高效的基于数据与模型的信道估计算法

梅锴，赵海涛，刘潇然，刘军，熊俊，任保全，魏急波

（1.国防科技大学电子科学学院，湖南 长沙 410073；2.军事科学院系统工程研究院，北京 100076）

0 引言

近年来，机器学习技术的研究取得了进展，相关前沿技术成功应用到了语音识别、图像识别、自然语言处理以及机器视觉等领域[1]。这也激起了在无线通信系统中应用机器技术的研究热潮。机器学习获得广泛关注的重要原因之一是它具有强大的数据挖掘能力。具体而言，它通过在大规模数据集上训练神经网络，以挖掘出数据中的潜在规律，从而完成复杂任务。目前，大多数研究也是利用机器学习技术的这一特性，突破无线通信系统中的瓶颈问题。其中，一些研究提出用深度神经网络（DNN,deep neural network）来代替无线收发机系统的物理层中的某一个模块，比如数据检测[2]、信道估计[3-5]、信道译码[6]等，甚至是完全打破传统的无线通信系统结构，将收发机分别用一个神经网络实现[7-8]。

这类方法将神经网络视为黑盒子，依靠大规模训练数据集赋予神经网络所需的功能。这在一定程度上简化了工程师需要承担的工作，并且在模型难以精确描述系统的复杂场景下，其取得的性能可超越经典基于模型的算法中的最优方案。然而，这类方法也存在几点固有的局限性[9]。首先是训练问题。目前，在通信领域还没有用于训练和测试的标准化数据集。此外，网络需要预先进行离线训练再使用。在使用过程中，网络的参数不能再进行调整，因此难以应对动态变化的无线通信环境。再者是可解释性。现在并没有一种系统的方式来理解深度学习方法成功与否背后的原因。这导致很难再进一步改进基于深度学习（DL,deep learning）的算法。最后是基于深度学习的方法需要消耗大量计算资源以及存储资源，在目前大多数通信设备中都难以直接应用。

不同于图像识别等机器学习成功应用的领域，通信系统设计有坚实的理论作为支撑，并且无线通信技术已历经几十年发展，现有基于模型的解决方案有着很好的性能。因此，一些研究通过结合2 种方法各自的优势对现有系统进行改进，设计更具实践价值的算法。这类方法称为基于混合数据与模型的方法，或者数据与模型联合驱动下的方法[9]。现有相关研究可以粗略地分为2 种：模型驱动的机器学习方法[4,10-11]和增强模型的学习方法[9]。

模型驱动的机器学习方法的基本思路是将通信系统的领域知识集成到神经网络，建立模型驱动的深度学习框架。这样的设计范式不依赖于准确的模型假设，而是利用数据来提升性能。同时，获得了一些模型带来的优势，比如降低训练所需的数据量。然而，这类方法依然面临着训练与可解释性方面的问题。

增强模型的学习方法的基本思路是利用数据训练一个自适应的信道模型，然后直接通过训练好的模型设计算法。这类方法不是利用数据直接去修正或者训练一个算法，而是利用数据从备选模型中选出一个符合当前真实环境的模型来完成模型的修正。该方法与模型驱动的机器学习方法的显著差别在于训练过程中，通过修正模型所学到的是模型参数，这些参数是有具体的物理意义的。这样可以带来几点好处：1)基于有具体的物理意义的参数进行设计，使算法具有理论解释；2)在基于修正模型设计算法时，由于存在闭合表达式，不再需要训练数据，可以在线完成算法设计，因此，可以适应动态变化的无线通信环境；3)相比基于数据的网络，待学习的参数被极大地降低，这样模型修正所需要的数据在实际系统中是可以保证的。然而，这类方法不具备无模型特性带来的优势。当备选模型都不符合当前真实信道环境时，这类方法仍存在由模型失配带来的问题。

