三模光力腔中机械振子的基态冷却

刘妮，常瑞，张小芳，梁九卿

（山西大学 理论物理研究所，量子光学与光量子器件国家重点实验室，山西 太原 030006）

0 引言

微纳米机械振子是研究经典力学到量子力学的重要过渡工具，在实现宏观系统的量子纠缠态等量子信息处理任务中具有重要作用［1-3］。由光辐射压驱动的机械振子与光腔组成的混合系统称为光力腔系统。近年来，与光力腔系统相关的量子力学行为已得到广泛研究，如：将Kerr介质放入光力腔中可实现量子非线性效应［4］；两光腔模和机械模构成的光力腔系统中的选择性能量交换、模压缩、正常模分裂等量子动力学［5］；与多模光力腔系统相关的模压缩问题也是人们感兴趣的话题［5］。此外，人们在光力腔系统中已提出了各种机械振子的基态冷却方案，并观测到电磁感应透明、光学多稳等一些有趣现象［6-7］。目前，实验表明，两光学模与单模机械振子的耦合可以显著增强量子非线性，该增强的量子非线性在光子数的量子非破坏测量方面具有潜在的应用。最近，由两光学模和机械振子模构成的三模系统也被用于研究多粒子量子关联［8］。目前，光力腔系统中机械振子的基态冷却备受研究者的关注［9］，大量的理论方案［10-12］已被提出。标准光力腔系统中的边带冷却必须满足：冷却反斯托克斯过程对应涨落谱的最大值和加热斯托克斯过程对应涨落谱的最小值，该过程是机械振子的自冷却。自冷却可通过引入辅助系统来吸收机械振子的能量使其能量减少最终实现冷却［12-13］，光力双腔系统就是通过这种方式来实现机械振子的基态冷却［6，12，14］。

基于以上研究背景，本文提出在三模光力系统中实现机械振子的基态冷却。基于海森堡-朗之万方程首先得到三模光力腔的有效哈密顿量，然后利用非线性海森堡-朗之万方程得到系统算符的时间演化，同时给出光压涨落谱；最后基于有效哈密顿量得到机械振子的速率方程，并从速率方程解出机械振子冷却率和稳态平均声子数。最终通过光压涨落谱、机械振子冷却率和稳态平均声子数随参数的调控，给出了最优的机械振子冷却参数。

1 三模光力腔

图1系统的哈密顿量为：

图1 三模光力腔装置：由频率为ω1、ω2的光学模（用运算符a1和a2表示）和频率为ωm的机械模（用运算符b表示）组成，两光腔与机械振子形成的耦合系数分别为g1和g2，两光腔的耦合系数为JFig.1 A three-mode optomechanical cavity consisting of two optical mode with the frequencies ω1and ω2and the me⁃chanical mode with the frequency ωm.The coupling strengths between two mode optical cavities and the mechanical resona⁃tor are g1 and g2，respectively.The coupling strength be⁃tween two optical cavities are J

相互作用哈密顿量（2）是由腔频的空间依赖性引起的，其中两光腔间的耦合J对应Kerr类型的相互作用，是一种量子非线性［15］。当机械位移足够小时，线性项成为相互作用中唯一重要的项。

用海森堡-朗之万方程写出系统相关算符的运动方程：

将算符写成稳态平均值和零平均涨落值的形式，即 ai→αi+ai，b→β+b，并对朗之万方程（3）-（5）求平均值：

最终求得各算符对应的稳态平均值为：

同时对应的Hamiltonian量为

通过将哈密顿量（12）保留双线性项，我们得到三模光力腔的有效Hamiltonian量

其 中 Ωi=ωi-2βgi，J1=g1α1-Jα2，J2=g2α2-Jα1，δ=2Jβ。

2 朗之万方程

研究弱耦合区域时，即满足（Ji≪ωm）时，机械振子对光学模的后反应作用很小可忽略，因此光压涨落谱S(ω)由有效哈密顿量（7）的光学部分决定，即

3 光压涨落谱

首先给出傅里叶变换

利用傅里叶变换（17），我们将朗之万方程（15）和（16）变至频域，并得到

求解方程（15）和（16），可得

通过（14）-（20）我们得到

根据傅里叶逆变换我们求得涨落谱

基于涨落谱（28），图2给出了光压涨落谱随双光腔耦合系数δ的变化。涨落谱的正频和负频部分决定了机械振子的基态冷却，因此要实现基态冷却要求S(ω)尽可能大而S(-ω)尽可能小。通过调节双腔间的耦合系数δ，我们发现涨落谱是由双峰和一个谷构成的类电磁诱导透明的谱，且在ω/ωm=-1时，负频处的涨落谱S(-ω)在谷处，且δ=5ωm时涨落谱的负频部分S(-ω)取到最小值。而δ=2ωm时，正频处的涨落谱S(ω)较大。为了达到最大冷却，我们应该使右峰的中心在ω/ωm=1处。

图2 双腔间耦合系数δ影响下涨落谱S(ω)随频率ω的变化图，给定的参数为：Ω1=ωm，Ω2=-ωm，J1=2ωm，J2=0.1ωmFig.2 Fluctuation spectrum S(ω)as a function of the fre⁃quency ω with different double-cavity coupling coefficient J.The given parameters are Ω1=ωm，Ω2=-ωm，J1=2ωm，J2=0.1ωm

4 速率方程

为了给出稳态声子数和冷却率，我们首先给出机械振子的速率方程

在弱耦合（Ji≪ωm）下，跃迁速率可以用微扰论求出。我们将有效哈密顿量（7）写成H=H0+Hi，其中

根据（23）式和（24），我们写出本系统的机械振子的速率方程：

其中γm为机械振子的耗散系数，nm为热态声子数。而跃迁速率分别为

根据（32）式可以得到稳态平均声子数和冷却率分别为：

5 冷却率

图3 不同衰减率γc2的影响下冷却率γc随双腔间耦合系数δ的变化图。给定的参数是：J1=0.6ωm，J2=0.05ωm，Fig.3 Cooling rate γcas a function of the coupling strength between two optical cavities δ in different decay rates γc2.The given parameters are J1=0.6ωm，J2=0.05ωm，

6 稳态平均声子数

图4展示了稳态声子数nf随双腔间耦合系数δ的变化，我们发现：随着双腔间耦合系数δ的增大，稳态声子数nf单调递减，直到趋于零。在耦合系数δ=5ωm附近，稳态声子数nf开始趋于稳定值，此时对应涨落谱的谷点值（参见图2），从式（33）可看出此时nf为最小。

图4 稳态声子数nf随着双腔间耦合系数δ的变化图。给定的参数是：ωm/γm=6.2×104，nm=400，J1=0.6ωm，Fig.4 Mean phonon numbernfas a function of the coupling strength between two optical cavities.The given parameters are ωm/γm=6.2×104，nm=400，J1=0.6ωm，

7 结论