高中数学教学中培养学生数学素养的实践探索

王巧红

数学素养是一个抽象的概念，它是受过数学熏陶的人所具有的一种素养，包括数学抽象素养、逻辑推理素养、直观想象素养、数学运算素养、数学建模素养、数据分析素养等。本文擬就思维的严谨性、深刻性和数学核心素养的培养谈几点粗浅看法。

一、数学思维严谨性、深刻性的培养

严谨性是数学思维的优秀品质。具有了严谨性思维，在推理论证以及数学运算中会更加注重逻辑性、严密性，既“滴水不漏”又“没有废话”。基础知识的学习与数学思维的严谨性密不可分，在概念的形成、命题的推理论证、运算求解、知识体系的形成中都要求具备严谨性思维。例如：在函数奇偶性的定义中，有一个隐含的条件是函数的定义域区间必须关于O对称，在判断时学生却往往忽略这一点。那么，在教学中对这种忽略的纠正过程，就是对学生“思维漏洞”的补漏过程，也是对学生数学思维严谨性的培养过程。

思维严谨性的培养不仅可以在基础知识的学习中进行，也可以在解决数学综合问题时进行，并且后者是对思维严谨性的强化训练。比如：椭圆是中心在坐标原点、焦点在横坐标轴上的椭圆，左焦点F1、右焦点F2，过左焦点的直线l与椭圆交于A、B两点，椭圆的实半轴长，虚半轴长为1，求向量F2A和向量F2B数量积的最大值。解决这个问题时，要考虑直线l与横坐标轴垂直和不垂直两种情况，当垂直时计算得到所求数量积是;当不垂直时，经过计算得到数量积的取值范围是左闭右开区间[-1，]。在解题过程中，学生容易出现的错误是直接设出l的点斜式方程，考虑不到l垂直于横坐标轴的情况，从而计算出数量积的取值范围是左闭右开区间[-1，]，出现这样的结果后就“傻眼”了，原因是它无最大值，明显是错误的;通常情况下，不会出没有最大值而要求计算最大值的题目。出错的根源是思维不严谨，没有考虑到垂直于横坐标轴的情况，而数量积的最大值恰巧就在这种“疏忽”掉的情况下取得，以至于出现了无最大值的局面。解题过程中这种“傻眼”情形能对学生的思维起到震撼并激活的作用，留下的印象难以磨灭，所以，这种“陷阱”式的错误是对学生思维严谨性的强化训练。

思维严谨性的培养贯穿于整个数学学习过程中，无论是基础知识的学习还是综合问题的解决，都是培养严谨性思维的路径，只要坚持训练，久而久之，学生的思维严谨性会逐步形成。

思维的深刻性也是数学思维的优秀品质。思维具有了深刻性，对基础知识的理解会更加准确，对问题的分析会更加透彻，能够直截了当地抓住问题的本质，针对问题的本质内容展开思考，使问题得到彻底的解决。

在基础知识的学习和基本技能的掌握中，能够培养学生思维的深刻性是毫无疑问的。比如：已知A、B两点关于直线l对称，本质意思是线段AB的中点在l上，并且直线AB和直线l是垂直关系。

分析解决数学综合问题，更能培养训练学生思维的深刻性，并且是一种强化训练。比如：解决立体几何综合问题时，首先要分析几何体中的各种位置关系及数量关系，根据这些关系选择适当的方法解决问题，可选择纯粹的立体几何法，而在能够建立空间直角坐标系时也可以选择空间向量法，把问题转化成空间向量的计算问题，因为许多立体几何问题用空间向量的计算方法解决更为方便，可以计算点到直线或平面间的距离、异面直线间的距离、两条直线所成角的大小、直线与平面所成角以及二面角的大小等。这种分析和转化的过程就是对思维深刻性的培养。

在基础知识和基本概念的学习中，引导学生养成准确理解问题的好习惯，在数学综合问题训练中，引导学生养成抓本质、抓关键的习惯，如此日积月累、循序渐进，学生思维的深刻性水平定会得到大大提高。

二、数学核心素养的培养

数学学习中离不开数学抽象，无论是对数学基础知识的学习，还是对问题的分析以及解决问题时的推理论证、运算过程，对平面图形以及空间图形的直观想象等都离不开数学抽象，特别是在解决应用问题时，可以说具有数学抽象能力是解决问题所需要的第一项能力，因此数学抽象能力的培养至关重要。

培养数学抽象能力需要一定的载体。数学源于生活又用于生活，无论是基础知识、基本技能的学习，还是综合问题的解决都离不开抽象思维，这些都是培养数学抽象能力的载体。特别是以综合问题为载体，会使学生的数学抽象能力得到强化训练。高中数学中三角函数与三角形综合问题、概率与统计的综合问题、立体几何综合问题、数列综合问题、函数与导数综合问题、解析几何综合问题都是非常重要的综合问题，以它们为载体进行训练，会培养出学生很强的数学抽象能力，大幅度提高其数学抽象素养;同时，学生的数形结合、方程、分类讨论、化归与转化的思想方法也会得到有效训练，从而大幅度提高学生的数形结合能力、分析转化能力、数学建模能力、创新能力、空间想象能力、作图能力、综合应用能力。

逻辑推理素养是根据已知的条件或命题，进行合理的、有根有据的推理的素养。要提高学生的逻辑推理素养，就要提高其逻辑推理能力，要提高其逻辑推理能力，就要提高其逻辑思维能力，最根本的是要针对学生的数学逻辑思维能力进行严格的训练。