上述2 种基于混合模型与数据的方法分别以基于模型的方法或者基于数据的方法为侧重点，从最终的算法特性上看，很大程度上会与其中一种方法保持一致，所以会保留其中一种方法的局限性。本文探索一种更为折中的设计范式，更深层次地融合2 种方法，从而得到一种具有全新特性的算法。本文基于文献[12]提出的信道估计方法进一步融合基于模型的方法设计信道估计算法。文献[12]针对目前常用通信体制的基础单元——正交频分复用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）系统，提出了一种可在线训练的学习型估计器。由于该方法采用在线训练的模式，因此可以适应动态无线通信环境。此外，学习模块采用线性结构，计算复杂度低，并且便于从理论上解释其成功实现信道估计的原因[13]。在该方法中，训练数据的生成依赖于块状导频，即一个OFDM 符号内所有子载波都传输导频信号。通常，在基于数据的方法中，训练数据仅用于训练，不能用于完成最终的任务，所以发送块状导频仅仅是为了对估计器进行训练。而在经典的估计方法中，利用块状导频本身就可以完成信道估计任务。因此，本文进一步借助基于模型的方法，以数据与模型联合驱动的方式，实现对训练数据的高效使用。具体而言，在用块状导频生成训练数据进行训练后，直接将训练结果用于块状导频上的信道估计任务，以提升系统效率。

本文主要的研究工作如下。

1)针对采用块状导频的OFDM 系统，提出一种数据与模型联合驱动下的信道估计算法。该算法利用训练数据获得了比传统信道估计算法更好的性能，同时利用模型使训练数据可用于完成信道估计任务，避免了因生成训练数据所导致的系统效率的损失。首先利用块状导频基于最小二乘（LS,least square）估计获得信道频率响应的初始估计结果，然后通过滤波处理抑制LS 估计结果中的噪声，从而提升估计精度。其中，滤波器的系数以数据与模型联合驱动的方式获取，主要包含2 个步骤：以基于数据的方法获取插值系数和以基于模型的方法利用插值系数解析地求解滤波器系数。

2)基于文献[12]提出的方法，设计了基于数据的插值系数获取方案。文献[12]构造了一种可在线获取的训练数据结构，并提出基于该训练数据学得具备信道估计功能的线性模型。事实上，该线性模型属于一种插值器，而线性模型的系数即插值系数。本文对该方法进行了扩展，设计了可通过训练获取插值系数的算法的一般形式，以求得求解滤波系数所需的插值系数。

3)在最小均方误差（MMSE,minimum mean square error）准则下，推导了一种滤波系数展开为插值系数表示的解析关系，使基于数据所获取的学习结果，即插值系数，能够用于实现滤波功能，完成信道估计任务。这使块状导频不仅可用于生成训练数据，还可用于实现信道估计，从而实现了对训练数据的高效使用，提升了系统效率。

4)本文对本文算法的可行性与复杂度进行了分析。此外，基于OFDM 系统进行了仿真实验，仿真结果验证了本文算法的性能、稳健性以及对实际非理想因素的适应性。

1 系统模型与问题描述

OFDM 系统结构如图1 所示。令x=[x1,…,xK]T表示经过调制的发送信号，y=[y1,…,yK]T表示频域接收信号，上标T 表示转置。假设接收机的时频同步准确，第k个子载波上的接收信号可表示为

图1 OFDM 系统结构

其中，zk为高斯白噪声；hk为第k个子载波上的频率响应，通常假设hk为平稳随机变量且服从零均值复高斯分布。令h=[h1,…,hK]T表示信道频率响应；r(Δ)表示信道的自相关系数，即r(Δ)=，其中 E[·]表示求解期望，上标*表示共轭操作。不失一般性地，本文假设信道响应功率为1，即r(0)=1。

文献[12]针对OFDM 系统提出了一种学习型信道估计方法。该方法可以在线收集训练数据，并实时地快速地完成训练，这有助于通信系统的智能化发展[14]。本文首先对该方法进行简要介绍。考虑学习模块的输入维度为2，输出维度为1，则学习模块可表示为

