追根溯源探寻函数背景下图形面积类题型解题策略

辛文梁

【摘要】函数背景下综合性强的图形面积问题一直是初中学生所面对的比较棘手的问题，只有抓住这类问题的根本即三角形的面积问题，运用“转化”的解题策略，遵循“横平竖直”的转化原则，方能拨云见日，快速解题。因此，教学时要加强专题教学，渗透数学思想与方法，提升解决问题的能力，培养学生高阶思维和数学核心素养。

【关键词】图形面积;解题策略;横平竖直;割补法

几何图形的面积问题对于初中生来说是一类十分熟悉的题型，虽然人教版教材对几何图形面积没有设置专门章节进行系统地讲解和归纳，但从三角形面积公式开始，几何图形的面积在不同章节中先后出现，由三角形到四边形再到多边形，由规则的几何图形到不规则的，由平面图形到立体图形。图形面积解题思想已在教学中逐步渗透和拓展，学生已具备一定的图形面积类问题的解题策略意识，解决一般的几何图形面积还是比较得心应手的。然而，平面几何图形与平面直角坐标系、函数等多知识综合时，熟悉的面积问题又开始变得陌生了，学生不知该如何下手。尤其是进入初三中考复习阶段，平面直角坐标系中几何图形面积问题更加凸显其综合性强的特点，比如，抛物线上动点形成的图形面积最值问题，甚至反比例函数或一次函数中的面积问题难度也不小，给学生带来不同程度的困扰，是什么原因造成这种现象的呢？其实最关键的原因在于没有抓住这类面积问题的解题根本，再加上缺乏对面积类问题的系统性学习、分类整理和归因研究，学生缺乏综合性较强面积类问题的解题方法、思路和策略。

一、寻“根”之旅

我们知道数学知识如数学概念、定理和公式大都是有背景的，有来龙去脉的，有其形成过程的，这些我们称之为数学知识的“生长点”或者说是“根”。我们不妨回顾小学时三角形面积、矩形（长方形）、正方形、平行四边形等规则图形面积公式的探究思路，乃至初中菱形、多边形甚至一些不规则图形面积的学习过程，不难发现其实面积类问题的根本就在三角形面积公式的灵活运用，多边形、不规则图形都可以通过转化为三角形的面积求解，进而产生“割补法”“铅锤法”等各种解题方法。正是由于面积问题的学习零散在各个章节之中，缺乏系统性学习，学生未能及时梳理、归纳发现这个“根”，必然导致解综合性较强面积问题时出现思路短路，无从下手的情况。

例1：如图1，P是反比例函数y=k/x在第二象限图像上的一点，由P向y轴引垂线，垂足为D，连接OP，△PDO面积为3，则k=_______。

解题方法：其实将抛物线去掉后就是变式1的斜三角形问题，方法同样可以选择上面的七种方法中的一种来求解。增加二次函数背景后，主要难度来源于转化后三角形的底或高需要用动点P的横、纵坐标来表示，也就是说需要利用参数设出点P的坐标，再用点P的坐标去表示转化后的三角形的底和高，最后表示出△PBC的面积和面积的最值及P点坐标（如图10）。

总结：通过对上面七种方法的观察、对比、分析，我们可以再次明确平面直角坐标系中平面几何图形的面积解题思路为转化成三角形的面积，但转化的三角形不是毫无目的地转化，不是随意割补成几个三角形，而是要遵循一定的原则和特点，也就是三角形的底和高要满足“横平竖直”的特点，目的是方便对底和高求解，“横平竖直”这个特点就是割补法、铅锤法等求面积的“法”，只要遵循这个“法”，我们不但能用多种方法求解，还能从中快速选择最合适、最简便的方法实现高效解题的目的，发展学生高阶思维能力和数学核心素养。

总结：掌握图形面积解法的根本思想和一定策略、方法后，我们就要对方法进行筛选，实现快速、准确地实现求解的目的，也就是要对各种方法“择优录取”。要做到快速选择合适的方法，需要具備一定的数学素养，对学生知识灵活运用的能力要求较高。因此，在教师平时的教学中要善于归纳总结，多进行专题教学，逐步渗透数学思想、数学方法，提升学生能力，发展学生创新意识和高阶思维能力。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中强调“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，学生学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”在图形面积的教学中只有把探究的任务布置给学生，让学生带着问题去思考，教师适时总结点拨，归纳总结，让学生体会图形面积解法中的转化、数学结合等数学思想，吃透求解面积时要抓住三角形面积公式这一根本和底与高要满足“横平竖直”的转化原则，便可培养学生触类旁通、举一反三的能力。

[本文系广州市增城区教育科学规划（2021年度）课题“新中考背景下的初中生数学审题能力培养策略研究”（课题编号：zc2021002）的研究成果]

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]朱千秋.用“割补法”解决图形面积与坐标问题[J].初中生世界，2019（2）：73-74.

[3]刘钰.基于数学知识“生长点”视域下的教学实践与思考[J].中小学数学（初中版），2020（12）：7-9.

责任编辑  罗良英