例析分类讨论思想在解题中的应用

李新霄

在解答数学问题时，经常要根据题目的特点和要求，把问题中出现的所有情况分成多种类别，然后对每一类情况分别展开讨论、求解，最后综合各类结果，得出完整的答案，这种数学思想叫做分类讨论思想.分类讨论思想是一种重要的数学思想，在解题中有着广泛的应用.下面结合实例进行探讨.

一、分类讨论思想在解集合问题中的应用

对于含有参数的集合问题，我们通常要运用分类讨论思想，来讨论元素与集合之间、集合与集合之间的关系.在讨论集合与元素之间的关系时，要讨论元素是否属于某个集合，集合中元素的个数等.在解答集合之间的关系问题时，要讨论集合之间的关系是否为子集、交集、并集、补集.

例1.若集合 A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x 有（  ）.

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

根据题目的条件，可以建立含有参数的元素之间的相等关系，列出相应的方程就可以求得 x 的值.但含有参数的元素是不确定的，因此需要对其进行分类讨论.在讨论的过程中要注意集合中元素的三大特性：无序性、确定性、互异性.因此在求得 x 的值后，一定要将其逐一代回到集合中，看该元素是否满足集合中元素的三大特性.

二、分类讨论思想在解不等式问题中的应用

在解题时，经常会遇到含参不等式问题.此类问题通常较为复杂，需灵活运用分类讨论思想对不等式中参数的取值进行讨论.通常需对参数是否为0，或大于0、小于0进行讨论.若一次不等式的一次项系数中含有参数，就需分参数大于0、小于0两种情况将不等式左右两边的式子进行变形；若分式不等式的分母中含有参数，在去分母时，要考虑分母的正负性.在分类讨论后，要对各个部分的结论按照参数范围的大小顺序进行综合，以便得出完整的答案.

例2.解不等式2x -1≤ a -2.

解答含参数不等式问题，要选取合适的式子进行分类讨论.本题中的不等式含有绝对值，因此要根据绝对值恒大于或等于0的性质，将 a-2分为 a -2<0、 a -2≥0两种情况进行讨论.

三、分类讨论思想在解函数问题中的应用

在解答含有参数的函数问题和分段函数问题时，我们经常要用到分类讨论思想.若函数表达式中含有参数，则参数的取值会直接影响到函数的对称性、单调性、最值、图象、导函数等.因此在解题时，要结合题目的要求讨论参数所在的位置以及取值，再逐一进行分类讨论.由于分段函数没有统一的表达式，往往需要分区间来讨论函数的表达式和取值.

例3.求函数 f（x）= x2-2ax +3在x∈[0，4]上的最值.

本题中的函数为二次函数，且函数的一次项系数中含有参数，为了求得函数的最值，于是将二次函数式写成顶点式.然后，通过讨论抛物线的对称轴在定义域的左侧、右侧、中间三种情形以及对称轴为 x =0的情形，根据函数的单调性，求得函数的最值.

四、分类讨论思想在解数列问题中的应用

有些数列问题中存在不确定的因素，比如等比数列的公比 q 是否为1，就需分 q ≠1和 q＝1两种情况进行讨论；如有些数列的项数不确定，就需将项数 n 分偶数、奇数两种情形进行讨论；如数列的和式中含有参数，就需对参数的取值进行分类讨论.运用分类讨论思想解答数列问题，需先确定问题中的不确定因素，以明确分类讨论的对象，进而确定分类的标准.

例4.已知数列{an }、{bn }满足：a1=1， a2= a ，（a 为常数），且 bn = an ?an +1 ，其中 n=1，2，3，….若{an }是等比数列，试求数列{bn }的前 n 项和 Sn .

由题意可知{bn }为等比数列，要求得其前 n 项和，就需要求得数列的首项和公比，而二者都是关于 a 的代数式，所以要根据公比 a2与1的关系来确定分类的标准，再计算数列的前 n 项和.

五、分类讨论思想在解立体几何问题中的应用

立体几何问题侧重于讨论空间中的点、线、面的位置关系，而当空间中的点、线、面的位置不确定时，就需要对每种情况进行分类讨论.当组合图形的形状不能明确时，也要对组成的每一种图形进行分类讨论.

例5.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积_____.

本题中矩形的长、宽分别对应的是下底面的周长和三棱柱的高，而我们无法确定矩形的周长与高，所以需要进行分类讨论.解答求几何体的体积问题，往往要结合相应的几何模型，全面考虑多种可能的情形，再逐一进行讨论.

六、分类讨论思想在解排列组合问题中的应用

分类讨论思想在解答排列组合问题中的应用十分广泛，尤其是在解答有约束条件的排列组合问题时，需要对各种情况分类进行讨论，然后灵活运用分类计数原理和分步计数原理去求解．

例6.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务A，B，C，D，E，F，要求任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即執行任务 E，而任务 B、任务 C 不能相邻，则不同的执行方案共有（  ）.

A.36种   B.44种   C.48种   D.54种

解：①当A、E 分别排在第一、二位置时，有 A 2（2）A 3（2）=12种执行方案;

②当A、E 分别排在第二、三位置时，有 A2（1）A 3（3）+ A2（1）A 2（2）=16种执行方案；

③当A、E 分别排在第三、四位置时，有 C 2（1）C 2（1）A 2（2）A 2（2）=16种执行方案.

根据分类计数原理可得不同的执行方案有12+16+16=44种，故选 B 项.

由于执行任务A 之后需立即执行任务 E，可将A、 E 看成一个整体，将其当作一项任务进行排列.由于A 必须在前三项执行，故先对 A、E 进行分类讨论，最后将 B、C 插空排列即可.无论是采用优先法、间接法，还是捆绑法、插空法解答排列组合问题，都需对元素的排列顺序进行分类讨论.而将全体对象进行恰当的分类是解题的关键.

在运用分类讨论思想解题时，应把握好分类的原则，即（1）确定性原则，分类的对象是确定的；（2）同一性原则，标准是统一的，不遗漏、不重复任何分类情况；（3）层次性原则，分清主次，科学划分，不越级讨论.同时在解题训练中要积累一些分类的方法与技巧，针对具体的问题，灵活地进行分析.

（作者单位：江苏省扬州市江都区丁沟中学）