由式(2)可以看出，学习模块的输出是输入的线性组合，或者叫加权和。这不同于很多现有的基于机器学习的信道估计方案，在现有方案中，输出通常是输入的非线性映射。相反，上述方案与大多数基于模型的信道估计方法在结构上是一致的，因为许多经典的信道估计方法都可以表示为式(2)的形式[17]。由于结构上与经典算法是一致的，这使上述基于机器学习（或者基于数据）的方法便于与经典的基于模型的算法相结合。

在上述方法中，为通过训练获得插值系数ω，需要发送一个额外的块状导频符号，即一个OFDM符号中所有的子载波都传输导频信号。首先，利用块状导频基于LS 估计算法获得信道的频率响应，如式(3)所示。

其中，w=[w1,w2,w3]T为3 维向量，包含连接输出与输入的3 个权系数，在本文中称w为滤波系数。

从另一个角度讲，上述过程也违背了机器学习的一般流程。在一个机器学习任务中，训练数据通常只用于用来优化学习模块参数，任务是在后续新的数据上完成的。上述过程是要实现在利用生成训练数据并学得滤波系数w后，又直接将学得的w用于处理得到更高精度的估计。这意味着训练数据不仅用于优化学习模块参数，还要完成最终任务，这在通常的机器学习方法中是不可实现的。因此，仅凭借文献[12]中的方法无法完成上述设计目标。

本文考虑在文献[12]的方法基础上，进一步借助基于模型的方法来实现上述目标。采用基于模型的方法推导出滤波系数展开为插值系数的表达式，其中，插值系数用文献[12]的方法以基于数据的方式得到。这样以数据与模型联合驱动的方式可以实现通过训练优化信道估计，同时训练过程不会造成额外数据消耗。

2 算法设计

2.1 基于模型部分的算法

在现有基于模型的方法中，有多种计算滤波系数、插值系数的方式。众所周知，其中的最优方法是MMSE 算法[18]。因此，本文在MMSE 准则下推导出滤波系数展开为插值系数的表达式，作为基于模型部分的算法。

以滤波系数w为例，MMSE 准则可以表示为如下优化问题

式(6)从形式上看是线性最小均方（LMMSE,linear MMSE）准则，但在本文考虑的模型下，MMSE准则与LMMSE 准则下的算法有相同的解析形式[18]。推导借鉴经典的卡尔曼滤波器的推导思路[18]。以上述滤波任务为例，在卡尔曼滤波中，为了得出对g1的估计，首先求解出对g1的MMSE 估计，该过程称为预测。然后求解包含的新息，新息是指中与不相关的那一部分，求新息的过程也称为正交化。在对g1的预测基础上加入新息对g1的MMSE 估计，最终得出对g1的MMSE 估计。

其中，ωa表示估计g1的MMSE 插值系数，；表示对g1的MMSE 估计，为新息。附录1 推导了的表达式，如式(8)所示。

其中，r1,2=[r(1),r(2)]T表示h的自相关向量，H 表示共轭转置，表示中包含的噪声的功率。

令bm为估计g1+m的MMSE 插值系数，有

将式(9)代入式(8)中，式(8)可进一步化简为

其中，ωb=[b1,b2]T，b1和b2分别为m=1 和m=2 时bm的值。将式(10)代入式(7)，可得

在式(11)中，等式右边除b0外，变量均为插值系数。注意到，本文的目标是将滤波系数展开为插值系数，即等式右边的参数均需为插值系数。否则，等式右边的变量将不能用基于数据的方法统一求解。因此，本文用近似替代b0，可得出由插值系数ωa和ωb求解w的公式，即

