有限时间收敛的，那么该系统被称为有限时间稳定。

定义2［16］如果存在k∈R，对于任意ε＞0，V(εr1x1,εr2x2,…,εrn xn)=εkV(x1,x2,…,xn) 成 立，则 称 函 数V(εr1x1,εr2x2,…,εrn xn)关于扩张系数(r1,r2,…,rn)是k次齐次的。如果 存 在k∈R，对 于 任 意ε＞0，fi(εr1x1,εr2x2,…εrn xn)=εk+ri fi(x1,x2,…xn),i= 1,2,…,n成 立，则 称 向 量 场f(x) =[f1(x),f2(x),…,fn(x)]T关于扩张系数(r1,r2,…,rn)是k次齐次的。对于系统（3），如果f是k次向量场，则称该系统为k次齐次系统。

引理1［17-18］假定系统（3）关于扩张系数(r1,r2,…,rn)是k次齐次的，f(x)连续且x= 0 是其渐近稳定的平衡点。如果k＜0，则平衡点x= 0 全局有限时间稳定。

3 控制律设计

3.1 有限时间控制器设计

通过GPS 设备采集、主控板计算等，得到航向角与目标航向的误差值，将误差值送入控制器，经过运算得出左右电机的驱动信号，分别实现对两侧明轮的控制。考虑航向误差控制系统（见式（2）），如果设计如下有限时间控制器：

其中，k1＞0，k2＞0，α1∈(0,1)，α2= 2α1/(1+α1)。将式（4）代入式（2），可得到如下闭环系统：

定理1当系统无干扰时（d= 0），对于欠驱动航向控制系统（见式（5）），在控制律（见式（4））作用下闭环系统稳定，输出误差渐进收敛至零。

3.2 稳定性证明

考虑如下Lyapunov 候选函数：

则V关于系统（2）的全导数为：

将系统（5）代入式（7）中可得：

当且仅当r= 0 或= 0 时，= 0。根据LaSalle 的不变性［19］，系统全局渐进稳定。根据齐次系统定义（即定义2），因为α1∈(0,1)，α2= 2α1/(1+α1)，在控制律（见式（4））的作用下，二阶系统（见式（5））关于扩张系数(r1,r2)= (1,(1+α1)/2)的齐次度为k= (α1- 1)/2 ＜0，所以根据引理1，闭环系统全局有限时间稳定。证毕。

3.3 扩展状态观测器设计

在存在外部扰动的情况下，需要通过观测器对系统状态量与扰动进行估计，并且将对扰动的补偿控制反馈到系统中。其中，扩展状态观测器设计如下：

式中，z1是对当前航向的估计，z2是对实际航向变化率的估计，z3是航向扰动估计值，e为估计航向与实际航向误差，β1、β2、β3、α为观测器增益参数。

针对存在误差扰动的航向控制系统（见式（5）），设计控制器为：

其中，k1＞0，k2＞0，α1∈(0,1)，α2= 2α1/(1+α1)。误差系统e随着时间收敛到零，定理1 已证明控制律（见式（4））稳定收敛，因此在控制律（见式（10））的作用下，航向误差控制系统（见式（5））可在有限时间内收敛到零，即实现目标航向跟踪。

4 仿真分析

自主移动式水质检测船的原始参数见文献［20］，动力学模型参数a1= 0.056 22，b= 0.000 7613。由于实际情况下存在饱和约束，因此控制舵角输入 |δ|≤35°。观察控制律（见式（3）），-a1r/b用于抵消模型（见式（2））中的非线性项，当α1= 0 时，控制律则近似于经典的PD 控制。在有限时间控制律（见式（10））中，k1、k2可分别实现对航向角与角速度的有效调节，要合理选择设计方式才能保证该系统的稳 定 收 敛。设 置k1= 2，k2= 3，α1= 0.6，初 始 状 态 为[ -30 0 ]，期望为[ 0 0 ]，在有时变扰动d= sint时，仿真结果如图3、图4 所示。

Fig.3 Heading angle error with disturbance图3 有扰动下的航向角误差

Fig.4 Yaw angular velocity with disturbance图4 有扰动下的艏摇角速度

从图3 可以看出，针对航向角误差，相较于PD 控制，本文提出的控制器收敛更加平稳，收敛速度也有显著提升；在外界扰动的作用下，扩展状态观测器能很好地对扰动进行估计与补偿，有着更好的鲁棒性。由图4 可以看出，本文方法的艏摇角速度明显更小，所需的稳定时间也更短。而且在实际工程应用中，由于明轮船的运动特点，艏摇角速度不宜过大。因此，本文提出的控制器可满足要求。干扰估计如图5 所示。

Fig.5 Interference estimation图5 干扰估计

5 结语

本文针对河蟹养殖水质检测船路径跟踪的航向保持控制，基于齐次性理论设计一种结合扩展状态观测器的有限时间控制器，并给出了稳定性证明与分析。仿真结果验证了该控制器的有效性，并且控制器中的分数次幂项与扰动观测对于外部时变扰动有着较好的鲁棒性，可达到路径跟踪的目的。

虽然与传统线性控制相比，本文设计的控制器有着不错的控制性能，但是本文研究是基于直线航迹的航向保持，对于曲线、转弯部分近似成直线进行处理，并且对复杂的外部扰动进行了简化。因此，在后续研究中，需要对多种路径情况进行分析讨论，对外界扰动进行更深入的研究，以期实现更加精确的路径跟踪。