巧用“齐次化”解决圆锥曲线中的定点定值问题

浙江省宁波市第四中学 (315016) 蒋亚军

定值与定点问题是圆锥曲线中典型的问题，其中圆锥曲线C上的一定点M和两动点P,Q(异于点M)，则动直线PQ过定点与直线MP,MQ的斜率之积(和)为定值密切相关.

一、几个结论

(3)当kMP+kMQ=λ(λ≠0)时，

二、典例运用

1.定点求定值

图1

评注：对圆锥曲线上一定点M(x0,y0)和两动点A,B(异于点Q)，由动直线l过定点P(p,q)，求kMA+kMB或kMA·kMB的定值，需要注意直线l的斜率是否存在，为避免分类讨论，利于二次方程齐次化的转化，可设直线l:m(x-p)+n(y-q)=1.

2.定值找定点

例2 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(-1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q.若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.

图2

图3

评注：对一定点Q(x0,y0)和圆锥曲线上两动点A,B(异于点Q)，由kQA+kQB或kQA·kQB为定值，求动直线l过定点是这类问题的正向问题.

3.提炼与移植

图4

三、连接高考题

2020年高考全国卷Ⅰ理数第20题:

(2)证明：直线CD过定点.

本题还可得出有关定点、定值问题：

(1)证明：直线AD与BC的交点在定直线直线x=6上；

结合上述的结论，我们可以将此题改编为：