相似三角形中的求值问题

摘 要：在一些相关平面几何中的求值问题中，经常借助相似三角形的构造、判定与性质等的应用，合理转化，直观形象，能有效解决计数、线段、比值、面积以及综合应用等相关问题的求值，展示相似三角形的效能，引领并指导数学教学与研究.

关键词：相似三角形;三角形;计数;线段;比值;面积

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）05-0038-03

收稿日期：2021-11-15

作者简介：王东东（1981.12-），男，山东省新泰人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

相似三角形是在初中平面几何中一个非常重要的内容，包括相似三角形的定义、判定、性质等，涉及特殊的直角三角形相似的判定及直角三角形的射影定理，是平面幾何的重要知识点与考点之一.在破解一些相关的平面几何求解问题中，巧妙借助相似三角形的相关知识来处理，经常可以合理转化，化难为易，出奇制胜.下面就结合几类常见的相似三角形中的求值问题，绪如计数、长度、比值、面积以及综合应用等相关的求值加以实例剖析.

1 计数问题

例1 如图所示，在△ABC中，ED∥AB，FG∥AC，PH∥BC，相应的交点分别为A1、B1、C1，则图中与△ABC相似的三角形的个数为_________个.

分析 根据相似三角形的性质，要判断图中与△ABC相似的三角形，可以从平行的条件出发，找到对应的角相等，从而得以确定两三角形相似.

解析 由于PH∥BC，那么∠APH=∠B，而∠A是公共角，则△APH∽△ABC，同理可以判断△BGF∽△ABC，△CED∽△ABC，进一步，FG∥AC，那么∠PFC1=∠A，又∠FPC1=∠B，△FPC1∽△ABC，同理可以判断△DGA1∽△ABC，△HEB1∽△ABC，而ED∥AB，那么∠FPC1=∠A1B1C1，而∠FPC1=∠B，则∠A1B1C1=∠B，同理可得∠A1C1B1=∠C，则△A1B1C1∽△ABC，所以图中与△ABC相似的三角形的个数共有7个，故填答案：7.

点评 三角形相似的判定关键是结合三角形相似的性质加以分析，在求解三角形相似的问题的过程中，往往是在熟练掌握相应性质的基础上，结合直观图形加以正确分析.

2 长度问题

例2 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM=_________时，△ABE与△DMN相似.

分析 因为两个三角形都是直角三角形，故它们相似当且仅当两直角边之比相等，据此可列一个方程，再结合MN=1列方程组，解此方程组得DM的值.

解析 要使△ABE∽△DMN，而这两个三角形都是直角三角形，依题意，可得DM2+DN2=1DMDN=ABBE=2或DM2+DN2=1DMDN=BEAB=12，解得DM=55或255，

故填答案：55或255.

点评 本题是探求两个三角形相似的条件问题，实质是以三角形相似为条件，求线段长度问题，关键是找到相应的比值并结合相关条件加以求解.特别在实际求解时，要考虑全面.比如本例中就容易忽视其中的一种情形.

3 比值问题

例3 如图3所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC=2OC，则ACAD=

_________.

分析 通过作出辅助线OD，根据两直角三角形△ADO与△ACB相似来建立关系式，结合题目条件来证明对应的等式成立.

证明：连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，

所以∠ADO=∠ACB=90°，

又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以BCOD=ACAD，

又BC=2OC=2OD，故AC=2AD，

即ACAD=2，

故填答案：2.

点评 结合辅助线的构造，利用直角三角形的相似以及相关条件加以确定相关的求值问题.对于平面几何中的求值问题，关键是正确通过相关的辅助线引入，加以相应条件的变换与转移，从而达到求值的目的.

4 面积问题

例4 如图所示，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC=1，S△ADE=3，则S△CDE的值为_________.

分析 根据平行线的性质转化三角形的面积比为对应的线段比，结合平行线所确定的角的关系证明△BEC∽△EAD，结合比例性质转化为面积之间的比值即可求解S△CDE的值.

解析 由于EC∥AD，

可得S△DCE∶S△ADE=EC∶AD，

而DE∥BC，则有S△BCE∶S△CDE=BC∶ED，

又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE，∠BEC=∠EAD，

所以△BEC∽△EAD，

可得EC∶AD=BC∶ED，

即S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE，

解得S△CDE=3，故填答案：3.

点评 通过平行线的性质，结合相似三角形中的对应边的比例关系与相应的三角形的面积的比例关系的转化与应用来分析与处理问题.

5 综合应用问题

例5 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的点，EF⊥AE交CD于F.试猜想：点E在什么位置时，△ADF的面积最小？最小面积是多少？并证明你的结论.

分析 要猜想对应点的位置，关键是结合相应的几何图形与关系式加以分析判断，巧妙引入未知数，通过建立有关面积的函数关系式，利用函数的最值问题来判断对应的几何问题.

解析 当点E是BC的中点时，△ADF的面积最小，最小面积是6.

下面证明以上猜想的结论：

设BE=x，那么EC=4-x

由于四边形ABCD是正方形，∠AEF=90°，

则△ABE∽△ECF，可得ABEC=BEFC，

即44-x=xFC，则FC=x-14x2，

可得DF=DC-FC=4-（x-14x2）=4-x+14x2

所以S△ADF=12AD·DF

=12×4（4-x+14x2）

=12x2-2x+8

=12（x-2）2+6，

故当x=2时，即E是BC的中点时，△ADF的面积最小，最小面积是6.

点评 在平面几何问题中，往往可以有机地结合相应的函数等相关问题，利用函数等相关问题的性质来处理与解决对应的平面几何问题，这是一种非常巧妙与有效的办法.关键是正确加以平面几何问题的代数化，并加以正确的分析与判断.

相似三角形及其应用是在初中平面几何的基础知识上的进一步拓展与提升，特别在一些平面几何的求值问题中，合理借助辅助线与相似三角形的构造，通过对应的定义、判定、性质等一系列的转化与应用，有效培养学生逻辑推理能力、图形直观能力与创造思维能力，成为历年中考数学命题中的一大热点问题，要引起高度重视.

参考文献：

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[2] 王锋.平行“牵”相似求值如添“翼”[J].中学生数理化（初中版·中考版），2020（Z1）：9-11.

[3] 郑泉水.构造相似三角形解中考题一例[J].数理化学习（初中版），2016（03）：10+12.

[责任编辑：李 璟]