指向思维进阶的数学问题链设计与实施

江庆君 唐恒钧

摘  要：数学思维是数学学科核心素养的重要组成部分. 如何促进学生的数学思维发展是培养学生数学学科核心素养的重要问题. 数学思维的进阶表现出逐渐深化的过程，指向数学思维进阶的教学设计则需要有稚化思维. 作为实现思维进阶的一个重要途径，问题链教学需要通过稚化思维加以设计，并通过深化逻辑链加以呈现.

关键词：思维进阶;问题链教学;深化;稚化

数学思维的培养一直以来都是数学教学的重要任务，在当前发展学生数学学科核心素养的课程改革背景下显得更为重要. 有研究认为，数学思维是数学学科核心素养的重要组成部分，而且处于数学学科核心素养体系中的较高层次. 数学问题链倡导通过主干问题驱动学生深入思考、建构知识，在解决问题的过程中积累数学活动经验并体验数学思考中的基本思维方法，因此可以作为促进学生思维发展的重要抓手. 那么，如何设计并实施指向学生思维进阶的数学问题链呢？本文将在讨论以思维进阶为目标的教与学双重逻辑的基础上，阐述问题链的设计与实施方法，以期为相应的教学提供参考.

一、数学思维进阶及其教学的基本认识

1. 深化：数学思维进阶的显著特点

学生数学思维的进阶有赖于学生深入地参与数学活动. 学生需要在数学问题提出与解决的过程中体验数学思维并逐步发展数学思维. 当然，数学思维的发展往往不是一蹴而就的，需要经历较长的过程. 例如，学生对函数的认识总是需要经历从具体函数的学习到某一类函数的研究再到对研究与思考函数的一般框架与方法的认识这样一个发展过程. 也正因为如此，学生数学思维进阶体现出从具体到抽象、从简单到综合等不断深化的特点.

首先，需要让学生在经历从具体到抽象的过程中深化抽象思维. 举例而言，如果直接让学生研究“点到直线的距离”这个一般问题，学生可能会感到无从下手，但是如果先让学生从研究点到坐标轴（或平行于坐标轴的直线）的距离这样具体、特殊的问题入手，就能为学生研究一般位置关系的点到直线的距离问题提供知识与思路方法上的双重基础，而且还能让学生感受到数学思考的一般方法. 也就是说，当面对一般问题时，可以先考虑具体的特殊问题，并在解决特殊问题的过程中获得解决一般问题的思路及方法.

其次，需要让学生在经历从简单到综合的过程中深化综合思维. 学生在学习过程中所面临的数学问题往往呈现了不断综合的变化过程，这也符合学生思维发展的基本逻辑. 学生处理综合性的数学问题总是以处理简单问题为基础. 换言之，如果学生不具备处理简单问题的思维能力，也无法处理由这些简单问题构成的综合问题. 因此，数学思维进阶的学习需要为学生提供从简单问题逐渐转向综合问题的学习活动.

2. 稚化：数学思维进阶教学设计需遵循的逻辑

既然学生数学思维进阶需要经历逐渐深化的过程，那么教学设计要如何为学生的思维进阶提供这样的学习路径呢？具体而言，教师应该如何找到促进学生数学思维进阶的关键点，并设计相应的活动呢？

虽然当前的数学教学中强调课堂生成，课堂预设与生成之间的关系如何处理也曾一度成为讨论的热点，但是就总体而言，學校中的数学教学还是以预设为主. 这也就是说，每一节课都应该有需要达成的核心目标，课堂教学是在这一核心目标的指引下得以展开的.

那么，立足学生数学思维进阶这一目标而言，教学设计中的一项重要任务就是确定思维进阶目标与学生的数学思维“原点”，并寻找两者之间的连接路径及关键点. 逆向的稚化思维是这种教学设计所要遵循的逻辑，即从目标出发确立教学的终点，进而通过问题的不断还原，使综合性问题分解为简单问题、抽象问题，进而转化为具体问题，并在还原的过程中不断与学生在这一问题上的思维“原点”进行比对与评估，进而确立适切学生思维“原点”的教学起点.