至此，本文得出在MMSE 准则下，滤波系数展开为插值系数的表达式。

基于模型部分的算法为根据式(12)，利用插值系数计算出滤波系数w。

2.2 基于数据部分的算法

基于第1 节介绍的可在线训练的学习型信道估计方法，获取插值系数ωa和ωb。

令ω为待学习的参数，有yO=ωTxI。这样可以对不同训练数据集的训练算法做统一的阐述，也就是对ωa和ωb的获取算法做统一描述。

上述优化问题存在解析解，即

式(14)即基于数据求解插值系数的方法。由于训练通过求解解析解完成，因此该训练过程总能获得最优参数。针对不同的插值系数，利用，根据文献[12]中导频辅助的训练数据生成（PATDG,pilot aided training data generation）方案产生相对应的训练数据。对于ωa，XI和分别为(K-2)×2维矩阵和(K-2)×1维向量，其具体形式为

对于bm(m=1,2)，XI和分别为(K-2)×1维矩阵和(K-2)×1维向量，其具体形式为

2.3 算法流程

其中，系数w为M维向量。

w扩展为M维向量后，基于模型部分的算法，即式(12)给出的滤波系数与插值系数的解析关系需要相应扩展。而基于数据部分的算法，即式(14)为一般形式，所以不需要进行修改，但式(15)和式(16)给出的训练数据集的形式需要进行扩展。

式(12)扩展后的形式为

其中，插值系数ωa、ω b为M-1维向量。可以看到，式(18)与式(12)的形式基本一致。这是因为在第2.1 节基于模型部分的算法的推导中，所采用的参数的符号标记不受w的维度的影响，因此便于对推导结果进行扩展。

为获取ωa，式(14)中XI和的具体形式为

为获取ωb中的bm(m=1,…,M-1)，式(14)中XI和的具体形式为

基于第2.2 节介绍的基于数据的插值系数获取方法以及第2.1 节设计的滤波系数与插值系数的解析关系，可以设计一种数据与模型融合驱动的信道估计算法，如图2 所示。算法流程如下：首先，利用生成训练数据，如式(19)和式(20)所示；然后，用基于数据的方法，即式(14)，得到插值系数ωa、ωb，再通过基于模型的方法，即式(18)，由ωa、ωb求解出滤波系数w；最后，利用得到的滤波器对进行处理，抑制中的噪声，完成整个信道估计任务。

图2 信道估计方法流程

从图2 可以看到，不同于基于模型的方法，算法中没有用到信道的统计参数。以一种典型的基于模型的方法——MMSE 算法为例，在该算法中需要用到关于中包含的噪声的功率以及h的自相关函数等信息。在实际系统中，这些关于的统计模型的信息是未知的，通常需要通过较为复杂的算法来获取。此外，获取参数的偏差还会带来性能损失。而本文算法中不需要用到模型参数，所以避免了上述问题。

本文算法也不同于基于数据的方法，算法中的训练数据可以直接用于完成信道估计任务。根据现有基于数据的方法（基于机器学习的方法），为学得估计器，首先需要一个数据集，该数据集可以是通过仿真离线生成的[4]，也可以是基于块状导频生成的[12]，在使用估计器时，又是基于新的数据，数据集的作用仅仅是用于训练。而在本文算法中，导频信号既可以用于产生训练数据，又可以用于完成信道估计任务，从而大幅提升了数据使用的效率。

通过数据与模型融合驱动的方式，本文算法集成了基于数据的方法和基于模型的方法各自的优势。基于数据的方法使算法不需要模型参数，避免了模型参数的获取以及由于参数偏差导致的性能损失。基于模型的方法使训练数据可以用于完成最终任务，从而提升数据使用的效率。

3 性能分析

3.1 可行性分析

本节主要分析本文算法结合基于数据的方法与基于模型的方法的可行性，以及在本文算法中训练数据可被使用的原因。

文献[12]已经验证了当样本量充足时，用其提出的基于数据的方法可学得插值器，且其性能十分接近于MMSE 插值。所以在样本量充足的条件下，基于数据的方法可以视为一种MMSE 插值的近似实现方式。为保证基于数据部分的算法有充足的训练数据，需要h有较高的维度，即一个OFDM 符号中包含较多的子载波，如子载波数为512、1 024 等。此时，所提的数据与模型融合驱动下算法可视为一种针对MMSE 准则的算法。具体而言，首先用基于数据的方法获得近似的MMSE 插值系数，然后用MMSE 准则下插值系数与滤波系数的解析关系得出近似的MMSE 滤波系数。因此，本文算法可以视为一种以基于混合数据与模型的方式实现MMSE 估计的算法。