培养逻辑思维也需要一定的载体。数学中所开展的思维活动都是有根有据的、合理的，所以其思维活动都是逻辑思维活动。比如定理、推论的证明过程中，每一步都有根有据;解决问题的表达过程中，除保持思维的严谨性即“不多说一句，也不少说一句”外，还要每一步都要有根有据，这就是逻辑思维的训练。另外，数学运算过程、分析问题的过程、识图用图过程等，这些过程中展开的思维也是逻辑思维。这些都是训练学生逻辑思维的载体，在这些方面对其进行严格的训练，经过持之以恒的努力，能够培养学生的逻辑思维能力，提高逻辑推理能力和素养。

直观想象素养是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化的素养。同样地，直观想象素养和直观想象能力成正比例关系。下面仅以立体几何和解析几何为载体谈谈这种能力的培养。

首先，以立体几何为载体。立体几何是培养直观想象能力的重要载体，特别是柱、锥、台、球、简单组合体以及它们的三视图，翻折图形、几何体割补后的几何体，在这几类几何体中三棱柱、直三棱柱、长方体、三棱锥、四棱锥、球面、球体、三视图、翻折图形、几何体割补后的几何体尤其重要。在教学中，开始接触时可以用模型或通过多媒体展示让学生直观地认识这些几何体，再进一步细致观察几何体中的点、线、面以及相互间的位置关系和数量关系，让学生全方位熟悉这些几何体，对这些几何体形成足够的认识。这些认识是依赖于几何体的模型或多媒体展示而形成的，其后的学习中，还要使学生脱离这种依赖，让学生在没有依赖的情况下想象出几何体，以及其中的点、线、面之间的关系和数量关系，想象出由这些关系所能推出的关系。对多种几何体反复进行这样的训练，并保持这种思维方式;在三视图教学中，把几何体的三视图还原成原几何体，再通过几何体想象出它的三视图，对多种几何体也反复进行这样的训练，也保持这样的思维方式;在翻折问题和割补前后的几何体的教学中，首先掌握翻折前或割补前的图形及其性质，再看清楚翻折后或割补后的图形中，哪些是变化了的，哪些是没有变化的，变化了的变成了什么状态，把变化了的以及没有变化的点、线、面之间的位置关系和数量关系想象透彻，同样对多种翻折问题和割补问题反复进行这样的训练，保持这样的思维方式，假以时日就能够达到“玩熟”空间图形的效果，学生也就具有了一定的直观想象能力，提高了直观想象素养。

其次，以解析几何为载体。解析几何也是培养直观想象能力的重要載体，特别是直线与圆交汇、直线与圆锥曲线交汇、圆锥曲线与圆锥曲线的交汇问题是更为重要的载体。对其中的直线、圆、圆锥曲线间的相互关系以及数量关系，要分析清楚、了如指掌。既要能直观想象出图形中已有的，也要能想象出根据条件求出的图形在原图形中的位置情况。对此类交汇问题，进行如前面所述的分析和直观想象的训练，只要坚持不懈就能培养学生的直观想象能力，提高其直观想象素养，也为进一步解决解析几何综合问题提供有力支持。

数学运算素养是运用数学运算法则解决数学问题的素养。数学运算是随着数学的产生而产生的，数学中每个问题的解决都离不开它，通过准确的运算推理得到正确答案，是数学基本功。

数学运算素养是在运算中形成的。形成运算能力既要有毅力和耐力，对每道题不仅能分析出解题方法，还要能准确快速地运算出结果。解题时运算这一步不能省略，因为它正是形成运算基本功的过程，如果将其省略看似加快了解题速度，实际上却得不偿失，数学运算的基本功将会无法形成;反之，如果认真运算并注意算法的特点，则形成“快、准、狠”的运算能力并非难事，这样就培养了数学运算能力，提高了数学运算素养。

对实际应用中收集到的大量数据，运用统计方法进行汇总推理、分析研究，总结出符合实际情境的有用信息的过程就是数据分析，这种能力就是数据分析能力，这种素养就是数据分析素养。在实际问题的解决过程中，首先要抽象出数学模型，经过运算得到结果数据，对结果数据进行数据分析，然后做出对实际问题的判断。

数据分析被广泛应用于实际问题中，比如对本季度的销售数据进行分析后，估计出下季度的销售数据;对某个时间段某地区人民的收入数据进行分析后，估计出该地区人民的收入水平;在购买某类险种的保险时，投保人对上年度的相关数据进行统计，并对这些数据进行数学建模，对运算后的结果进行数据分析，可以作出本年度对这类险种投保与否的决定;对比赛中的某人，根据条件算出这个人胜出的概率，对这个概率进行数据分析，做出这个人能否胜出的推断;对某地在一段年份内的雨量和植被覆盖面积的数据进行统计后，建立线性模型，算出线性相关系数，通过对线性相关系数这个数据的分析，对植被面积受雨量的影响情况作出推断。诸如此类问题不胜枚举。

从以上分析可以看出，数据分析在解决实际问题中起着关键性作用，教学中要努力培养学生的这种能力。数据分析能力的提高需要抽象概括能力、数学建模能力、逻辑推理能力、运算求解能力的支持。

综上所述，数学学科素养与其相应的能力成正比例关系，要培养数学素养就要从培养相应的能力着手，而能力的培养是慢功夫。因此，立足于教学的各个环节，把培养数学能力当作教学的重要目标进行强化训练，不急不躁、稳扎稳打，就能够培养出学生的数学能力，从而提高学生的数学素养。