以“点到直线的距离”这一问题为例，其核心目标是：在知识层面获得点到直线的距离公式，在方法层面学会利用解析法研究几何问题，即将几何性质进行代数化、坐标化处理. 在问题的稚化还原过程中，首先，将文字问题转化为符号化表述，即研究点[Px0，y0]到直线[y=kx+b]（或[x=a]）的距离;其次，将一般化的点或直线还原为具体的点或直线;最后，还原到坐标平面上的特殊点或平行于坐标轴的特殊直线. 问题稚化还原到何种程度，要以学情为依据. 例如，如果学生数学基础较好，就可以还原到具体点或具体直线;如果学生数学基础较弱，就需要还原到特殊点或特殊直线.

二、从稚化到深化：数学问题链设计与实施的方法

基于上述分析，在设计指向思维进阶的数学问题链时，需要采用从稚化到深化的转变过程. 换言之，数学问题链的设计需要借助稚化思维，由目标问题出发逆向探寻支撑起目标问题的思维阶梯;再利用深化逻辑，顺向组织思维阶梯并问题化，形成能为学生思维进阶提供脉络化探索路径的数学问题链.

下面将以高考中常出现的绝对值函数为例，更具体地阐述上述观点.

1. 用稚化思维逆向寻找思维阶梯

绝对值函数是高考的热点内容，但是对于学生而言有一定的难度. 出现困难的原因：一是学生对绝对值概念的理解不到位，无法灵活应用概念进行解题;二是学生缺乏直观想象素养，无法将绝对值函数转化为有价值的函数图象信息解决问题;三是学生对较复杂的绝对值函数缺乏分解能力，导致面对问题时无从下手.

例如，2016年高考数学天津卷文科第20题的第（3）小题就是一道含参数的绝对值函数最值问题，属于较难题. 学生面对该题时常会采用分类讨论的方法去绝对值符号，但是分类的复杂性和分类后的求最值让学生最终陷入了困境.

目标问题：设函数[fx=x-13-ax-b]，[x∈R]，其中[a，b∈R]. 设[a>0]，函数[gx=fx]，求证：[gx]在区间[-1，1]上的最大值不小于[14].

教学中，可以将这样重要的但学生又存在困难的问题作为问题链教学的目标问题. 具体设计中还可以进一步搜寻相似的问题. 例如，2016年浙江省高中数学学考题第18题（选择题的压轴题）就是与目标问题相近的含参数的绝对值函数最值问题. 据此设置问题：已知函数[fx=][2x-ax-b]，对于任意的正实数[a]和实数[b]，总存在[x0∈1，2]，使得[fx0≥m]，求[m]的取值范围.

与目标问题相比，尽管具体函数不同，但绝对值内均可以分解为“一个不含参数的函数”和“一个含参数的一次函数”的差值. 于是，绝对值函数的几何意义都可以转化为：对于闭区间内的任意[x]，两个函数值间的距离. 进而，问题就转变为：这个距离在函数定义域上的最大值随参数的变化而变化，求其最小值. 上述解题思路即所谓“铅锤距离”的方法.

如果直接将该方法教给学生，虽然学生以后能应用这种方法解题，但是学生对如何想到该方法缺乏体验，也限制了学生思维能力的发展. 如果让学生直接探索上述两个问题，对学生的思维又提出了很大的挑战. 因此，需要以上述问题为目标问题，逆向寻找思维阶梯. 具体地，可以从简化函数和减少参数个数两个角度进行稚化，即将目标问题中的第一个函数由三次函数和分式函数简化为二次函数和一次函数.

2. 用深化邏辑链架构数学问题链

按上述思路将起点问题确立为正比例函数与常数（参数）的差值，降低对学生起点思维的要求，以便为所有学生参与思考问题提供机会.

问题1：函数[fx=x-b，x∈-1，1，b∈R]，记[fx]的最大值为[gb]，当[b]变化时，求[gb]的最小值.

针对问题1，学生在课堂上提出了三种典型的思路.

生1：利用分类讨论来做，分[b>0]，[b<0]，[b=0]三种情况，然后根据分段函数求最小值.

生2：利用绝对值的性质来做，[gb=f1，f-1max=][b-1， b+1max≥1].

生3：利用距离的定义来做，在数轴上标出[x]和[b].

在问题1的基础上，进一步延伸出问题2，试图让学生的思路由“数轴上两个数间的距离”深化为“平面直角坐标系中两个函数值间的距离”.

问题2：函数[fx=3x-b，x∈-1，1，b∈R]，记[fx]的最大值为[gb]，当[b]变化时，求[gb]的最小值.