值得注意的是，滤波系数w不仅可用于处理产生训练数据的LS 估计，也可用于处理与独立同分布的数据。换言之，计算得出w后，在信道统计特性不变的情况下，可以直接用之前计算得到的w处理本次块状导频上的LS 估计结果。这受益于基于数据方法的泛化能力。从另一个角度讲，由于w是近似的MMSE 滤波系数，在信道统计特性不变的条件下，MMSE 滤波系数不变，因此只用计算一次滤波系数w，后续块状导频上的信道估计可以直接使用此次计算的w的值。

本文算法可以使用训练数据最重要的原因在于其特殊的训练数据结构。在通常的基于数据的方法中，训练数据不会被使用的原因在于，训练数据的标签一般为输入数据所对应的理想输出。对于训练数据，由于理想输出是已知的，因此输入这部分数据所得到的输出没有价值。因此，通常的训练数据仅用于训练，不会被再次使用。而在本文算法中，训练数据的标签是信道响应的LS 估计结果，并非理想输出（准确信道响应h）。LS 估计结果对噪声功率敏感，通常需要进一步处理以抑制噪声影响，所以在理想输出未知的条件下，训练数据仍具有使用的价值。

3.2 复杂度分析

本节采用复数乘法（CM,complex multiplication）的数目来表征计算复杂度。为了简化，令Cpinv(NM2)、Cinv(M3)分别表示计算M×N(M＜N)矩阵广义逆和M×M矩阵逆的复数乘法数目。

本文算法可以分为2 个步骤，即计算滤波系数w和用w对LS 估计结果进行滤波处理。其中，第二个步骤包含了MK次复数乘法，M和K分别为w的维度和的维度。对于大多数方法，这个步骤的计算量是相同的，主要区别在于计算w的复杂度。

在本文算法中，计算w需要(M-1)(Cpinv(N)+2N+1)+Cpinv(N(M-1)2)+M次复数乘法，其中N为训练数据量。在MMSE 信道估计中，计算w需要Cinv(M3)+M2次复数乘法。实际系统中，信道响应的相关系数和噪声功率通常是未知的，所以MMSE 信道估计通常还需要额外的运算以获取其所需的统计信息。本文算法的计算复杂度比MMSE信道估计稍高，甚至与之相当。

4 仿真分析

为验证本文算法的性能，本节搭建了OFDM 仿真系统，系统模型的数学表达式如式(1)所示，系统参数如表1 所示。本节将通过仿真实验对本文算法的参数设置（即输入维度M）进行讨论，检验其稳健性与对实际非理想特性的适应性，以及与现有方法进行对比。采用如式(21)所示的归一化均方误差（NMSE,normalized mean square error）衡量信道估计的性能。

表1 系统参数

在仿真中，假设一帧内的信道响应不变，而不同帧之间的信道响应相互独立。信道延迟功率谱（PDP,power delay profile）采用指数衰减谱[15]，如式(22)所示。

其中，C表示归一化系数，τmax表示最大多径时延。

图3 比较了不同输入维度下本文算法的NMSE性能。通常，输入维度M越高，估计性能通常越好。但在本文算法中，M越高，基于数据部分的算法所需的训练数据量越大。由于每个导频符号可提供的训练数据量是固定的，因此随着M的增加，所提供的训练数据将难以满足训练需求，这将导致基于数据部分的算法性能下降，最终导致整个信道估计性能的下降。因此，M值的选取需要根据实际提供的训练数据量选择一个适中的值。根据式(20)易得训练数据量等于K-M+1，其中K对应一个OFDM符号中的可用子载波数，仿真中K=410。从图3中可以发现，随着M的增加，信道估计的性能先是逐渐提升，但是当M=8 时，在高信噪比下，其性能较M=7 有所下降；当M=10时，在低信噪比下，其性能仍略有提升；当M=30时，与M=10相比，M的增加反而导致性能有明显下降。这说明在K=410时，M最优的取值是7。M在趋近7 时，训练数据量逐渐难以满足基于数据部分算法的训练需要。再增加M，不仅会导致计算复杂度的增加，还可能导致性能的降低。

