追本溯源，探寻计数方法的前世今生

王宏伟 鲍银霞 钱运涛 赵阳云

一、教学思考

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人类文化的重要组成部分。说起数学，不得不说到数。那么，数是怎么来的？为什么要有数？人类的计数实践活动是从什么时候开始的？这是很多学生在学习过程中都会产生的疑问。《义务教育数学课程标准（2011版）》也提出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感和符号意识，可见数与数字符号的重要性。从计数活动到创造数字符号，最终形成数，人类用了漫长的时间，数字符号的诞生有着伟大的意义。

而这一伟大的创举该如何呈现给学生呢？多数教师一般采用讲授式的教学方法。可实际上，在信息极度开放的当下，并随着学习经验的不断积累，大部分学生对数字符号及数的产生过程已经有了一定认识。这便促使教师的教学设计要做到“目中有人”，让课堂更富有数学味儿和文化味儿，真正发挥《从结绳计数说起》这一学习内容的育人价值。使学生在自主发现、探究及小组合作学习的过程中体会不同文化背景下的计数方法之间的区别与联系，感受数及数字符号产生的重要价值。

二、教材分析

（一）知识图谱

（二）教材编排与处理

《从结绳计数说起》是北师大版小学数学四年级上册第一单元“认识更大的数”的第 6 课时，是小学阶段认识自然数的最后一个内容。而漫长的十进制计数法的发展历程，经历了计数和符号两个层次的抽象。因此，为了体现这一本质，教材精选数学史料，共编排了三个板块的学习内容：

编者的意图是结合十进位值制计数法的形成过程，使学生了解自然数的产生与发展，对自然数的意义与特征进行总结与概括，为后续系统学习小数和分数奠定基础。

三、学情分析

从一年级入学到现在，学生通过学习数的认识与计算，一直在逐步认识自然数：一年级上册认识了 20 以内的数，其中，第七单元，学生对古人计数有了一些了解;一年级下册认识了 100 以内的数;二年级下册认识了万以内的数;三年级下册认识了分数;经过前几次数的认识，学生已经对进位制和位值制有了一定体会。但数学的学习还需要认识更大的数，进而也就需要进一步体会十进位值制计数法的优越性。本单元前面几节课又认识了万以上的数，可以说学生已经积累了一定的知识与活动经验。但事实上，还不完全了解今天所学习的如此简单的数，却经历了一个极其漫长的发展过程，对它的价值也体验不够深刻。很多学生会读数、写数，也会进行数的运算，但是却很少主动去探索数的来源。

作为本单元的最后一个内容， 本节课，学生通过阅读数学史料，感受抽象的数学思想，体会十进位值制计数法的重大价值，能够有效增强学生热爱数学的情感。

四、教学设计图谱

五、教学实践

（一）预习导航，激疑启思

师：同学们，你们都知道今天我们要研究的内容了，一起说出来吧。（板书课题：从结绳计数说起）那么这节课我们就来了解人类计数方法的发展过程，追本溯源，探寻计数方法的前世今生，让我们从结绳计数说起。

1.先独立思考，然后小组交流预习的情况

请拿出昨晚完成的“预习导航”，打开数学书12页，同桌之间交流2分钟。

2.汇报预习情况

（1）了解学生已经知道了哪些内容

（2）聚焦学生预习后产生的疑问

【设计意图】通过预习导航，找准学生学习的起点，聚焦需要导学的“问题”。在这一环节，学生基于课前的独立思考，提出疑问，他们获得的不仅仅是知识，更是提出问题的能力，这正是数学教育的育人价值所在。

（二）导学反馈，释疑解惑

通过汇报知道了同学们预习做得非常好，尤其是提出问题的能力值得称赞，提出一个问题比解决一个问题更重要，表扬你们！下面我们就围绕这三个核心问题开展我们的学习吧。

1.解读史料，了解实物计数法

出示第一幅图的三种计数方法，聚焦问题。

（2）议一议：这三种计数方法有没有共同的地方？

（3）想一想：你觉得这些计数方法怎么样？有没有不足之处呢？

（4）介绍按群计数。

2.解码史料，理解符号计数法

出示第二幅史料图，明确学习任务。

（2）写：尝试用以上符号仿写出“六十七”

（3）议：选择一个或几个学生的作品进行交流匯报

（4）思：你觉得这些数字符号怎么样

（5）试：用小棒摆一摆我国的算筹数码计数（同伴两人合作完成）

从古至今，人类历史上出现过许多不同的进位制，现在应用最广泛的十进制， 源于古人用双手十指计数的方式，成语“屈指可数”就是这样得到的。但是超过10 的数，双手的手指用完时，就在地上放一块石头或一根树枝代表 10 个，经过长期的实践和总结经验，就产生了十进制。位值制是中国的一大发明，这是中国古人智慧的结晶。

3.介绍印度-阿拉伯数字

尽管用符号表示比用实物表示简单了些，可是仍然很麻烦，各地的人们用不同的符号来表示相同的数量造成交流的不便，于是人类发明了我们现在世界统一使用的印度-阿拉伯数字。

（1）文字介绍

（2）微视频介绍由来

（3）你觉得印度-阿拉伯数字怎么样

引导学生感受印度-阿拉伯数字简单明了、方便实用的作用。

【设计意图】此处采用了“读→写→议→思 → 试”的环节，让学生先读懂材料，再交流自己的想法，进而组织学生仿写数字，最后再进行思考：这些方法的进步和不足之处。通过这三种符号计数方法的学习，使学生在此感受到数学历史文化的博大精深，理解了我们今天所用的阿拉伯数字实际是经过了漫长的探索和实践经验而得来的，激发了对数学探究的欲望，也增强了对数学的热爱。