师：刚才生3将绝对值看作数轴上两个数的距离，如果我们根据他的思路继续来解题会怎么样呢？

生4：绝对值内可以看作是两个函数值的差，即[y1=3x，y2=b]，如图1所示.

师：这个绝对值被称为两个函数的“铅锤距离”.

问题2将学生的思维从一维数轴上两点间的距离拓展到二维平面直角坐标系上两个函数值的差，问题的本质和方法建构的角度均是一致的，这为学生提供了思维进一步拓展的脉络. 教师需要在问题2结束后组织讨论该方法的核心，即通过构造两个函数将绝对值看成这两个函数值的差. 这样的讨论有助于学生产生新的疑问，即问题2中适用的方法是否适用于其他类似的问题. 从而给学生提供机会自己构建问题进行求解，如将构造的一次函数变成二次函数. 教师也可以沿着这种思路构建以下问题.

问题3：函数[fx=x2-2x-b，x∈-1，1，b∈R]，记[fx]的最大值为[gb]，当[b]变化时，求[gb]的最小值.

该问题构造了函数[y1=x2-2x]和函数[y2=b]. 学生经过画图均能解决问题3，如图2所示. 在此基础上，又延伸出问题4.

问题4：函数[fx=x2-ax-b，x∈-1，1，a，b∈R]，记[fx]的最大值为[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

在课堂上，问题4会出现两种构造方法：一种是[y1=x2]，[y2=ax+b];另一种是[y1=x2-ax]，[y2=b]. 并且学生很快能发现第二种构造方法会导致两个函数都有参数，很难再利用之前的“铅锤距离”方法求解. 利用第一种方法画出图3即可求解. 这一问题让学生直观地体会到要将参数控制在其中一个函数中的重要性.

前述问题链将问题集中在一个对称区间的定义域上，并由一次函数与参数差值的绝对值最值问题类比推广到二次函数与一次函数差值的绝对值最值问题. 在问题的提出上体现了类比这一重要的思维方法;在解决问题的方法上则体现了数学模型的思想. 沿着这条思路，学生至少能从两个角度做出进一步推广：在非对称区间的定义域上，上述方法是否依然可行？对于其他函数组合，上述方法是否依然可行？在上述思路的驱动下，便会产生以下具体问题.

问题5：函数[fx=x2-ax-b，x∈0，1，a，b∈R]，记[fx]的最大值为[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

问题6：函数[fx=x-ax-b，x∈0，4，a，b∈R]，记[fx]的最大值为[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

问题7：已知函数[fx=2x-ax-b]，对于任意的正实数[a]和实数[b]，总存在[x0∈1，2]，[fx0≥m]，求[m]的取值范围.

问题5是对定义域类型的拓展，为问题6的研究提供了基础. 问题7在形式上与问题5相近，但是在问题表述上需要进行进一步转换. 上述问题的研究为目标问题的探索提供思路，使更多学生能够思考并解决该问题.

三、结语

陶西平指出，教育必须改变单纯重视知识和技能传授的做法，要高度重视学生的社会责任感和能力的培养，而思维能力就是各项能力的基础. 思维进阶的课堂就是要激发学生探究的兴趣和热情，使学生自觉成为学习的主体;不要把思维进阶变成纯方法的机械训练，使学生处于被动地位. 问题是驱动学生数学思考、激发学生数学探索兴趣与热情的重要载体. 问题链因其强调为学生提供思维脉络而成为促进学生思维进阶的重要途径. 但是在数学教学设计与实施中如何架构与应用问题链，使之能有效促进学生的思维进阶，这就需要在问题链设计中从目标问题出发，借助稚化思维，逆向探寻导向目标问题的问题序列，在问题链的实施过程中则需要借助深化逻辑链，为学生提供逐步深入的问题脉络.

参考文献：

[1]吕世虎，吴振英. 数学学科核心素养的内涵及其体系构建[J]. 课程·教材·教法，2017，37（9）：12-17.

[2]唐恒钧，张维忠，陈碧芬. 基于深度理解的问题链教学[J]. 教育发展研究，2020，40（4）：53-57.

[3]唐恒钧. 重视学科思维培养[J]. 湖北教育（教育教学），2021（5）：1.

[4]陶西平. 思维进阶课堂[J]. 中小学管理，2019（7）：59.