图3 不同输入维度下本文算法的NMSE 性能

图4 进一步仿真了本文算法的NMSE 性能随可用子载波数的变化。令信噪比（SNR,signal to noise ratio）为0，通过调整虚拟子载波数目来控制可用子载波数K。从图4 中可以看到，在K较小时，本文算法的性能有明显损失，特别是在M取较大值时。随着K的增大，本文算法的NMSE 逐渐下降。对于M≤4，当K>300，NMSE 的下降趋于平缓，说明此时提供的训练数据已较为充足。对于M≥5，当K接近410 时，NMSE 的下降趋势仍较为明显，说明一个OFDM 导频符号所能提供的数据不足以满足其训练需求。在后续的仿真实验中，为保证基于数据部分的算法的训练数据量充足，M取较小的值4。

图4 本文算法的NMSE 性能随可用子载波数的变化

图5 仿真了不同最大多径时延下本文算法与LMMSE 算法的性能对比。不同最大多径时延取值表征了不同的信道环境。仿真中将本文算法与LMMSE算法进行对比。与本文算法相同，LMMSE 算法算法也使用一个块状导频符号。从图5 可以发现，当SNR在0 左右时，本文算法性能均十分接近LMMSE算法，这说明本文算法对于信道环境有稳健性。此外，还可以看到，在低信噪比下，本文算法相比LMMSE 算法有较大的性能损失，这是由噪声能量对基于数据部分的算法性能的影响导致的[12]。此外，在高信噪比下，当τmax=8 μs 时，本文算法也会产生性能损失。针对此现象，下一个仿真实验将会进行深入分析。

图5 不同最大多径时延下本文算法与LMMSE 算法的性能对比

图6 仿真了极高信噪比下本文算法的性能。从图6 可以看到，随着信噪比的增加，性能反而会变差，这是因为在基于模型部分的推导中，本文用参数近似地替换b0，如式(12)所示。该近似导致的性能损失在高信噪比下尤其明显。曲线修正算法代表的是本文算法在基于模型部分采用精确b0值的性能。值得注意的是，由于b0精确已知的条件在实际系统中不能满足，因此修正算法仅用作性能分析，不具备实践性。

图6 极高信噪比下本文算法的性能

从图6 中可以看到，修正算法在极高信噪比依然十分接近于LMMSE 算法。这表明本文算法在高信噪比下的性能损失主要是由用替换b0的近似操作导致的，而b0又不能通过基于数据的方式获取。如何补偿该近似造成的高信噪比下的性能损失是本文算法面临的一个难题。

图7 比较了本文算法与经典估计算法在不同信噪比下的NMSE 性能。虽然本文算法的性能会稍微劣于理想LMMSE 算法，但在实际系统中，信道估计的统计参数未知，需要通过估计获取。相比采用估计参数的LMMSE 算法[20]（估计信道统计参数利用的是同一块状导频符号），本文算法有明显的性能优势，特别是在低信噪比条件下。这是因为在低信噪比下，信道二阶统计参数的估计存在较大偏差，导致整体估计性能的恶化。而本文算法受噪声功率的影响要小很多。该仿真结果说明，当实际系统中的信噪比条件较差时，采用本文算法的系统性能将明显优于基于LMMSE 估计原理的信道估计算法。