（三）继承演变，共享今生

1.认识自然数

同学们，通过刚才的学习，我们知道了印度—阿拉伯数字帮助人类解决了一个大难题，那么像这样的表示物体个数 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然数。（课件出示自然数的概念，特别强调一个物体也没有用 0 表示，0 也是自然数。）

组织学生阅读粉色框框中的内容，关于自然数的特征你们还知道哪些？ 再进行组内交流，最后小组汇报。

【设计意图】本环节先通过微视频让学生了解了阿拉伯数字的由来，感受到阿拉伯数字简单明了，方便实用的价值。进而组织学生独自阅读自然数的概念，再进行交流。通过充分交流，学生把自己所认识的自然数都整理和归纳出来，这为后续学习数与数的运算奠定了良好的基础。

（四）归纳积累，总结提升

1.当堂检测

独立完成，集体反馈交流，同桌交换批改。引导学生学会观察，找到相应规律。

【设计意图】练习部分完全采用教材中的习题，在布置和汇报的环节，再次注重孩子对图的理解，充分体会“十进位值制”的内涵。关注知识的同时，更关注活动带给学生的感受，这些感受让学生对数学有了新的认识，真正体会到数学的实用价值。

2.归纳总结

师：同学们，今天我们经历了课前预习，课堂汇报交流，质疑与解疑这样的学习过程，知道了计数方法的演变过程等知识，相信大家的收获也不少，下面你们把你们的收获写出来吧。（略）

【设计意图】利用课堂最后的几分钟，先借助板书清晰地再现问题解决的全过程，建立学习模型，既培养了学生的反思习惯，又积累了学习经验，更提高了学生归纳积累的能力。

【课后反思】

文化浸染引领深度学习

张奠宙等人在《数学文化的新视角》中提出：数学文化教学可以使学生在学习数学的过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。《从结绳计数说起》这一课以数学史为主要载体，利用古人计数这一素材，让学生了解计数方法和计数符号的发展演变过程，体会十进位值制的重大价值，感受数量度量的萌芽与发展，领悟蕴含在数学文化教学中的内在思想。

一、重视自主学习，先阅读后分享

远古时代，人们发明了实物计数的方法，五千年前的人们又发明了一些计数符号，有古埃及象形数字、玛雅数字、中国算筹数码等。老师课前布置学生先独立阅读教材第12页的内容，并完成“预习导航”。课上学生通过预习汇报自己知道了什么，再提出不明白的问题。通过调整教与学的方式，改教师讲解为学生阅读、思考、分享，让学生更多地参与到学习中来，感悟其中的数学思想，充分调动学生自主学习的积极性。

二、重视学生参与，体验计数演变

课堂上，老师和孩子们一起玩“结绳表示胜负”“摆小棒表示中国算筹计数”等游戏，在动手实践的过程中，学生能充分体会到当数量越来越多时，用一个结表示一个过于麻烦，从而产生优化方法，提高计数效率。这一体验活动，不仅让学生感受到古人计数方法的提升与飞跃，感悟计数单位“一”“十”“百”以及十进位值制的萌芽，还积累了丰富的数学活动经验，提高了学生的观察、分析和创新能力。

孩子们在欢声笑语中感悟了数学历史文化，体会到中国古人的智慧。整节课，孩子们脸上洋溢着笑容，手指尖上跳跃着智慧，脑海里流淌着质疑，老师和孩子们玩在一起、学在一起、想在一起，深度学习就这样悄然发生！“双减”任务下的学校教育教学如何做到“减负不减效”，本节课可以为我们提供有益的参考！

三、重视内在联系，聚焦度量本质

通过介绍远古时代人类的三种计数方法，让学生感受计数方法的历史发展，人们最早是通过“一一对应”来认识和理解事物之间的数量关系。学生能从计数方法的发展过程中，体会数量度量的本质：多与少，从而抽象出数的本质：大与小。

通过阅读与讨论，学生了解了五千年前计数符号的发展历史，在“一一对应”的基础上，人们尝试用符号来表达数量及数量之间的关系。通过对比不同计数符号的特征，體会阿拉伯数字和十进位值制的优越性，即用0到9这10个数字符号就可以表示所有的自然数，每个数字不但有绝对的值，还有位置的值。同时，学生在活动中可以深刻感受到：用符号2表示两个结，符号3表示三个结，从而把量之间的多少关系转化为数之间的大小关系，体现出符号表达的一般性。这是从感性具体上升到理性一般的思维过程，实现了更高层次的数学抽象。

《从结绳计数说起》是一节数学阅读活动课，从不同角度审视教材，往往会有不同的发现。学生通过阅读教材，交流不同的计数方法，只能达到知识层面的教学目标。更为重要的是，让学生感悟计数方法、计数符号演变过程中所蕴含的数学思想与方法。从而实现以知识为载体，促进学生对数学深度理解和把握的整体目标。