图7 本文算法与经典估计算法在不同信噪比下的NMSE 性能

基于数据的方法的一个重要的优势是可以适应实际非理想特性。文献[12]中的方法可以通过学习补偿实际非理想的影响。为检验本文算法是否保留了这一特性，本文仿真了存在定时误差（STO,symbol timing offset）的场景下本文算法的性能。仿真中，假设STO 均匀分布于[θmin,…,0]。为进一步体现信道估计对系统性能的影响，本文用误码率（BER,bit error rate）来表征信道估计性能，采用迫零均衡（ZF,zero-forcing）和硬判决来恢复信息比特。

图8 描述了不同θmin取值下3 种算法的性能对比。在该场景下，信道自相关函数会随STO 的值变化，进而影响LMMSE 算法的性能[21]。因此，在不考虑STO 的影响时，LMMSE 算法有明显的性能损失。在修正LMMSE 算法[21]中，利用STO 的统计信息可以补偿STO 对LMMSE 算法造成的影响，从而提升信道估计的性能。在本文中，称修正LMMSE也为平均LMMSE（ALMMSE,average LMMSE）。从图 8 中可以看到，本文算法的性能仍优于ALMMSE 算法，并且θmin的取值越小（定时误差越大），优势越明显。这是因为基于数据部分的算法可以利用训练数据学到定时偏差并且很好地进行了补偿，所以本文算法也可以很好地补偿STO 产生的影响。

图8 不同 θmin 取值下3 种算法的性能对比

图9 比较了本文算法与2 种基于深度学习的信道估计算法的性能[3,22]。信道条件与图8 对应的实验相同，且θmin=-4 0。在仿真中，本文假设采用基于深度学习的信道估计的系统可以利用仿真数据进行离线训练（数据量为 2×107），并且除信噪比外，训练阶段信道的统计特征与使用时一致。训练阶段的信噪比为可能的最大值[3]，即10 dB。卷积神经网络（CNN,convolutional neural network）和DNN 的结构在原文献的基础上进行了调整，使之与本文算法的输入与输出保持一致，输入层和输出层维度分别为8 和2。CNN 的卷积核大小为3×3，有3 个卷积层，分别包含4、8、8 个卷积核。DNN 有3 层，其中隐藏层包含20 个神经元。除输出层外，激活函数为ReLU，输出层激活函数为线性函数。从图9 中可以看到，本文算法的性能优于2 种基于深度学习的信道估计算法。这是因为在这2 种算法中训练阶段和使用阶段是分离的过程，且使用阶段不能进行训练。而本文算法结合数据与模型，使训练阶段和使用阶段采用的是同一批数据，从而保证了2 个阶段的数据特征是完全一致的。在使用阶段，本文算法通过实时训练及时适应新的信道条件，如信噪比的改变，从而获得了更好的性能。

图9 本文算法与2 种基于深度学习的信道估计算法的性能

从上述仿真结果可以看到，本文算法通过结合数据与模型，弥补了数据与模型各自的不足。相比基于模型的方法，即LMMSE 算法，避免了由于获取的信道统计参数的误差而导致的性能损失，在低信噪比下性能优势尤其明显。相比基于数据的方法，即基于深度学习的信道估计，避免了由于训练阶段与使用阶段数据特征的差异而导致的性能损失，能够适应信道条件的变化。

5 结束语

本文设计了一种新的数据与模型融合驱动下的信道估计算法。该算法避免了基于数据的方法与基于模型的方法各自的弱点。与基于模型的方法相比，本文算法不需要模型参数，以及可以适应实际非理想特性。与基于数据的方法相比，本文算法可以使用训练数据，既不需要离线训练，也没有因为在线产生训练数据给系统带来额外的导频消耗。为验证本文算法的性能，本文搭建了OFDM 仿真系统。仿真结果显示，本文算法具有良好的稳健性以及对实际信道环境的适应性，并且在低信噪比下，其性能明显优于实际条件下的LMMSE 估计。

附录1的表达式推导

根据MMSE 的估计公式[18]，有

其中，r1,2=[r(1),r(2)]T表示2 维自相关向量。